工程流体力学（水力学）第二版--禹华谦1-10章习题解答

第一章 绪论

1-1．20℃的水2.5m3，当温度升至80℃时，其体积增加多少？

[解] 温度变化前后质量守恒，即?1V1??2V2 又20℃时，水的密度?1?998.23kg/m3 80℃时，水的密度?2?971.83kg/m3

?V1V12???2.567m93? 2 则增加的体积为?V?V2?V1?0.0679m3 1-2．当空气温度从0℃增加至20℃时，运动粘度

?增加15%，重度?减少10%，问此时动力粘度?增加多少（百分数）？

[解] ??????(1?0.15)?原(1?0.1)?原

?1.035?原?原?1.035?原

????原??1.035?原??原??0.035 原原此时动力粘度?增加了3.5%

1-3．有一矩形断面的宽渠道，其水流速度分布为

u?0.002?g(hy?0.5y2)/?，式中?、?分别为水

的密度和动力粘度，h为水深。试求h?0.5m时

渠底（y=0）处的切应力。 [解] ?dudy?0.002?g(h?y)/? ????dudy?0.002?g(h?y) 当h=0.5m，y=0时

??0.002?1000?9.807(0.5?0)

?9.807Pa

1-4．一底面积为45×50cm2，高为1cm的木块，质量为5kg，沿涂有润滑油的斜面向下作等速运动，木块运动速度u=1m/s，油层厚1cm，斜坡角22.620 （见图示），求油的粘度。

?

u?

[解] 木块重量沿斜坡分力F与切力T平衡时，等速下滑

mgsin??T??Adudy ??mgsin?5?9.8?sin22.62Au??0.4?0.45?1 0.001??0.1047Pa?s

1-5．已知液体中流速沿y方向分布如图示三种情况，试根据牛顿内摩擦定律???dudy，定性绘出切应力沿y方向的分布图。 y y u u u u[解]

yy

?= 0?=?0

??

第二章 流体静力学

2-1．一密闭盛水容器如图所示，U形测压计液面高于容器内液面h=1.5m，求容器液面的相对压强。

[解] ?p0?pa??gh

?pe?p0?pa??gh?1000?9.807?1.5?14.7kPa

2-2．密闭水箱，压力表测得压强为4900Pa。压力表中心比A点高0.5m，A点在液面下1.5m。求液面的绝对压强和相对压强。

[解] ?pA??水g(h1?h2)?pB??水银gh2

?pA?pB??水银gh2??水g(h1?h2)?13.6?103?9.8?

2-5．水车的水箱长3m,高1.8m，盛水深1.2m，

[解] pA?p表?0.5?g

以等加速度向前平驶，为使水不溢出，加速度a的允许值是多少？

p0?pA?1.5?g?p表??g?4900?1000?9.8??4900Pa

??p0?pa??4900?98000?93100Pa p02-3．多管水银测压计用来测水箱中的表面压强。图中高程的单位为m。试求水面的绝对压强pabs。

[解] 坐标原点取在液面中心，则自由液面方程为： z0??ax gl??1.5m时，z0?1.8?1.2?0.6m，2

[解] 此时水不溢出

gz9.8?0.6p0??水g(3.0?1.4)??汞g(2.5?1.4)??水g(2.5?1.2)?pg(a2.?3?1.20)?? a ? ? 汞??3.92m/s2

x?1.52-6．矩形平板闸门AB一侧挡水。已知长

p0?1.6?水g?1.1?汞g?1.3?水g?pa?1.1?汞g

l=2m，宽b=1m，形心点水深hc=2m，倾角?=45，闸门上缘A处设有转轴，忽略闸门

p0?pa?2.2?汞g?2.9?水g?98000?2.2?13.6?103?9.8?2.9?103?9.8?362.8kPa自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需拉力。

2-4． 水管A、B两点高差h1=0.2m，U形压差计中水银液面高差h2=0.2m。试求A、B两点的压强差。（22.736N／m2）

当x??

[解] 作用在闸门上的总压力：

P?pcA??ghc?A?1000?9.8?2?2?1?39200N

作

用

点

位

置

：

1?1?23J2yD?yc?c??12?2.946m ?2ycAsin45?2?1sin45?hl22?yA?c????1.828m ?sin?2sin452?T?lcos45??P(yD?yA)

[解] 水平分力：

h3.0Fpx??ghcAx??g?h?b?1000?9.81??3?4422

P(yD?yA)39200?(2.946?1.828) 压力体体积： T???30.99kN??lcos452?cos45h12?h2V?[h(?h)?h]?()

sin45?28sin45?2-7．图示绕铰链O转动的倾角?=60°的自动开

312?32 ?[3?(?3)??3]?()启式矩形闸门，当闸门左侧水深h1=2m，右侧水??sin4528sin45深h2=0.4m时，闸门自动开启，试求铰链至水闸

?1.1629m3下端的距离x。

铅垂分力：

Fpz??gV?1000?9.81?1.1629?11.41kN

合力：

22Fp?Fpx?Fpz?44.1452?11.412?45.595kN

[解] 左侧水作用于闸门的压力： 方向：

hh1Fpz11.41Fp1??ghc1A1??g1??b ???arctan?arctan?14.5? 2sin60Fpx44.145 右侧水作用于闸门的压力：

hh22-9．如图所示容器，上层为空气，中层为

Fp2??ghc2A2??g2??b2sin60??石油?8170Nm3的石油，下层为

1h11h2?Fp1(x?)?F(x?) p2??3sin603sin60?甘油?12N5m530 h1h11h1h2h21h2??g?b(x?)??g?b(x?)2sin60?3sin60?2sin60?的甘油，试求：当测压管中的甘油表面高程为3sin60? 9.14m时压力表的读数。

1h11h22?h12(x?)?h(x?) [解] 设甘油密度为?1，石油密度为?2，做等压2??3sin603sin601210.4面1--1，则有 2?22?(x?)?0.4?(x?)

3sin60?3sin60?p1??1g(?9.14??3.66)?pG??2g(?7.62??3.66)?x?0.795m

5.48?1g?pG?3.96?2g

2-8．一扇形闸门如图所示，宽度b=1.0m，圆心角?=45°，闸门挡水深h=3m，试求水对闸门的

pG?5.48?1g?3.96?2g

作用力及方向

?12.25?5.48?8.17?3.96

?34.78kN/m2

?2r22g?z?C

2-10．某处设置安全闸门如图所示，闸门宽b=0.6m，高h1= 1m，铰接装置于距离底h2= 0.4m，闸门可绕A点转动，求闸门自动打开的水深h为多少米。

[解] 当hD?h?h2时，闸门自动开启

液体不溢出，要求zI?zII?2h， 以r1?a,r2?b分别代入等压面方程得：

13bh1JCh111hD?hc??(h?)?12?h????2 gh 22a?bhcA2(h?h12)bh21

将hD代入上述不等式

h?112?12h?6?h?0.4 112h?6?0.1

得 h?43?m?

2-11．有一盛水的开口容器以的加速度3.6m/s2沿与水平面成30o夹角的斜面向上运动，试求容器中水面的倾角。

[解] 由液体平衡微分方程

dp??(fxdx?fydy?fzdz)

f0x??acos30，

fy?0，

fz??(g?asin300)

在液面上为大气压，dp?0

?acos300dx?(g?asin300)dz?0

dzacos300?dx?tan??g?asin300?0.269 ???150

2-12．如图所示盛水U形管，静止时，两支管水面距离管口均为h，当U形管绕OZ轴以等角速度ω旋转时，求保持液体不溢出管口的最大角速度ωmax。

[解] 由液体质量守恒知，? 管液体上升高度与 ?? 管液体下降高度应相等，且两者液面同在一等压面上，满足等压面方程：

12h?6 h hA1 h2??max?2gha2?b2 2-13．如图，??600，上部油深h1＝1.0m，下部水深h2＝2.0m，油的重度?=8.0kN/m3，求：平板ab单位宽度上的流体静压力及其作用点。

[解]

合力

P??b?1h112?h2h2油h1sin600?2?水h2sin600＋?油h1sin600＝46.2kN

作用点：

P1?12?油hh11sin600?4.62kN h'1?2.69m1h2P2??水h2?23.09kN0 2sin60'h2?0.77mh2?18.48kN sin600h3'?1.155mP3??油h1''''对B点取矩：P1h1?P2h2?P3h3?PhD'hD?1.115m'hD?3?hDsin600?2.03m 开一个小孔通大气。容器绕其主轴作等角速度旋转。试问当r0多少时，顶盖所受的水的总压力为零。 Or0 [解] 液体作等加速度旋转时，压R强分布为 p??g(2-14．平面闸门AB倾斜放置，已知α＝45°，门宽b＝1m，水深H1＝3m，H2＝2m，求闸门所受水静压力的大小及作用点。 A?2r22g?z)?C 积分常数C由边界条件确定：设坐标原点放在顶盖的中心，则当r?r0，z?0时，h1Bh2p?pa（大气压），于是， [解] 闸门左侧水压力： 在顶盖下表面，z?0，此时压强为 1h1131P??gh?b??1000?9.807?3??1?p62?.41pkN???2(r2?r02) 11a?2sin?2sin452 顶盖下表面受到的液体压强是p，上表作用点： 面受到的是大气压强是pa，总的压力为零，即 RRh131222 h1'???1.414m(p?p)2?rdr???(r?r)2?rdr?0a0???003sin?3sin452闸门右侧水压力： 1h1 2 积分上式，得 P2??gh2?2b??1000?9.8?2??1?27.74kN2sin?2sin45?12R2r??2m ，r?R 0022作用点：

h222-16．已知曲面AB为半圆柱面，宽度为1m，D=3m，' h2???0.943m试求AB柱面所受静水压力的水平分力Px和竖直分力3sin?3sin45? 总压力大小：Pz 。

