浙教版数学八下第五章习题答案

第五章 特殊平行四边形

5.1 矩形 合作学习：

(1) 无数个，两条邻边的长度之比为2:1（或1:2）.

(2) 有一个面积最大的平行四边形.设一根火柴棒的长为1单位，平行四边形的面积是底边乘以高.当平行四边形的一个角是直角时，它的高为1，面积为2.而对于其他情况，平行四边形的高都小于1，因此面积都小于2.所以有一个角是直角时，这个平行四边形的面积最大.

(3) 内角都是直角，对角线相等.

课内练习：

1. 在矩形ABCD中，CD

∵DF?∴DE

AB.

11CD，AE?AB， 22 AE.

∴四边形AEFD是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）. 又∵?A?Rt?（矩形的四个角都是直角）， ∴四边形AEFD是矩形（矩形的定义）. 2. ?AOD≌?BOC，?AOB≌?DOC，

?ABD≌?BAC，?ABD≌?CDB， ?ABD≌?DCA，?BAC≌?CDB， ?BAC≌?DCA，?CDB≌?DCA.

共有八对.

作业题：

1. 图中与??相等的角有三个，它们是：?BDC，?ACD，?DBA.

?B??C?90?（矩2. 证明：在矩形ABCD中，AB?DC（平行四边形的对边分别相等），

形的四个角都是直角）.

∵M为BC的中点， ∴BM?CM.

∴?ABM≌?DCM. ∴AM?DM.

3. 证明：在矩形ABCD中，AC?BD（矩形的对角线相等），CD//AB.

∵CE//BD，

∴四边形DBEC是平行四边形.

∴BD?CE（平行四边形的对边分别相等）. ∴AC?CE.

∴?CAE??CEA.

4. (1)矩形.理由：由勾股定理，AB?DC?5，AB?BC?25 ，

∴四边形ABCE是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）. 而BD?5，

∴DC?BC?BD. ∴?C?90?.

∴四边形ABCD是矩形. (2)如图.有多种画法.

222

5. 已知：如图，OB是Rt?ABC斜边上的中线.

求证：BO?1AC. 2证明：延长BO至D，使OD?BO，连结CD，AD. ∵AO?CO，

∴四边形ABCD是平行四边形.

又∵?ABC?Rt?，

∴□ABCD是矩形（矩形的定义）， ∴BD?AC（矩形的对角线相等）. ∴BO?11BD?AC. 22

6. 提示：连结DE.由已知可得，?AED??ADE??CED，

∵CD?CE，DF?AE，DE?DE，

∴?CED≌?FED（AAS）， ∴CE?FE.

课内练习：

1. (1)正确.因为平行四边形的对角相等，当它们又互补时，必定都等于90?.根据矩形的

定义，这个平行四边形是矩形.

(2)正确.因为平行四边形的邻角互补.若已知邻角相等，则这两个邻角均为90?.根据矩形的定义，这个平行四边形是矩形.

(3)不正确.可举反例如图：AC?BD，但四边形ABCD不是矩形.

(4)正确.内角都相等，根据四边形的内角和为360?，可得四个内角都等于90?.根据“有

三个角是直角的四边形是矩形”，可得四边形是矩形.

2. 在矩形ABCD中，AO?BO?CO?DO（矩形的两条对角线相等且互相平分）.

∵AE?CG?BF?DH， ∴OE?OF?OG?OH， ∴EG，HF互相平分，

∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）. 又∵EG?FH，

∴□EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形).

作业题：

1. 证明：在□ABCD中，OA?OC，OB?OD（平行四边形的对角线互相平分）.

又∵?1??2， ∴OA?OB.

∴OA?OB?OC?OD，即AC?BD.

∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. 2. 证明：∵Rt?ABC≌Rt?CDA，

∴ ?DCA??CAB. ∵ ?B??D?Rt?， ∴?DAC??DCA?90?， ∴?DAC??CAB?90?.

∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形). 3. 证明：∵AB?AD，CB?CD，

∴AC?BD.

又∵M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA的中点。 ∴PQ

1AC，MN21AC，QM21BD（三角形的中位线平行于第三边，并且2等于第三边的一半）.

∴PQ

MN.

∴四边形MNPQ是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）.

∵PQ//AC， ∴?DQP??DAC. ∵QM//BD， ∴?AQM??ADB. 而AC?BD，

∴?DAC??ADB?90?， ∴?AQM??DQP?90?， ∴?MQP?90?.

∴四边形MNPQ是矩形（矩形的定义）.

4. 提示：由已知四边形ABEC是平行四边形，得ABCE. 由已知BC是等腰三角形BED底边DE上的高线，得DC?CE，

∴ ABCD，

∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又∵AC?BE?BD，

∴ □ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.

5. (1)提示：由题意可得EH平分?AHF，GH平分?DHF，由此可得?EHG?Rt?，同理可得?HEF??HGF?Rt?，

∴ 四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）. (2)由题意可得HF?32?42?5.

12，由此可得HJ?FK，HK?FJ， 5∴ AD?AH?HD?HJ?FJ?HF?5（cm）.

∴ EJ?GK?

5.2 菱形 合作学习：

(1)都是平行四边形.

(2)图②③两个平行四边形的邻边都相等.`

课内练习：

1. B.

2. 提示：证法一：利用平行四边形的面积公式；

证法二：通过证明Rt?ABE≌Rt?ADF.

作业题：

1.

1ab. 22. 证明：在菱形ABCD中，AB?AD（菱形的定义），?B??D.

又∵BE?DF，

∴?ABE≌?ADF.

∴AE?AF，

∴?AEF??AFE. 3. (1)40?. (2)20?.

4. 60?，120?，60?，120?.

