圆锥曲线复习题（学生版）

圆锥曲线复习题

一、联立直线与曲线方程，直接利用韦达定理

这种问题主要是联立直线与曲线方程，产生韦达定理，把条件转化为韦达定理的应用，从而解决问题。比如以下这几个条件都是转化为韦达定理的常见类型：以弦AB为直径的圆过原点(或某个定点)即

?AOB为直角(有时候会转化为锐角、钝角)等等，请同学注意总结补充。

1、已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且（2）线PM?PF?0,|PM|?|PN|.（1）动点N的轨迹方程；

l与动点N的轨迹交于A，B两点，若

OA?OB??4,且46?|AB|?430，求直线l的斜率k的取值范围.

解:（1）动点的轨迹方程为 y2?4x(x?0). （2）直线l的斜率的取值范围是[?1,?2、如图、椭圆

xa2212]?[12,1].

?yb22，O为坐标原点.（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个?1(a?b?0)的一个焦点是F（1，0）

三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线

l绕点F任意转动，值有OA解：(Ⅰ)椭圆方程为

x22?OB2?AB2,求a的取值范围.

4?y231?2?1.

(Ⅱ) a的取值范围为（5，+?）.

3、已知曲线?上任意一点P到两个定点F1??3,0?和F2?3,0?的距离之和为4．（1）求曲线?的方程；

????????（2）设过?0,?2?的直线l与曲线?交于C、D两点，且OC?OD?0（O为坐标原点），求直线l的方程．

x2解：（1）轨迹方程为

4?y?1．

2（2）直线l的方程是y?2x?2或y??2x?2．

4、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为

1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l:y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶

点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标． 解： (I)由题意设椭圆的标准方程为?(II)直线l过定点，定点坐标为(,0).

72x24?y23?1.

5、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆（I）求kQ．

x22?y?1有两个不同的交点P和

2的取值范围；（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，

????与AB????????使得向量OP?OQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

???2??2． ?，?∞??????2??2?解：（Ⅰ） k的取值范围为??∞，??22（Ⅱ）解得k?

．由（Ⅰ）知k??22或k?22，故没有符合题意的常数k．

二、弦长、面积的问题

这类问题比较明了，注意求面积的基本方法之一：面积分割，求面积的最值一般是建立有关变量k的函数关系s?f(k)，通过研究函数的最值求面积的最值(利用均值不等式很常见)。 弦长公式：|AB|?(1?k)(x1?x2)?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]?2222(1?k)?|a|2 ，式

?PF2?1，过

其中k是直线的斜率，1、已知椭圆

x2a是关于x的一元二次方程的二次?1两焦点分别为

项系数，?是x的一元二次方程的判别2?y24F1、F2，P是椭圆在第一象限弧上一点，并满足PF1P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.（Ⅰ）求P点坐标；（Ⅱ）求证直线AB的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB面积的最大值. ? 解：（Ⅰ）点P的坐标为(1,（Ⅱ）AB的斜率kAB?yA?yBxA?xB?2). 为定值.

22（Ⅲ）三角形PAB面积的最大值为2、已知椭圆C:

xa22。

63?yb22=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C32的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为大值.

解：（Ⅰ）椭圆方程为

x2，求△AOB面积的最

3?y?1．

2（Ⅱ）△AOB面积取最大值S?12?ABmax?32?32．

3、已知椭圆

x23?y22?1的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭

22圆于A，C两点，且AC?BD，垂足为P．（Ⅰ）设P点的坐标为(x0，y0)，证明：（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值． 解：（Ⅰ）

x22x03?y02?1；

3?y022≤x022?y022?12?1．

9625（Ⅱ）四边形ABCD的面积的最小值为4、已知双曲线C的方程为

255．

52ya22?xb22?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线

的距离为。

（1）求双曲线C的方程；

(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于

????????1第一、二象限，若AP??PB,??[,2]，求?AOB面积的取值范围。

3解（Ⅰ）曲线C的方程是

y24?x?1

82（Ⅱ）?AOB面积范围是[2,]

3

三、对称问题（涉及到弦的垂直平分线问题）

这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB．．．．．．．．的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。 1、已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于 解：AB?1?1212?4?(?2)?32．

2、已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为和直线l：y?解：（Ⅰ）

x232．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）已知点A(0,1)x?m2，线段AB是椭圆E的一条弦且直线l垂直平分弦AB，求实数m的值．

4?y?1；

（Ⅱ）．m??35

3、倾斜角为a的直线经过抛物线y2?8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

解：焦点的坐标为（2，0）.准线l的方程为x??2。 （Ⅱ）定值为8。

4、某学生在平面直角坐标系内画了一系列直线x?t(t??)，和以原点O为圆心t?121y 为半径的圆，他发现这些直线和对应同一t值的圆的交点形成的轨迹很熟悉，然后又取长度为2的线段AB（不与x轴垂直），使AB的两端点在此轨迹上滑动，并记线段AB的垂直平分线与x轴的交点M(x0,0)．（1）求上述交点的轨迹方程；（2）求x0的取值范围．

解：（1）轨迹E的方程为y2?2x?1． （2）x0的取值范围是(1,??)．

5、设A?x1，y1?，B?x2，y2?两点在抛物线y?2x2上，l是AB的垂直平分线。（Ⅰ）当且仅当x1?x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（Ⅱ）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围。

解：（Ⅰ）当且仅当x1?x2?0时，l经过抛物线的焦点F。 （Ⅱ）l在y轴上截距的取值范围为?x2O 1 x ?9?，??? ?32?6、设F1、F2分别是椭圆

5+y24=1的左、右焦点. （Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1?PF2的

最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由.

解： ?当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值3； 当x??5，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值4

（Ⅱ）不存在直线l，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线l，使得|F2C|=|F2D| 7、椭圆G：

xa22?yb22?1(a?b?0)的两个焦点为F1、F2，短轴两端点B1、B2，已知F1、F2、B1、B2四点共

圆，且点N（0，3）到椭圆上的点最远距离为52.（1）求此时椭圆G的方程；（2）设斜率为k（k≠0）

的直线m与椭圆G相交于不同的两点E、F，Q为EF的中点，问E、F两点能否关于过点P（0，的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由． 解：（1）椭圆方程为

x233）、Q

32?y216?1

（2）当k?(?942,0)?(0,942)时，E、F两点关于点P、Q的直线对称

上题用判别式大于零来构建不等式也是常见方式。 8、已知椭圆

x22?y?1的左焦点为F，O为坐标原点。 （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线l相切

2的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。 解：（I）圆的方程为(x?)2?(y?2)2?2194.

y（II）点G横坐标的取值范围为(?,0).

21B9、已知椭圆

a2xa22?yb22的两个焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)(c?0)，?1（a?b?0）

lFAGOx过点E(c,0)的直线与椭圆相交于点A,B两点，且F1A//F2B,|F1A|?2|F2B|

（Ⅰ求椭圆的离心率； （Ⅱ）直线AB的斜率；

（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m,n)(m?0)在?AF1C的外接圆上，求

ca33nm的值。

解 （1）离心率e??

（2）k??23.

?(3)

m

n225 .

3210、已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（1） 求椭圆C的方程；

（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出

这个定值。

（Ⅰ）解椭圆方程为

x24?y23?1．

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