[解] 水平方向压强分布图和压力体如图所示： P?P?P?62.41?27.74?34.67kN 12211D3??对B点取矩： Px??gD2b??g??b??gD2b 22?2?8'''P1h1?P2h2?PhD 3??9810?32?1?33109N 8'62.41?1.414?27.74?0.943?34.67hD1????Pz??g?D2?b??gD2b

4?416?'hD?1.79m

3.142?9810??3?1?17327N 2-15．如图所示，一个有盖的圆柱形容器，底半16径R＝2m，容器内充满水，顶盖上距中心为r0处2-17．图示一矩形闸门，已知a及h，求证45° p?pa??g[ ?22g(r2?r02)?z]

H>a?1415h时，闸门可自动打开。

[

证明] 形心坐

标

z?H?(a?25h)?hhc?hc2?H?a?10

则压力中心的坐标为

zJcD?hD?zc?zcAJ1c?12Bh3;A?Bh z?(H?a?hh2D10)?12(H?a?h/10)当H?a?zD，闸门自动打开，即

H?a?1415h

第三章 流体动力学基础

3-1

．检

验

ux?2x2?y, uy?2y2?z, uz??4(x?y)z?xy不可压缩流体运动是否存在？

[解]（1）不可压缩流体连续方程

?ux?uy??x??y?uz?z?0 （2）方程左面项

?ux?4x?uy?x；

?y?4y；

?uz?z??4(x?y) （2）方程左面=方程右面，符合不可压缩流

体连续方程，故运动存在。 3-2．某速度场可

表示为

ux?x?t；uy??y?t；uz?0，试求：（1）加速

度；（2）流线；（3）t= 0时通过x=-1，y=1点的流线；（4）该速度场是否满足不可压缩流体的连续方程？

[解] （1）ax?1?x?t

ay?1?y?t 写成矢量即

a?(1?x?t)i?(1?y?t)j

az?0

（2）二维流动，由

dxu?dy，积分得流线：xuyln(x?t)??ln(y?t)?C1

即 (x?t)(y?t)?C2

（3）t?0,x??1,y?1，代入得流线中常数

C2??1

流线方程：xy??1 ，该流线为二次

曲线

（4）不可压缩流体连续方程：

?ux?uy??x??y?uz?z?0 已知：

?ux?x?1,?uy?y??1,?uz?z?0，故方程满足。 3-3．已知流速场

u?(4x3?2y?xy)i?(3x?y3?z)j，试问：（1）点

（1，1，2）的加速度是多少？（2）是几元流动？（3）是恒定流还是非恒定流？（4）是均匀流还是非均匀流？ [解]

u3x?4x?2y?xyuy?3x?y3?z

uz?0du?u?u?u?uax?x?x?uxx?uyx?uzxdt?t?x?y?z?0?(4x3?2y?xy)(12x2?y)?(3x?y3?z)(2?x)?0

代入（1，1，2）

)?0?ax?0?(4?2?1)(12?1)?(3?1?2)(2?1a1(1?qn)1?0.988Sn???7.462

1?q1?0.984qV14?0.047?10?3v1?2??8.04m/s?dSn??0.0012?7.462v8?0.987v1?0.987?8.04?6.98m/s

?ax?103

同理：

?ay?9

3-5．在如图所示的管流中，过流断面上各点流速

r按抛物线方程：u?umax[1?()2]对称分布，式中

r0因此 （1）点（1，1，2）处的加速度是

??a?103i?9j

（2）运动要素是三个坐标的函数，

属于三元流动

?u（3）?0，属于恒定流动

?t（4）由于迁移加速度不等于0，属于

非均匀流。 3-4．以平均速度v =0.15 m/s 流入直径为D =2cm 的排孔管中的液体，全部经8个直径d=1mm的排孔流出，假定每孔初六速度以次降低2%，试求第一孔与第八孔的出流速度各为多少？

管道半径r0=3cm，管轴上最大流速umax=0.15m/s，试求总流量Q与断面平均流速v。

r0r2Q?udA?u[1?([解] 总流量：?A?0maxr0)]2?rdr

??2umaxr02?断

?2面

?0.15?0.032?2.12?10?4m3/s

平

均

流

速

：

?

[

解

]

由

题

意

v?Q2??r02?r02umaxr02?umax?0.075m/s 23-6．利用皮托管原理测量输水管中的流量如图所

测得水银差压计qV?v?0.15??0.022?0.047?10?3m3/s?0.047示。L/s已知输水管直径d=200mm，

44读书hp=60mm，若此时断面平均流速v=0.84umax，

这里umax为皮托管前管轴上未受扰动水流的流

速，问输水管中的流量Q为多大？（3.85m/s）

v2?0.98v1；v3?0.982v1；······；

?D2?v8?0.987v1

qV??d24(v1?0.98v1?0.98v1???0.98v1)?27?d24v1Sn

式中Sn为括号中的等比级数的n项

和。

由于首项a1=1，公比q=0.98，

项数n=8。于是

?

2pAuAp?? ?g2g?g2uApp????A?(?1)hp?12.6hp 2g?g?g?[解] ?uA?2g?12.6hp?2?9.807?12.6?0.06?3.85m/s

Q??2?4dv?4?0.22?0.84?3.85?0.102m3/s

3-7．图示管路由两根不同直径的管子与一渐变连接管组成。已知dA=200mm，dB=400mm，A点相对压强pA=68.6kPa，B点相对压强pB=39.2kPa，B点的断面平均流速vB=1m/s，A、B两点高差△z=1.2m。试判断流动方向，并计算两断面间的水头损失hw。

[解] ??4d2AvA??d24BvB

?vd2B4002A?d2vB?()?1?4m/s

A200 假定流动方向为A→B，则根据伯努利方

程

z?p22A?Av?g?A2g?zpB?BvBAB??g?2g?hw

其中zB?zA??z，取?A??B?1.0

?hp22A?pBvA?vBw??g?2g??z

?68600?392009807?42?122?9.807?1.2

?2.56m?0

故假定正确。 3-8．有一渐变输水管段，与水平面的倾角为45o，如图所示。已知管径d1=200mm，d2=100mm，两断面的间距l=2m。若1-1断面处的流速v1=2m/s，水银差压计读数hp=20cm，试判别流动方向，并计算两断面间的水头损失hw和压强差p1-p2。

[解] ??24d1v1??d242v2

?vd2120022?d2v1?()?2?8m/s

2100假定流动方向为1→2，则根据伯努利方程

pv221?11?p2?2v2?g?2g?lsin45??g?2g?hw 其中p1?p2?g?lsin45??(????1)hp?12.6hp，

取

?1??2?1.0

?hhv221?v24?64w?12.6p?2g?12.6?0.2?2?9.807??

故假定不正确，流动方向为2→1。

由

p1?p2?g?lsin45??(????1)hp?12.6hp 得 p1?p2??g(12.6hp?lsin45?)

?9807?(12.6?0.2?2sin45?)?38.58k

3-9．试证明变截面管道中的连续性微分方程为??1?t??(?uA)A?s?0，这里s为沿程坐标。 [证明] 取一微段ds，单位时间沿s方向流进、流出控制体的流体质量差△ms为

?ms?(??1??1?u1?A1??1?u1?Ads)(u?ds)(A?ds)?(??ds)(u?ds)(A?ds)2?s2?s2?s2?s2?s2?s?(?uA)??(略去高阶项)?s因密度变化引起质量差为

?? ?m?? Ads?t 由于?ms??m?

