针对2010年考研数学大纲无变化对高数重点内容及典型题型归纳 - 图文

针对2010年考研数学大纲无变化对高数重点内容及典型题型归纳 考研数学一中高数占56%，数学二中高数占78%，数学三中微积分占56%，由此可见，高数（微积分）是考研数学的重中之重，所以考生要想取得高分，学好高数（微积分）是必要的，下面就将高数中重点内容和典型题型做了总结，希望对大家学习有帮助。

第一章 函数、极限与连续

重点内容与常见的典型题型

1．本章的重点内容是极限，既要准确理解极限的概念和极限存在的充要条件，又要能正确求出各种极限。求极限的方法很多，在考试中常用的主要方法有： （1） 利用极限的四则运算法则及函数的连续性； （2） 利用两个重要极限，两个重要极限即

1?1??1?lim?1???lim?1???lim?1?x?x?e,n??x?0?n?x???x? sinxlim?1;x?0xnx（3） 利用洛必达法则及泰勒公式求未定式的极限； （4） 利用等价无穷小代替（常会使运算简化）； （5） 利用夹逼定理；

（6） 先证明数列极限的存在（通常会用到“单调有界数列必有极限”的准则），

再利用关系式求出极限； （7） 利用定积分求某些和式的极限； （8） 利用导数的定义；

（9） 利用级数的收敛性证明数列的极限为零。

这里需要指出的是：题型与方法并不具有确定的关系，一种题型可以有几种计算法，一种方法也可能用于几种题型，有时在一个题目中要用到几种方法，所以还要具体问题具体分析，方法要灵活运用。

2．由于函数的连续性是通过极限定义的，所以判断函数是否连续、判断函数的间断点类型等问题本质上仍是求极限、因此这部分也是重点。

3．在函数这一部分内，重点是复合函数和分段函数以及函数记号的运算。 通过历年试题归类分析，本章的常见题型有：

1．直接计算函数的极限值或给定函数极限值求函数表示式中的常数； 2．讨论函数的连续性、判断间断点的类型； 3．无穷小的比较；

4．讨论连续函数在给定区间的零点，或方程在给定区间有无实根；

5．求分段函数的复合函数。

第二章 一元函数微分学

重点内容与常见的典型题型

一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置，内容多，影响深远，在后面绝大多数章节都要涉及到它.

本章内容归纳起来，有四大部分.

1. 概念部分：导数和微分的定义，特别要会利用导数定义讨论分段函数在分界点的可导性，高阶导数，可导与连续的关系；

2. 运算部分：基本初等函数的倒数、微分公式、导数的四则运算、反函数、复合函数、隐函数和由参数方程确定的函数的求导公式；

3. 理论部分：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理； 4. 应用部分：利用导数研究函数的性态（包括函数的单调性与极值，函数图形的凹凸性与拐点，渐近线），最值应用题，利用洛必达法则求极限，以及导数在几何、物理等方面的应用.

常见题型有：

1. 求给定函数的导数或微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程确定的函数求导.

2. 利用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理证明有关命题和不等式.如“证明在开区间至少存在一点满足??”，或讨论方程在给定区间内的根的个数等．

3. 利用洛必达法则求七种未定型的极限.

4. 几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。

5. 利用导数研究函数性态和描绘函数图像，等等。

第三章 一元函数积分学

重点内容与常见的典型题型

本章和一元函数微分学一样，重点内容可分为概念部分、运算部分、理论证明部分以及应用部分.

1. 概念部分：原函数的概念，定积分、不定积分的概念，以及反常积分的概念.考试的重点偏重对定积分概念的理解上.

2. 运算部分：变上限积分及其导数；定积分和不定积分的换元法和分部积分法.

3. 理论部分：变上限定积分及其求导定理，牛顿—莱布尼茨公式，积分中值定理.

. 应用部分：利用定积分求面积、旋转体体积及引力、功等物理量；

5. 综合性试题. 常见题型有：

1.有关原函数与定积分概念，性质的命题 2. 求分段函数的原函数与定积分 3. 不定积分与定积分的计算 4. 证明积分等式与不等式 5. 综合题

6. 定积分的几何应用

第四章 微积分在经济中的应用（数三）

概念与公式 1. 函数的变化率

设函数y?f?x?可导，则导函数f'?x?在经济学中称为边际函数. 2. 函数的相对变化率——函数的弹性

设函数y?f?x?在x0处可导，则

?y/y0Ey? ?lim?x?0?x/x0Exx0f'?x0?x0称为f?x?在x?x0处的弹性. f?x0?