5. ∵CE?AB，?BCE?30?，

∴?B?60?. ∴BE?21BC. 222∵BE?EC?BC，

?1?即?BC??32?BC2， ?2?2∴ BC?23(cm).

∴ 菱形的周长为23?4?83(cm). 菱形的面积为2S?ABC?2?

6. 有2种拼法，如图.但不都是菱形，只有将底边重合，才能拼出菱形.

1?AB?CE?63(cm2). 2

合作学习：

(1) 是平行四边形，且一定是菱形. (2) 四条边相等，对角线互相垂直平分. (3) 四条边相等，或者对角线互相垂直平分.

课内练习：

1. 证明：是菱形.连结DD'.

∵AA'， DD'（平移变换的性质）

∴四边形AA'D'D是平行四边形. ∴AD//A'D'.又AD//BC，

∴A'E//FC.同理可证，A'F//EC， ∴四边形A'ECF是平行四边形. 又?EA'C??DAC??ECA'， ∴A'E?CE.

∴四边形A'ECF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

2. 逆命题是“对角线互相垂直的四边形是菱形”. 这个逆命题不成立.反例如图，

AC?BD，但OA?OC，则AB?BC，四边形ABCD不是菱形.

探究活动：

(1)必定是平行四边形.

(2)当AB?BC时，围成的四边形是菱形. (3)当?B?Rt?时，围成的四边形是矩形.

(4)□BEFD的面积是?ABC面积的一半；S?ADF?S?FEC等.

作业题：

1. 以BC边所在直线为对称轴，作轴对称即可（如图）.

2. 略.

3. ∵E，F分别是AB，BC的中点，

∴EF是?ABC的中位线，

1AC（三角形的中位线等于第三边的一半）. 2111同理，FG?BD，HG?AC，HE?BD.

222∴EF?又∵AC?BD，

∴EF?FG?GH?HE.

∴四边形EFGH是菱形（四条边相等的四边形是菱形）. 4. ∵DE//AC，EC//DB，

∴四边形OCED是平行四边形（平行四边形的定义）. 在矩形ABCD中，

AC?BD（矩形的对角线相等），

OC?OA，OB?OD（平行四边形的对角线互相平分），

∴OD?OC.

∴四边形OCED是菱形（菱形的定义). 5. y?z?

5，x?5. 25.3 正方形： 做一做：

(1)×.

(2)√.

(3)√.

(4)√.

课内练习：

1. 提示：由已知可得?ABD??CBD?45?，

∴ ?ABC?90?，所以以四边形ABCD是矩形， 又∵ AB?AD，

∴ 四边形ABCD是正方形.

2. 已知：如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点.

求证：四边形EFGH是正方形.

证明：在正方形ABCD中，AB?BC?CD?DA（正方形的四条边相等）. ∵E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点， ∴AE?EB?BF?CF?CG?GD?DH?HA. ∵?A??B??C??D（正方形的四个角都是直角），

∴?AEH，?BEF，?CFG，?DGH是四个全等的等腰直角三角形， ∴HE?EF?FG?GH，

∴四边形EFGH是菱形（四条边相等的四边形是菱形）. ∵?FEB??AEH?45?，

∴?HEF?180???45??45???90?，

∴菱形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.

作业题：

1. C.

2. 不成立.增加条件：对角线互相平分，就成立.（解答不唯一）. 3. 已知：AG，BG，CE，DE 分别是矩形内角?DAB，?ABC，

?BCD，?CDA的平分线，它们围成四边形EFGH.

求证：四边形EFGH 是正方形.

证明提示：由已知可得?HAD??HDA?45?， ∴ ?AHD?Rt?，且AH?DH， ∴ ?EHG?Rt?. 同理可得?HEF??EFG?Rt?， ∴ 四边形EFGH是矩形.

由已知可得?AHD≌?BFC， ∴ AH?BF. 由已知可得AG=BG，

∴ AG?AH?BG?BF，即HG?FG. ∴ 四边形EFGH 是正方形.

4. 提示：由已知可得HA?EB?FC?GD，

由此可得?AEH≌?BFE≌?CGF≌?DHG， ∴EF?FG?GH?HE， ∴四边形EFGH 是菱形. ∵?FEB??EHA，

∴?FEB??AEH?90?， ∴?HEF?Rt?， ∴四边形EFGH是正方形. 5. 不一定是正方形.

当a?b时，四边形ABCD是正方形.

课内练习：

1. D.

2. 22.5?.

3. 15?.

作业题：

1. B. 2. 217.

3. 提示：连结BE，BF.

由已知可得Rt?BAE≌Rt?BCF， ∴BE?BF， 又∵BM?EF，

∴ME?MF.

4. 提示: ∵四边形ABCD是正方形，

且AE?BF，

∴ ?BAE??ABF?90?，

?ABF??FBC?90?，

∴ ?BAE??FBC.

又∵?ABE??BCF?90?，AB?BC， ∴?ABE≌?BCF. ∴AE?BF. 5. A??1,?1?，B?1,?1?，

C?1,1?，D??1,1?.

6. (1)49cm2.

(2)正方形A，B，C，D的面积分别为：

396927056cm，cm2， 6256251254427056cm，cm2. 625625

设计题：

对设计题教师可从下面几个方面进行指导：

1. 课前布置：每个同学准备若干张矩形纸片和平行四边形纸片，以及如课本图5-21形

状的纸片.

2. 给学生解释设计题中各题的操作要求，并作适当启发. 3. 组织学生之间的相互交流. 4. 设计题中各题的参考解答如下图. (1)

(2)

在AB边上取AM=BE，沿DM，MF分别剪一刀，补成大正方形MFND.

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