[解] p2??水gh?pa?p2?pa??水gh

???(?uA)Ads??ds?t?s

??1?(?uA)???0?tA?s2pa??水papap2v20??0?0?????气g?气g2g?气g?气g2?2g?水v22?9.807?1??水h?v2?h?2g?气?气1.23-10．为了测量石油管道的流量，安装文丘里流

量计，管道直径d1=200mm，流量计喉管直径d2=100mm，石油密度ρ=850kg/m3，流量计流量系数μ=0.95。现测得水银压差计读数hp=150mm。问此时管中流量Q多大？

3.14?0.22?47.757qV?v2??1.5m3/s44?d2

3-12．已知图示水平管路中的流量qV=2.5L/s，直径d1=50mm，d2=25mm，，压力表读数为9807Pa，若水头损失忽略不计，试求连接于该管收缩断面上的水管可将水从容器内吸上的高度h。

[解] 根据文丘里流量计公式得

3.14?0.222g2?9.807 0.13944K???[解] ?0.0363.873 d140.24()?1()?122?34q?d?d4?2.5?10V12d20.1qV?v1?v2?v1?2??1.244?d13.14?0.05?d12??13.6qV??K(?1)hp?0.95?0.036?(?1)?0.15?0.85?0.0513m/s?51.3L/s

3-11．离心式通风机用集流器A从大气中吸入空气。直径d=200mm处，接一根细玻璃管，管的下端插入水槽中。已知管中的水上升H=150mm，求每秒钟吸入的空气量Q。空气的密度ρ为1.29kg/m3。

34qV4?2.5?10?3v2?2??5.?d23.14?0.025222

p?pav2p?(pa?ppv0?1?1?0?2??1?g2g?g2g?gpa?p2v2?v1p15.0932?1.2732??????g2g?g2g

p2??gh?pa?h?pa?p2?0.2398mH2O?g22

3-13．水平方向射流，流量Q=36L/s，流速

v=30m/s，受垂直于射流轴线方向的平板的阻挡，截去流量Q1=12 L/s，并引起射流其余部分偏转，不计射流在平板上的阻力，试求射流的偏转角及对平板的作用力。（30°；456.6kN）

4Q4?33.4?10?3v0?2??68.076m/s2?d3.14?0.025

x方向的动量方程：

0??Q1v1??Q2(?v2)??Qv0cos60??Q1?Q2?Qcos60??Q?Q2?Q2?0.5Q?Q2?0.25Q?8.35L/s?Q1?Q?Q2?0.75Q?25.05L/s

[解] 取射流分成三股的地方为控制体，取x轴向右为正向，取y轴向上为正向，列水平即x方向的动量方程，可得：

?F???qV2v2cos???qVv0

y方向的动量方程：

F??0??Q(?v0sin60?)?F???Qv0sin60??1969.12N

y方向的动量方程： 3-15．图示嵌入支座内的一段输水管，其直径从

变化到d2=1000mm。若管道通过流量1=1500mm0??qV2v2sin???qV1v1?qV2v2sin??dqV1v1qV=1.8m3/s时，支座前截面形心处的相对压强为

qv12v0?sin??V11??0.5392kPa，试求渐变段支座所受的轴向力F。不计

qV2v224v0水头损失。

???30?

不计重力影响的伯努利方程：

1p??v2?C

2控制体的过流截面的压强都等于当地大

气压pa，因此，v0=v1=v2

[解] 由连续性方程：

?F??1000?24?10?3?30cos??1000?36?10?3?30??F???456.5N?F??456.5N

3-14．如图（俯视图）所示，水自喷嘴射向一与其交角成60o的光滑平板。若喷嘴出口直径d=25mm，喷射流量Q=33.4L/s，，试求射流沿平板的分流流量Q1、Q2以及射流对平板的作用力F。假定水头损失可忽略不计。

v1?v2444q4?1.8?v1?V??1.02m/s；v2?d123.14?1.52qV??d12?d22伯努利方程：

pvpv0?1?1?0?2?2?g2g?g2g2222v?v2?p2?p1???1?392?103?1002

动量方程：

[解] v0=v1=v2

Fp1?F??Fp2??qV(v2?v1)?p1p1

?4d12?p2?42d2cos45??Fx??Q(v2cos?d1244 3 将本题中的数据代入： 3.14?1.523.14?1.023?392?10??F??389.898?10??1000?1.8?(2.29?1.02)44?2?2F?pd?pd2cos45???qV(v2cosx112?F??692721.18?306225.17?228644?F??382.21kN=32.27kN

?F??p2?d22??qV(v2?v1)

3-16．在水平放置的输水管道中，有一个转角已知上游管道直??450的变直径弯头如图所示，

径d1?600mm，下游管道直径d2?300mm，流量

qV?0.425m/s，压强p1?140kPa，求水流对这

3

Fy?p2=7.95 kN

?42d2cos45???qVv2cos45?F?Fx2?Fy2?33.23kN

??tan?1FyFx?13.830

段弯头的作用力，不计损失。

水流对弯管的作用力F大小与F相等，

方向与F相反。

3-17．带胸墙的闸孔泄流如图所示。已知孔宽B=3m，孔高h=2m，闸前水深H=4.5m，泄流量qV=45m3/s，闸前水平，试求水流作用在闸孔胸墙上的水平推力F，并与按静压分布计算的结果进行比较。

[解] （1）用连续性方程计算vA和vB

v1?4qV4?0.425??1.5m/s； 22πd1π?0.6v2?4Q4?0.425??6.02m/s 2πd2π?0..32

[解] 由连续性方程：

qV?BHv1?Bhv2?v1?（2）用能量方程式计算p2

2v12v2?0.115m；?1.849m 2g2gqV45??3.33m/s；vBH3?4.5

动量方程：

?vv?p2?p1??g????140?9.81?(0.115?1.849)?122.98?2g2g? kN/m2

（3）将流段1-2做为隔离体取出，建立图示坐标系，弯管对流体的作用力R的分力为

RX和RY，列出x和y两个坐标方向的动量方程式，

2122Fp1?Fp2?F???qV(v2?v1)??F???Fp1?Fp2??qV(v2?v1)11??F????gH2B??gh2B??q221??F???1000?9.807?3?(22?2??F??F??51.4kN(?)得

?p2

?4dcos45??Fy??Q(v2cos45??0)22

按静压强分布计算

11F??g(H?h)2B??1000?9.80722

3-18．如图所示，在河道上修筑一大坝。已知坝址河段断面近似为矩形，单宽流量qV=14m3/s，上游水深h1=5m，试验求下游水深h2及水流作用在单宽坝上的水平力F。假定摩擦阻力与水头损失可忽略不计。

据量纲一致性原则求指

数 、 、 ：

M： 1 = L ： 1 = T：

-2 = - = -1 故

解得 = 1 = 2

4-6 有压管道流动的管壁面

切应力 ，与流动速度 、管径D、动力粘度 和流体密度 有关，试用量纲分析法推导切应力 的表达式。

解：[解] 由已知 选择

[解] 由连续性方程： 为基本量，m=3，n=5，则组成n-m=2个π项

qV?Bh1v1?Bh2v2将π数方程写成量纲形式

qV1414?v1???2.8m/s；v2?

Bh15h2解上述三元一次方程组，得

由伯努利方程：

22 v1v222h1?0??h2?0??v2?2g(h1?h2)?v1解上述三元一次方程组，得 2g2g

1422?()?2?9.807(5?h2)?2.8代入 后，可表达成

h2 即

?h2?1.63m4-7 一直径为 d、密度为 的

固体颗粒，在密度为 、动力粘度为 的流体中静

由动量方程： 止自由沉降，其沉降速度 ，其中 为重力加速度，

- 为颗粒与流体密度之差。试用量纲分析法，证

明固体颗粒沉降速度由下式表示： Fp1?Fp2?F???qV(v2?v1)

112解：选 、 、 为基本量，故??gh12??gh2?F???qV(v2?v1)22可组成3个 数，即

12其中， ??F???qV(v2?v1)??g(h12?h2)2求解各 数， 141 即 ??F??1000?14?(?2.8)??1000?9.807?(52?1.632)1.632对于 ，

??F??F??28.5kN 4-2 用式（4-3）证明压强差△p、管径d、重力 即 加速度g三个物理量是互相独立的。 对于 ，

解： = = = 即 将 、 、 的量纲幂指数代入故 =0 化简整理，解出

幂指数行列式得 又 与 成正比，将 提出，则

= -2 0 因为量纲幂指数行列式不为4-8 设螺旋浆推进器的牵引

零，故 、 、 三者独立。 力 取决于它的直径D、前进速度 、流体密度 、

4-4 用量纲分析法，证明离心粘度 和螺旋浆转速度 。证明牵引力可用下式表

力公式为F= kWv2 / r。式中，F为离心力；M示： 为作圆周运动物体的质量； 为该物体的速度；d解：由题意知， 为半径；k为由实验确定的常数。 选 为基本量，故可组成3个

解：设 数，即

其中，

即 对于

即

对于

即 故

就F解出得

4-10 溢水堰模型设计比例

=20，当在模型上测得流量为 时，水流对堰体的推力为 ，求实际流量和推力。

解：堰坎溢流受重力控制，由

弗劳德准则，有 ，

由 = =

而 所以， 即

4-13 将高 ，最大速度 的汽

车，用模型在风洞中实验（如图所示）以确定空气阻力。风洞中最大吹风速度为45 。

（1）为了保证粘性相似，模

型尺寸应为多大？

（2）在最大吹风速度时，模

型所受到的阻力为 求汽车在最大运动速度时所受的空气阻力（假设空气对原型、模型的物理特性一致）。

解：（1）因原型与模型介质相

同，即

故由 准则有 所以， （2） ，又 ，所以 即 4-14 某一飞行物以36 的速

度在空气中作匀速直线运动，为了研究飞行物的运动阻力，用一个尺寸缩小一半的模型在温度为 ℃的水中实验，模型的运动速度应为多少？若测得模型的运动阻力为1450 N，原型受到的阻力是多少？已知空气的动力粘度 ，空气密度为 。

解：由 准则有 即 所以 （2）

5-2 有一矩形断面小排水沟，

水深 ，底宽 流速 水温为15℃，试判别其流态。

解： ， > ，属于紊流

5-3 温度为 ℃的水，以 的流

量通过直径为 的水管，试判别其流态。如果保持管内液体为层流运动，流量应受怎样的限制？

解：由式（1-7）算得 ℃时， （1）判别流态 因为 所以 ，属于紊流

（2）要使管内液体作层流运

动，则需

即

5-4 有一均匀流管路，长 ，

直径 ，水流的水力坡度 求管壁处和 处的切应力及水头损失。

解：因为

所以在管壁处： 处： 水头损失：

5-5 输油管管径 输送油量 ，

求油管管轴上的流速 和1 长的沿程水头损失。已知 ， 。

解：（1）判别流态

将油量Q换成体积流量Q ，层流

（2）由层流的性质可知 （3）

5-6 油以流量 通过直径 的

细管，在 长的管段两端接水银差压计，差压计读数 ，水银的容重 ，油的容重 。求油的运动粘度。

解：列1-2断面能量方程 取 （均匀流），则

假定管中流态为层流，则有 因为 属于层流 所以，

5-7 在管内通过运动粘度 的

水，实测其流量 ，长 管段上水头损失 H2O，求该圆管的内径。

解：设管中流态为层流，则 而

代入上式得

验算： ， 属于层流 故假

设正确。

5-9 半径 的输水管在水

温 ℃下进行实验，所得数据为 ， ， 。

（1）求管壁处、 处、 处的

切应力。

（2）如流速分布曲线在 处的

速度梯度为 4.34 ，求该点的粘性切应力与紊流附加切应力。

（3）求 处的混合长度及无量

纲常数 如果令 ，则 ？

解：（1） （2）

（3） 所以 = 又

若采用 ， 则

5-10 圆管直径 ，通过该管道

的水的速度 ，水温 ℃。若已知 ，试求粘性底层厚度 。如果水的流速提高至 ，如何变化？如水的流速不变，管径增大到 ， 又如何变化？

解： ℃时， （1） （2） （3）

5-12 铸铁输水管长 =1000 ，

内径 ，通过流量 ，试按公式计算水温为10℃、15℃两种情况下的 及水头损失 。又如水管水平放置，水管始末端压强降落为多少？

解：

(1)t=10℃ 时，符合舍维列夫

公式条件，因 ，故由式（5-39）有

(2)t=15℃时，由式（1-7）得

由表5-1查得当量粗糙高度

则由式（5-41）得，

5-13 城市给水干管某处的水

压 ，从此处引出一根水平输水管，直径 ，当量粗糙高度 = 。如果要保证通过流量 ，问能送到多远？（水温 ℃）

解： t=25℃时，

由式（5-41）得， 又

由达西公式 得

5-14 一输水管长 ，内径 管

壁当量粗糙高度 ，运动粘度 ，试求当水头损失 时所通过的流量。

解：t=10℃时，由式（1-6）

计算得 ，假定管中流态为紊流过渡区

因为

代入柯列勃洛克公式（5-35）

得

㏒ = -2㏒( ) 所以 =

检验：

因为 ,属于过渡区，故假定

正确，计算有效。

5-16 混凝土排水管的水力半

径 。水均匀流动1km的水头损失为1 m,粗糙系数 ，试计算管中流速。

解：水力坡度 谢才系数 代入谢才公式得 5-20流速由 变为 的突然扩

大管，如分为二次扩大，中间流取何值时局部水头损失最小，此时水头损失为多少？并与一次扩大时的水头损失比较。

解：一次扩大时的局部水头损

失为：

分两次扩大的总局部水头损

失为：

在 、 已确定的条件下，求产

生最小 的 值:

即当 时，局部水头损失最小，

此时水头损失为

由此可见，分两次扩大可减小

一半的局部水头损失。

5-21 水从封闭容器 沿直

径 ，长度 的管道流入容器 。若容器 水面的相对压强 为2个工程大气压， ，局部阻力系数 沿程阻力系数 ，求流量 。

解：取 基准面，列 断面能量

方程

所以 = = Q= =

5-22 自水池中引出一根具有

三段不同直径的水管如图所示。已知 ， ， ，局部阻力系数 求管中通过的流量并绘出总水头线与测压管水头线。

解：取 基准面，则 断面方程

得

其中，

????=dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy 5-23 图中 ， ，计算水银差

?y?x压计的水银面高差 ，并表示出水银面高差方向。

解：以 为基准面，据

ψ= dψ?又

= =7.65

????=dx+dy=?-Vydx+Vxdy=? 5-25 计算图中逐渐扩大管的??x?y局部阻力系数。已知 ， 工程大气压， ， 工程大气压， ，流过的水量 。 4ydx+(4x+1)dy

解：以 断面为基准面，据

又，

第六章 理想流体动力学 6-1平面不可压缩流体速度分布为

Vx=4x+1；Vy=-4y.

(1) 该流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函数ψ存在否?（3）求φ、ψ

解：（1）由于?Vx?x??Vy?y?4?4?0，故该流动满足连续性方程

（2）由ω1?Vy?Vx1z=2(?x??y)=2(?4?4)＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程， 流函数ψ存在，.

（3）因 Vx????x????y=4x+1 Vy=???y=-???x=-4y

d

φ

=?????xdx+?ydy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy

φ

=

?d

φ

=

??????xdx+?ydy=

?Vxdx+Vydy=

?

(4x+1)dx+(-4y)dy

=2x2-2y2+x d

ψ

=4xy+y

6-2 平面不可压缩流体速度分布: Vx=x2-y2+x; Vy=-(2xy+y).

(1) 流动满足连续性方程否? (2) 势函数φ、流函

数ψ存在否? (3)求φ、ψ .

解：（1）由于

?Vx?x+?Vy?x=2x＋1－（2x＋1）＝0，故该流动满足连续性方程，流动存在.

(2）由ω1z=

2(?Vy?x??Vx?y)=12(?2y?(?2y))＝0, 故流动有势，势函数φ存在，由于该流动满足连续性方程，流函数ψ也存在. （3）因 Vx=

???x =???y= x2-y2+x,

Vy=

???y=-???x=-(2xy+y).

dφ

=

??dx+??dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2?x?y+x )dx+(-(2xy+

y).)dy φ=

?dφ=

??????xdx+?ydy=?Vxdx+Vydy

=

? (x2-y2+x )dx+(- (2xy+y))dy

x3=3-xy2+(x2-y2)/2 dψ=

?????xdx+?ydy=-Vydx+Vxdy

ψ=

?dψ=

????xdx+???ydy=?-Vydx+Vxdy

=

?(2xy+y)dx+ (x2-y2+x)dy =x2y+xy-y3/3

6-3平面不可压缩流体速度势函数 φ=x2

-y2

-x,求流场上A(-1,-1),及B(2,2)点处的速度值及流函数值 解: 因 Vx=

????x =??y=2x-1，Vy ＝

?????Vx?Vy?y???x??2y，由于?x+?x＝0，该流动满足连续性方程，流函数ψ存在

dψ=

?????xdx+?ydy=-Vydx+Vxdy

ψ

=

?d

ψ

=

????xdx+???ydy=?-Vydx+Vxdy=?2ydx+(2x-1)d

y=2xy-y

在点(-1,-1)处 Vx=-3; Vy=2; ψ=3 在点(2,2)处 Vx=3; Vy=-4; ψ=6

6-4已知平面流动速度势函数 φ=-q2?lnr,写出速度分量Vr,Vθ,q为常数。 解: Vr=

???r =-q2?r, V=??θr??==0

6-5 已知平面流动速度势函数 φ=-mθ+C ,写出速度分

量Vr、Vθ, m为常数 解: Vr=

???r =0, V=??mθr??==-r

6-6已知平面流动流函数ψ=x+y,计算其速度、加速度、线变形率ε

xx

,ε

yy

, 求出速度势函数φ.

解： 因 Vx=

???x =???y= 1

Vy=?????y=-?x=-1

dφ=

?????xdx+?ydy=Vxdx+Vydy

φ=

?dφ

=

????xdx+???ydy=?Vxdx+Vydy=?dx+(-1)dy=x-y

??vx?vxx??x,?yy?y?y adVxx=

dt??Vx?t?Vx?Vx?x?Vy?Vx?y?0； adVyy=

dt??Vy?t?Vx?Vy?x?Vy?Vy?y?0 6-7 已知平面流动流函数ψ=x2

-y2

,计算其速度、加速度,求出速度势函数φ.

解： 因 Vx=

???x =???y= -2y

Vy=

?????y=-?x=-2x

dφ=

???xdx+???ydy=Vxdx+Vydy

φ=

?dφ

=

????xdx+???ydy=?Vxdx+Vydy=?-2ydx+(-2x)dy=

-2xy adVxdt??Vx?Vx?Vxx=

?t?Vx?x?Vy?y?4x adVyy=

dt??Vy?t?Vx?Vy?x?Vy?Vy?y?4y; 6-8一平面定常流动的流函数为

?(x,y)??3x?y

试求速度分布，写出通过A（1，0），和B（2，3）两点的流线方程. 解：vx????y?1, vy?????x?3 平面上任一点处的速度矢量大小都为

12?(3)2?2，与x和正向夹角都是

arctan(3/1)?600。

A点处流函数值为?3?1?0??3，通过A点的流线方程为?3x?y??3。同样可以求解出通过B点的流线方程也是?3x?y??3。

6-9 已知流函数ψ=V∞(ycosα-xsinα),计算其速度,加速度,角变形率(?1?vy?xy=?yx=2(?x+vx?y)),并求速度势函数φ. 解： 因 Vx=

???x =???y= V∞cosα

Vy=

???y=-???x= V∞sisα

dφ=

????xdx+??ydy=Vxdx+Vydy

φ

=

?d

φ

=

????xdx+???ydy=?Vxdx+Vydy= V∞?cosαdx+

sisαdy

= V∞( cosαx+ sisαy) ax=

dVx?dt?Vx?t?Vx?Vx?x?Vy?Vx?y?0 adVy?y=

dt?Vy?t?Vx?Vy?x?Vy?Vy?y?0; ?1?vy?vxxy=?yx=

2(?x+?y)=0 6-10.证明不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。

解: 不可压缩三维流动的连续性方程为

?vx??x?vy?y??vz?z?0 将关系??????x?vx， ?y?vy， ??z?vz代入上式得到 ??x(???x)???y(???y)???z(???z)?0 或 ?2??2??2??x2??y2??z2?0

可见不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。

6-11 什么样的平面流动有流函数?

答: 不可压缩平面流动在满足连续性方程

?vx?x??vy?y?0 或

?vx?（?x?-vy）?y 的情况下平面流动有流函数.

6-12 什么样的空间流动有势函数?

答: 在一空间流动中，如果每点处的旋转角速度矢量?=?xi+?yj+?zk都是零矢量，即?x??y??z?0，或关系

?vz?vy?vx?vz?y??z,?z??x,?vy?x??vx?y成立, 这样的空间流动有势函数. 6-13 已知流函数ψ=-q2??,计算流场速度. 解: Vr=

??r??=-q2?r

V??θ=-?r=0 6-14平面不可压缩流体速度势函数 φ=ax(x2

-3y2

),a<0,试确定流速及流函数,并求通过连接A(0,0)及B(1,1)两点的连线的直线段的流体流量. 解： 因 Vx=

???x????y=a(3x2-3y2) Vy=

???y=-???x=-6axy

dψ

=

???xdx+???ydy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)

dy ψ

=

?dψ

=

?????xdx+??ydy=?-Vydx+Vxdy

=?6axydx+

a(3x2-3y2)dy

=3ax2y-ay3

在A(0,0)点 ψA=0； B（1,1）点ψB=2a，q=ψA-ψB=-2a.

6-15 平面不可压缩流体流函数ψ=ln(x2

+y2

), 试确定该流动的势函数φ.

解：因 Vx=

???x =??2y?y=x2?y2

Vy=

???y=-???x=-2xx2?y2

d

φ

=

???xdx+???ydy=Vxdx+Vydy=2yx2?y2dx-2xx2?y2dy

???

Vxdx+Vydy=

?2y2xx2?y2dx-x2?y2dy=-2arctan(yx)

6-16 两个平面势流叠加后所得新的平面势流的势函数及流函数如何求解?

解: 设想两个平面上各有一平面势流，它们的势函数分别为?1，?2, 流函数分别为?1，?2。现将两个平面重合在一起，由此将得到一个新的平面流动，这一新的流动与原有两个平面流动都不相同。合成流动仍然是一有势流动，其势函数?可由下式求出：

???1??2

同样，合成流动的流函数?等于

???1??2

6-17 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数?和流函数?与速度分量vx,vy有什么关系?

解: 在平面直角系下, 平面有势流动的势函数?和流函数?与速度分量vx,vy有如下关系.

???x????y?v????x, ?y???x?vy 6-18什么是平面定常有势流动的等势线? 它们与平面流线有什么关系?

解:在平面定常有势流动中，势函数?只是x,y的二元函数，令其等于一常数后，所得方程代表一平面曲线，称为二维有势流动的等势线。平面流动中，平面上的等势线与流线正交。

6-19 试写出沿y方向流动的均匀流(V=Vy=C=V∞)的速度势函数φ，流函数ψ. 解：因 Vx=

???x =???y=0

Vy=

????y=-??x=V∞

dφ=

???xdx+???ydy=Vxdx+Vydy=0dx+ V∞dy

φ= V∞y

dψ=

?????xdx+?ydy=-Vydx+Vxdy=- V∞dx

??- V∞x

6-20 平面不可压缩流体速度分布为：Vx=x-4y；Vy=-y-4x 试证：

（1）该流动满足连续性方程， (2) 该流动是有势

的，求φ, (3)求ψ，

解：（1）由于

?Vx?Vy?x??y?1-1=0，故该流动满足连续性方程, 流函数ψ存在

(2）由于ω1?Vyz= 2(

?x??Vx?y)=0, 故流动有势,

势函数φ存在. 3）因 Vx=

?????x??y=x-4y Vy=

?????y=-?x=-y-4x

dφ=

???xdx+???ydy=Vxdx+Vydy= (x-4y)

dx+(-y-4x)dy φ

=

?dφ

=

?????xdx+??ydy=

?Vxdx+Vydy=

? (x-4y)

dx+(-y-4x)dy

=

x2?y22?4xy dψ

=

???xdx+???ydy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy

ψ

=

?dψ

=

??????xdx+?ydy=?-Vydx+Vxdy=?(y+4x)d

x+(x-4y)dy =xy+2(x2-y2)

6-21 已知平面流动流函数ψ=arctgyx，试确定该流动

的势函数φ. 解：因 Vx=

???x =??x?y=x2?y2 Vy=

???y=-???x=yx2?y2

d

φ

=

???xdx+???ydy=Vxdx+Vydy=xx2?y2dx+

yx2?y2dy φ

=

?dφ

=

????xdx+

???ydy=

?Vxdx+Vydy=

?

xx2?y2dx+yx2?y2dy =lnx2?y2

6-22 证明以下两流场是等同的，(Ⅰ)φ=x2

+x-y2

, (Ⅱ)ψ=2xy+y.

证明:对 (Ⅰ)φ=x2

+x-y

2

Vx=

???x=2x+1 Vy=

???y=-2y 对 (Ⅱ) ψ=2xy+y

Vx ????y=2x+1 Vy=-

???x=-2y 可见?与?代表同一流动.

6-23 已知两个点源布置在x轴上相距为a的两点，第

一个强度为2q的点源在原点，第二个强度为q的点源位于（a, 0）处，求流动的速度分布（q?0）。 解: 两个流动的势函数分别为

2q?ln(x2?y2)1/22及q2?ln(x?a)2?y2)1/2, 合成流动的势函数为??2qln(x2?y2)1/2+qln((x?a)2?y2)1/22?2?, v???2q2x???x(2?ln(x?y2)1/2?x+

qln((x?a)2?y2)1/22?)=qx?x2?y2?qx?a2?(x?a)2?y2

v?y???y???y(2q2?ln(x2?y2)1/2+q2?ln((x?a)2?y2)1/2)=qyqy?x2?y2?2?(x?a)2?y2 6-24 如图所示，平面上有一对等强度为?(??0)的点涡，其方向相反，分别位于（0，h），（0，-h）两固定点处，同时平面上有一无穷远平行于x轴的来流v?，试求合成速度在原点的值。

v0yΓoxΓ 解: 平面上无穷远平行于x轴的来流v?, 上,下两点涡的势函数分别为v?x，??2?arctan((y?h)/x), ?2?arctan((y?h)/x), 因而平面流动的势函数为v?2?arctany(?(h)/x)+ ??x?2?arctan((y?h)/x),

v????x?v?y?hx??2?x2?(y?h)2

??y?h???2?x2?(y?h)2,vy??y??x2?x2?(y?h)2+?x2?x2?(y?h)2,将原点坐标(0,0)代入后可得

v?x?v???h, vy?0. 6-25 如图，将速度为v?的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置。

yv∞oθv∞vqx 解: 均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为v?x及

q2?lnx2?y2, 因而平面流动的势函数为??vq?x+2?lnx2?y2,

v??x??x?v?qx??qy?2?x2?y2, vy??y?2?x2?y2,令vvqx?0,y?0, 得到x??2?v,y?0. ?6-26如图，将速度为v?的平行于x轴的均匀流和在原点强度为q的点源叠加，求叠加后流场中驻点位置, 及经过驻点的流线方程.

yv∞oθv∞vq解: 先计算流场中驻点位置.

均匀流和在原点强度为q的点的势函数分别为v?x及

q2?lnx2?y2, 因而平面流动的势函数为??vq?x+2?lnx2?y2, v?qx??qx???x?v2?x2?y2, vy??y?y??2?x2?y2,令vqx?0,vy?0, 得到x??2?v,y?0.此即流场?中驻点位置.

均匀流和在原点强度为q的点的流函数分别为v?y,

q2?arctan(yx),因而平面流动的流函数为??vqy?y+2?arctan(x), 在驻点??0, 因而经过驻

点的流线方程为vqy?y+2?arctan(x)=0

6-27 一强度为10的点源与强度为-10的点汇分别放置

于（1，0）和（-1，0），并与速度为25的沿x 轴负向的均匀流合成，求流场中驻点位置。

解: 均匀流, 点源与点汇的势函数分别为-25x,

10ln((x?1)2?y2)0.5, ?10ln((x?1)2?y2)0.52?2?, 因而平面流动的势函数为

???25x+

10ln(x?1)2?y22?-102?ln(x?1)2?y2

vx???10?x??25?x?110x?12?(x?1)2?y2?2?(x?1)2?y2,

x

??10y10y?? vy? ?y2?(x?1)2?y22?(x?1)2?y2令vx?0,vy?0, 得到x??2/5??1,y?0.此即流场中驻点位置.

6-28 一平面均匀流速度大小为v?，速度方向与x轴正向夹角为?，求流动的势函数?和流函数?。 解: vx?v?cos?,vy? v?sin?,

7.2 流体以速度v0=0.8m/s绕一块长 L=2m的平板流动，如果流体分别是水（?1?10（?2?8?10?5?6m2/s）和油

m2/s），试求平板末端的边界层厚度。

【解】先判断边界层属层流还是湍流

6 水：ReL?v0L/?1?1.6?10 5 油：ReL?v0L/?2?2?10

???? dφ=dx+dy=Vxdx+Vydy

?y?x φ=

油边界层属层流

??dφ

?2L8?10?5?2??5.477?5.477?0.07v00.8

水边界层属湍流

=

????dx+dy=?Vxdx+Vydy=??y?x??0.37LReL15?0.372(1.6?106)15?0.042m

v?cos?dx+v?sin?dy=v?cos?x+ v?sin?y

7.3 空气以速度v0=30m/s吹向一块平板，空气的运动粘度??15?10m/s，边界层的转捩临界雷诺数

?62????dψ=dx+dy=-Vydx+Vxdy

?y?x ψ=

Rexcr?106，试求距离平板前缘x=0.4m及x=1.2m的

边界层厚度。空气密度??1.2kg/m。

3?dψ

=

?????dx+dy=?-Vydx+Vxdy=?-?y?x6【解】（1）x=0.4m，Rex?v0x/??0.8?10?Rexcr，

为层流边界层

v?sin?dx+v?cos?dy=-v?sin?x+v?cos?y

?x15?10?6?0.4??5.477?5.477?0.0024m

v0306（2）x=1.2m，Rex?v0x/??2.4?10?Rexcr，为

第七章

7.1 水以来流速度v0=0.2m/s顺流绕过一块平板。已知

水的运动粘度??1.145?10m/s，试求距平板前缘5m处的边界层厚度。

【解】计算x=5m处的雷诺数

?62湍流边界层

??0.37xRex15?0.371.2(2.4?106)15?0.023m

Rex?v0x/??8.7?105

该处的边界层属湍流

7.4 边长为1m的正方形平板放在速度v0=1m/s的水流中，求边界层的最大厚度及双面摩擦阻力，分别按全板都是层流或者都是湍流两种情况进行计算，水的运动粘

??0.37

xRex15?0.375(8.7?10)155度??10m/s。

?62?0.12m6【解】b=1m, L=1m, ReL?v0L/??10

层流：

??5.477?Lv?5.47710?6?1?0.005m

01C46f?1.Re?1.46?10?3

LF1D?2?v20Cf2bL?1.46N 湍流： ??0.37L?0.371?0.023m Re11L5(1?106)5C0.072f?(Re)0.2?4.5?10?3 LFD?12?v20Cf2bL?4.5N

7.5 水渠底面是一块长L=30m，宽b=3m的平板，水流速度v0=6m/s，水的运动粘度??10?6m2/s，试求：（1）平板前面x=3m一段板面的摩擦阻力；（2）长L=30m的板面的摩擦阻力

【解】设边界层转捩临界雷诺数Re5xcr?5?10，因为

v0xcr/??5?105,

所以 xcr?0.083m

(1) x=3m，平板边界层为混合边界层

Rex?v0x/??18?106

C.074.0741.46fm?05Re?(0x5Re?xcrRe)RexcrxcrRex?0.0026?(0.0053?0.002)5180

?0.0025FD?C1fm2?v20bL?406N (2) L=30m，平板边界层为混合边界层

ReL?v0L/??180?106

C0.07446fm?5Re?(0.074L5Re?1.xcrRe)RexcrxcrReL?0.0016?(0.0053?0.002)51800

?0.00159F1D?Cfm2?v20bL?2577N

7.6 一块面积为2m?8m的矩形平板放在速度

v0?3m/s的水流中，水的运动粘度??10?6m2/s，

平板放置的方法有两种：以长边顺着流速方向，摩擦阻力为F1；以短边顺着流速方向，摩擦阻力为F2。试求比值F1/F2。

【解】设定转捩雷诺数Re5xcr?5?10，那么

Rexcr??5?105?10?6xcr?v?3?0.17m

0长边顺着流速方向时，b1=2m，L1=8m，L1>xcr，整

个平板边界层为混合边界层，那么摩擦阻力为

F?v201?Cfm12b1L1

短边顺着流速方向时，b2=8m，L2=2m，L2>xcr，整个平板边界层也为混合边界层，那么摩擦阻力为

F?v202?Cfm22b2L2 这

里

C0.074fm1?5Re?(0.074?1.46)Rexcr?2.40?10?5L15RexcrRexcrReL1

C0.0741.46fm2?5Re?(0.074L25Re?xcrRe)RexcrRe?2.98?10?5xcrL2

所以

F1F?Cfm1?0.804 2Cfm2

7.7 平底船的底面可视为宽b=10m，长L=50m的平板，船速v0=4m/s，水的运动粘度??10?6m2/s，如果平板

边界层转捩临界雷诺数Re5xcr?5?10，试求克服边界

层阻力所需的功率。

【解】Re6L?v0L/??200?10，平板边界层为混合

边界层

C.0741.46fm?05Re?(0.074L5Re?RexcrRe)xcrxcrReL?0.0016?(0.0054?0.002)52000

?0.0016FD?C1fm2?v20bL?6400N P?FDv0?25.6KW

7．8有45kN的重物从飞机上投下，要求落地速度不超过10m/s，重物挂在一张阻力系数CD?2的降落伞下面，不计伞重，设空气密度为??1.2kg/m3，求降落伞应有的直径。

【解】物体重量G=45kN，降落时，空气阻力为

F12?d2D?2?vCD4

不计浮力，则阻力FD应大于重力G，即

12?d22?vCD4?G d?21.85m

7．9汽车以80km/h的时速行驶，其迎风面积为A=2m2，阻力系数为CD=0.4，空气的密度为??1.25kg/m3，试求汽车克服空气阻力所消耗的功率。 【解】v=80km/h=22.2m/s

FD?12?v2ACD?246.42N P=vFD?5.470KW

7．10 列车上的无线电天线总长3m，由三节组成，每节长均为1m，它们的直径从根部到顶部分别为

d1?1.50cm,d2?1.0cm,d3?0.50cm。列车速度

v=60km/h，空气密度??1.293kg/m3，圆柱体的阻力系数CD?1.2，计算空气阻力对天线根部产生的力矩。 【解】由阻力计算公式F12D?2?vACD，得到各段的阻力分别为

F1?3.23N，F2?2.15N，F3?1.08N

对天线根部产生的力矩为

M?12F351?2F2?2F3?7.54N?m 7-11炉膛的烟气以速度V0=0.5m/s向上腾升，气体的密度为??0.25kg/m3，动力粘性系数

??5?10?5N?s/m2，粉尘的密度???1200kg/m3，

试估算此烟气能带走多大直径的粉尘？

【解】当粉尘受到的气流作用力和浮力大于重力时，粉尘将被气流带走。

气流作用于粉尘的力就是阻力FD:

F12D?2?VCDA A为迎风面积，粉尘可近似地作圆球，迎风面积就是圆

面积。

Re=V0d/??1，则

CD?24/Re F

D?12?V2?24???????Vd?????d2?3??Vd 粉尘重量为 G=16?d3??g 粉尘的浮力为 F13B?6?d?g

因此 F+FB?G

16?d3(????)g?3??Vd d2?18?V(????)g

代入数字，得

d

?1.9556?10?4m, Re=?V0d/??0.49?1

7．12 使小钢球在油中自由沉降以测定油的粘度。已知油的密度??900kg/m3，小钢球的直径d?3mm，

密度?'?7788kg/m3，若测得钢球最终的沉降速度v=12cm/s，求油的功力粘度。

【解】钢球所受阻力的计算公式为F1D?2?v2CDA

CD?24/Re F

D?12?v2?24???????vd?????d2?3??vd 钢球重量为 G=16?d3??g 钢球的浮力为 F13B?6?d?g

因此 F+FB?G

16?d3(????)g?3??vd d2?18?v(????)g

代入数据，得到 ??0.28Pa?s

第九章 堰流与闸孔出流

9.1堰流的类型有哪些？它们有哪些特点？

答：堰流分作薄壁堰流、实用堰流、宽顶堰流三种类型。薄壁堰流的特点：当水流趋向堰壁时，堰顶下泄的水流形如舌状，不受堰顶厚度的影响，水舌下缘与堰顶只有线接触，水面呈单一的降落曲线。

实用堰流的特点：由于堰顶加厚，水舌下缘与堰顶呈面接触，水舌受到堰顶的约束和顶托，越过堰顶的水流主要还是在重力作用下自由跌落。

宽顶堰流的特点：堰顶厚度对水流的顶托作用已经非常明显。进入堰顶的水流，受到堰顶垂直方向的约束，过流断面逐渐减小，流速增大，在进口处形成水面跌落。此后，由于堰顶对水流的顶托作用，有一段水面与堰顶几乎平行。

9.2堰流计算的基本公式及适用条件？影响流量系数的

主要因素有哪些？

3答：堰流计算的基本公式为Q??s?mb2gH02，适用于矩形薄壁堰流、实用堰流和宽顶堰流。影响流量系数

m的主要因素有局部水头损失、堰顶水流垂向收缩的程度、堰顶断面的平均测压管水头与堰上总水头之间的比例关系。

9.3 用矩形薄壁堰测量过堰流量，如何保证较高的测量精度？

答：（1）上游渠宽与堰宽相同，下游水位低于堰顶； （2）堰顶水头不宜过小，一般应使H>2.5m，否则溢流水舌受表面张力作用，使得出流不稳定；

（3）水舌下面的空气应与大气相通，否则溢流水舌把空气带走，压强降低，水舌下面形成局部真空，会导致出流不稳。

9.4 基本的衔接与消能措施有哪几种？各自的特点是什么？

答：基本的衔接与消能措施有底流消能，挑流消能，面流消能。

底流消能：底流消能就是在建筑物下游采取一定的工程措施，控制水跃的发生位置，通过水跃产生的表面旋滚的强烈紊动以达到消能的目的。

挑流消能：在泄水建筑物末端设置挑流坎，因势利导将水股挑射入空气中，使水流扩散并与空气摩擦，消耗部分动能，然后当水股落入水中时，又在下游水垫中冲击、扩散，进一步消耗能量。

面流消能：当下游水深较大而且比较稳定时，可将下泄的高速水流导向下游水流的表层，主流与河床之间被巨大的底部旋滚隔开，可避免高速水流对河床的冲刷。同时，依靠底部的旋滚消耗部分下泄水流的余能。 9.5 水跃衔接的形式有哪几种？工程上采用哪种形式的水跃衔接，为什么？

答：水跃衔接的形式有3种形式，分别是临界水跃，远离水跃，淹没水跃。

远离水跃的跃前断面与建筑物之间有一急流段，流速大，对河床有冲刷作用，如果用这种方式消能，就必须对这段河床进行加固，工程量大，很不经济，所以

工程上不采用远离水跃与下游水流衔接。淹没水跃衔接在淹没程度较大时，消能效率较低，也不经济。对于临界水跃，不论其发生位置或消能效果在工程上都是有利的，但这种水跃不稳定，如果下游水位稍有变动，就转变为远离水跃或淹没水跃。因此，综合考虑，采用淹没程度较小的淹没水跃进行衔接与消能较为适宜，在进行泄水建筑物消能设计时，一般要求?=1.05~1.1。 9.6 自由溢流矩形薄壁堰，上游堰高P1=3m，堰宽和上

游渠宽相等均为2m，堰上水头

'墩头形状系数?0?0.51，边墩为圆弧形，其形状系数

?k?0.7。求当水库水位为355m，

下游水位为332.5m时，通过溢洪道的流量。设上游水

库断面面积很大，行近流速V0≈0。 （?1?1?0.2[(n?1)?0??k]H0） nb''解：流量计算公式为Q??1?smnb2gH320，

其中 H0?H?355?340?15m，因为H0?Hd，所

以 m?md?0.502，

H?0.5m，求流量

m0?0.403?0.053Q（流量系数

H0.0007）。 ?P1Hht?332.5?315?17.5m，P2?340?315?25m，

因为hs?ht?P2?0，为自由

解：

出流，?s?1，

m0?0.4

?0.0H0.0?P1H?0.4?0.00.50.0n?5?030.5，

?05.4，

0b'?010m5，30?1?1?0.2[(n?1)?0??k]323H015?1?0.2(4?0.51?0.7)50nb' Q?m0b2gH?1.29m/s

9.7 一铅垂三角形薄壁堰，夹角??90°，通过流量

Q?0.05m3/s，求堰上水头H。 (H=0.05~0.25m时, Q?1.4H52得到 Q?5358m/s

9.9 某溢流坝采用梯形实用堰剖面。已知堰宽及河宽均

为15m，上、下游堰高均为4m，堰

3；H=0.25~0.55m，

顶厚度?=2.5m。上游堰面铅直，下游堰面坡度为1：1。

堰上水头H?2m，下游水面在堰

Q?1.343H2.47)

解：假设堰上水头H=0.05~0.25m，由公式Q?1.4H，

计算得到H??不满足假设条件。

由公式Q?1.343H2.4752顶以下0.5m。求通过溢流坝的流量Q。（不计行近流速）

折线型实用堰的流量系数表

下游坡度 a:b 1:1 1:2 1:3 1:5 1:10 P1/H 2.0 2~3 2~3 0.5~2 0.5~2 0.5~2 0.33 0.33 0.34 0.34 0.34 1.0 ?Q???0.26m, ?1.4?250.37 ，计算得到H?0.26m，满

0.36 0.36 足H=0.25~0.55m，所以堰上水头

0.35 H?0.26m。

9.8 某水库的溢洪道采用堰顶上游为三圆弧段的WES

型实用堰剖面。堰顶高程为340m，上

下游河床高程均为315m，设计水头Hd?15m。溢洪道

共5孔，每孔宽度b?10m，闸墩

0.35 解：由已知条件，得到无侧向收缩，?1?1；自由出流，

?s?1；H0?H?2m，

P1??2，?1.25，a:b?1:1，查表得到流量系数 HHm?0.36，

Q?mB2gH?0.36?15?19.6?2?95.6m/s

9.10 图为通过宽顶堰的自由出流，试证明堰顶水深为

320323解：由已知条件，得到?1?1，?s?1，H0?H?1m，

P1?0.5m

2?2h?H0。

1?2?2

证明：宽顶堰自由出流时的堰顶水深，可用巴赫米切夫理论分析。巴赫米切夫最小理论假设：万物在重力场作用下，总要跌落到能量最小的地方。堰流也一样，在堰顶具有最小能量。当堰顶为水平时，最小单位能量时的水深就是临界水深hc，即堰上水深等于临界水深hc。

列断面1-1、c-c的伯努利方程

222?0v0?cvcvcH??hc???

2g2g2g0.51m?0.36?0.01?0.36?0.01?0.37P10.51.2?1.51.2?1.51H3?3?

P1HQ?mB2gH?0.37?2.5?19.6?1?4.09m3/s

9.12有一具有直角前缘的单孔宽顶堰自由出流，已知堰

上水头H?1.8m，上、下游堰高均

为0.5m，堰上游渠宽B0?3m，堰顶宽度B?2m，边

墩为圆弧形，求通过流量Q。

320323?令流速系数??1?c??，设?c?1，则局部水头损

（

m?0.32?0.01P1HP0.46?0.751H，

失系数??1?1。又有临界水深与临界流速的关系为2??1?1?310.2?P1H?4BB(1?)，不计行近流 B0B02vchc?2。将ζ和hc的关系式代入上式，得

2g速）

解：自由出流?s?1，P1?P2?0.5m，

H0?H??0v?1?11??hc?hc???1??2?2hc 2g2??220H0?H?1.8m，

整理后得到堰顶水深

h?hc?2?H0 21?2?P1?0.28H，

3?m?0.32?0.01，

9.11 有一无侧收缩宽堰自由出流，堰前缘修圆，水头

P1HP1H?0.32?0.01H?1m，上、下游堰高均为0.5m，堰

宽B?2.5m，边墩为圆弧形。求过堰流量Q。

0.46?0.753?0.20.46?0.753?（m?0.36?0.01P1HP1H?1?1?，不计行近流

310.2?P1H?4BB12(1?)?1?3?4(1?B0B00.2?0.2831.2?1.5速）

Q??s?1mB2gH?1?0.61?0.36?2?19.6?1.8?令4.69m3/s1，称为流速系数，于是 ???c??

9.13 试证明宽顶堰上闸孔自由出流的流量计算公式为

32032vc0??2g(H0?hc0)

收缩断面水深hc0可表示为闸孔开度e与垂向收缩系数ε2的乘积，即hc0??2e

因此，收缩断面的平均流速

vc0??2g(H0??2e)

当断面为矩形时，Ac?Bhc0，于是

Q??eB2g(H0??2e)。

e/H ε2 Q???2eB2g(H0??2e)??eB2g(H0??2e)

式中，????2，称为流量系数。

9.14 有一平底闸，共6孔，每孔宽度b?2m，闸上设

锐缘平面闸门。已知闸上水头H?3.5m， 闸门开启度e?1.2m，自由出流，不计行近流速，求通

过水闸的流量Q。

锐缘平面闸门的垂向收缩系数ε2 0.10 0.615 0.15 0.618 0.20 0.620 0.25 0.622 0.30 0.625 0.35 0.628 e/H 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70

0.638 0.645 0.650 0.660 0.675 0.690 2 证明：写出闸前断面0-0和收缩断面c-cε的能量方e程： 解：?0.34?0.65，可看作是闸孔出流，查表得

H?20?0v?v?hc0?c?hw 2g2g20202c0HH0?H?3.5m，?2?0.6274，B?6?2?12m，

取??0.95，

令H??0vv?H0，hw??，则 2g2gH0?hc02vc?(?c??)0

2gQ???2eB2g(H0??2e)?0.95?0.6274?1.2?122?9.8(

9.15 某实用堰共7孔，每孔宽度b?5m，在实用堰堰

顶最高点设平面闸门。闸门底缘与水

平面之间的夹角为30°。已知闸上水头H?5.6m，闸

整理得到

vc0?1?c??2g(H0?hc0)

孔开启度e?1.5m，下游水位在堰顶 以下，不计行近流速，求通过闸孔的流量Q。

（?1?0.65?0.186解：

ee?(0.25?0.375)cos?） HH解：水力坡度J= hw/L=21/42=0.5，圆筒面积A=πD2/4=314.15cm2

由渗流达西定律，有Q=kAJ，即：K=Q/AJ=1.67/（314.15×0.5）=0.011 cm/s

10-4什么叫均匀渗流？均匀渗流中水力坡度与不透水基底底坡有什么关系？

e?0.27?0.75，下游水位在堰顶以下，可判断H为闸孔自由出流，H0?H?5.6m，B?35m， 流

量

系

数

?1?0.65?0.186ee答：均匀渗流指渗流水深、流速、过水断面面积形状与?(0.25?0.375)cos?HH大小顺流不变的渗流。均匀渗流中水力坡度与不透水基

?0.65?0.186?0.27?(0.25?0.375?0.27)cos30o底底坡相等。

?0.73

Q??1eB2gH0?0.73?1.5?352?9.8?5.6?401.5m/s

10-5 渗流装置的断面面积A=37.21cm2，两个断面间长3度L=85cm，测得水头差ΔH=103cm，渗流流量Q=114 cm3/s，求土壤的渗流系数k。

解：两断面水头差ΔH即为水在两断面间的水力损失hw，从而水力坡度J= hw/L=ΔH/L=103/85=1.21, 由渗流达西定律，Q=kAJ, 即：k=Q/AJ=2.53cm/s

第十章 渗

流

10-1 什么叫土壤中重力水?

答：土壤中重力水指在重力作用下在土壤孔隙中运动的水，它在地下水中所占比重最大，是渗流运动主要研究对象。

10-6如图所示，有一断面为正方形的盲沟，边长为0.2m，长L＝10m，其前半部分装填细砂，渗流系数k1=0.002cm/s，后半部分装填粗砂，渗流系数k2=0.05 cm/s，上游水深H1=8m，下游水深H2=4m，试计算盲沟渗流的流量。

10-2 土壤达西实验装置中，已知圆筒直径D＝45cm，两断面间距离l＝80cm，两断面间水头损失hw＝68cm，渗流量Q=56cm3/s，求渗流系数k。

解：水力坡度J=hw/L=68/80=0.85， 圆筒面积A=πD2/4=1590cm2

由渗流达西定律，有Q=kAJ， 即 K=Q/（AJ）=56/（1590×0.85）=0.0414 cm/s

10-3 在实验室中用达西实验装置测定土壤的渗流系数K，已知圆筒直径D＝20cm，两测压管距l＝42cm，两测压管的水头差hw=21cm，测得的渗流流量Q=1.67×10

－6

0.5LL0.5LH2

H1H 解：设管道中点过水断面上一牛顿水的机械能为H，则 前半部分（细砂）一牛顿水的水力损失为H1－H，水力坡度J1=（H1－H）/0.5L 由渗流达西定律，有Q1?k1H1?HA

0.5L后半部分（粗砂）一牛顿水的水力损失为H－H2，水力

坡度J2? m3/s，求渗流系数k。

H?H2

0.5LH?H2由渗流达西定律，有Q2?k2A

0.5L由于 Q1=Q2 则 k1解

2：

1.36k(H2?h0)1.36?0.0006?(102?62)Q???0.0lg(R/r0)lg(293,94/0.2)

10.11 有一水平不透水层上的完全普通井，直径为0.4m，含水层厚度H=10m，土壤渗流系数k=0.0006m/s，当井中水深稳定在6m时，求井的出水量及浸润线方程。（井的影响半径R=293.94m） 解: 首先计算井的出水量:

2H1?HH?H2A?k2A

0.5L0.5LH?k1H1?k2H2A?4.154m

k1?k2Q?Q?kH1?HA?0.615cm3/s

1.36k(H2?h0)1.36?0.0006?(102?62)Q???0.01649110.5L10-7如图所示，有一断面为正方形的盲沟，边长为0.2m

，长L＝10m，盲沟中全部填满渗流系数k1=0.002cm/s的细砂，上游水深H1=8m，下游水深H2=4m，试计算盲沟渗流的流量。

1HH2H0.5L0.5LL 解

:

由

渗

流

达

西

定

律

，

Q=kAJ=0.002X(20X200X((8-4)/10)=0.32cm3/s.

10-8 什么叫普通完整井？

答: 设置在不透水层上具有自由浸润面的含水层中,

且贯穿整个含水层，井底直达不透水层上表面的井称为普通完整井.。 10-9 达西渗流定律和裘皮幼公式的应用范围有什么不同？

答：达西式适用均匀流，裘皮幼公式则用于渐变渗流，

在流程不同地点处水力坡度J可能不等。达西式决定的速度v指断面平均流速，裘皮幼公式决定的流速u既指断面平均速度，也指断面各点速度。

10-10 有一水平不透水层上的完全普通井，直径为0.4m，含水层厚度H=10m，土壤渗流系数k=0.0006m/s，当井中水深稳定在6m时，求井的出水量。（井的影响半径R=293.94m）

lg(R/r0)lg(293,94/0.2) 井的浸润线的方程为

z2?h20.732Qklgrr?62?0.732?0.016490?lgr2?36?00.0060., 即

z2?36?20.1164lgr0.2。 10-12 有一水平不透水层上的完全普通井直径0.3m，土壤渗流系数k=0.00056m/s，含水层厚度H=9.8m，抽水稳定后井中水深h0为5.6m，求此时井的出水流量。井的影响半径R=298.17m 解:

?1.36k(H2?h20)1.36?0.00056?(9.82?5.62Q)lg(R/r)?lg(298.17/0.15)?0.010

10-13有一水平不透水层上的完全普通井直径0.3m，土壤渗流系数k=0.00056m/s，含水层厚度H=9.8m，抽水稳定后井中水深h0为5.6m。井的影响半径R=298.17m, 求 r=25m，35 m，70 m，90 m，150 m，200 m处，浸润线的z值。

解: 首先计算井的出水量:

Q?1.36k(H2?h20)1.36?0.00056?(9.82?5.62)lg(R/r??0.00)lg(298.17/0.15)井的浸润线的方程为

z2?h20.732Q0?klgrr?5.62?0.732?0.01490.00056lgr0.15?310, 即

z2?31.36?19.476lgr0.15。 由此可计算当r=25m，35 m，70 m，90 m，150 m，200 m时，浸润线的z值分别为8.64m, 8.81m, 9.14m, 9.25m,

9.48m, 9.61m.。

10-14一水平不透水层上的普通完整井半径r0=0.3m，含水层水深H=9m，渗流系数k=0.0006m/s，求井中水深h0=4m时的渗流量Q， 井的影响半径R=367.42m。 解： 井的渗流量Q为

解: 井的浸润线方程为z2?h0?20.732Qrlg, 现kr03z=h=2.8m, h0=2.0m, Q?2.5?10m/s, r=80m，r0=0.20m, 由此可得到k=0.00124m/s

?31.36k(H2?h0)Q?lg(R/r0}2?1.36?0.0006(9?4)?0.0172m3/s

lg(367.42/0.3)22

10-15 一水平不透水层上的普通完整井半径r0=0.3m，含水层水深H=9m，渗流系数k=0.0006m/s，求井中水深h0=4m时的渗流量Q， 井的影响半径R=367.42m，求井的浸润线方程。

解: 首先计算井的出水量:

1.36k(H2?h0)Q?lg(R/r0}21.36?0.0006(92?42)??0.0172m3/s

lg(367.42/0.3)

井的浸润线方程为

z2?h0?,

20.732Qr0.732?0.0172rlg?42?lg?26.97?20.984lgrkr00.00060.15或 z?26.97?20.984lgr,

10-16 为实测某区域内土壤的渗流系数k值，现打一普

通完整井进行抽水实验，如图所示。在井的影响半径之内开一钻孔，距井中心r=80m，井的半径r0=0.20m，抽水稳定后抽水量Q?2.5?10m/s，这时井水深h0=2.0m，钻孔水深h=2.8m，求土壤的渗流系数k。

?332hh0rr0 图10-8 题10-14

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