表示x产生1%的改变时，f?x?改变为f?x?的弹性函数.

需求弹性：设需求函数Q?f?P?则的需求弹性.（注：?f?P??0）

EEyxxf?x0?%，?f'?x??y'?称ExExf?x?yPEQ??f'?P0??0称为在P?P0处EPP0f?P0?需求弹性表示在P0处，价格上涨1%时，需求减少3. 需求函数与供给函数

EQ%. EPP0需求函数Q?f?P?是单调减少函数，其反函数P?f?1?Q?也称需求函数，

Q?f'?P?称为边际需求；

供给函数Q???P?是单调增加函数，其反函数P???1?Q?也称供给函数，

Q??'?P?称为边际供给. 4. 成本

总成本C?Q??C0?C1?Q?. 边际成本C'?Q??C1'?Q?.

关系C?Q???C'?t?dt?C0（C0为固定成本）

0Q5. 收益

总收益（毛收入）R?Q?

R?Q??Q?P?Q?（Q为商品量，P?P?Q?为需求函数） 边际收益R'?Q???Q?P?Q??'

?R'?Q??P?Q??QP'?Q? 总收益与边际收益关系

R?Q???R'?t?dt.

0Q6. 利润

总利润

L?L?Q??R?Q??C?Q?， L'?Q??R'?Q??C'?Q?.

L?Q?取最大值的必要条件：

L'?Q??0即R'?Q??C'?Q?

L?Q?取最大值的充分条件：

L'?Q??0，L\?Q??0即R\?Q??C\?Q?

常见题型有：

1.一元微积分在经济中的应用 2. 二元微分学在经济中的应用 3. 差分方程

第五章 向量代数和空间解析几何（数一）

重点内容与常见的典型题型

本章的重点是向量的概念，向量的几种运算：线性运算、数量积、向量积与混合积，平面各种方程，以及直线与直线、平面与平面、直线与平面之间的关系等.

常见题型有：

1. 求向量的数量积、向量积及直线或平面的方程. 2. 与多元函数微分学在几何上的应用相关联的题目.

第六章 多元函数微分学

重点内容与常见的典型题型

1. 多元函数（主要是二元、三元）的偏导数和全微分概念；

2. 偏导数和全微分的计算，尤其是求复合函数的二阶偏导数及隐函数的偏导数；

3. 方向导数和梯度；

4. 多元函数微分在几何上的应用；

5. 多元函数的极值和条件极值. 常见题型有：

1. 求二元、三元函数的偏导数、全微分.

2. 求复合函数的二阶偏导数；隐函数的一阶、二阶偏导数. 3. 求二元、三元函数的方向导数和梯度.

4. 求空间曲线的切线与法平面方程，求曲面的切平面和法线方程. 5. 多元函数的极值在几何、物理与经济上的应用题.

第4类题型，是多元函数微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习.

极值应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意.

第七章 二重积分 ，三重积分（数一）

重点内容与常见的典型题型（含曲线积分，曲面积分）

多元函数积分学包括二重、三重积分，曲线积分与曲面积分.其重点内容是: 1. 它们的概念和简单性质.

2. 二重积分对直角坐标与极坐标的计算,即化为二重积分;三重积分对直角坐标、柱面坐标、球面坐标的计算，即化为三次积分；画出积分区域简图，选择适当的积分次序，以及曲线积分和曲面积计算.

3. 格林公式以及平面上曲线积分与路径无关的充要条件,并会利用它们计算曲线积分.

4. 高斯公式与斯托克斯公式. 5. 散度与旋度的概念及计算.

6. 重积分与曲线,曲面积分在几何与物理上的应用. 常见题型有:

1. 对各种坐标计算二重、三重积分.

2. 二重、三重积分在几何和物理中的应用,如求面积、体积、质量、质心坐标、引力等.

3. 对弧长和对坐标的曲线积分的计算,格林公式及其应用. 4. 对面积和对坐标的曲面积分的计算,高斯公式及其应用. 5. 梯度、散度、旋度的综合计算.

6. 曲线 、曲面积分在几何和物理中的应用,如质心坐标,作功等.

第九章 无穷级数（数一、数三）

重点内容与常见的典型题型

级数无论在数学理论本身，还是在其他科学技术的研究中都是极为有效的工具，它是一个函数或一个数的另一种表达形式.本章包括常数项级数和函数项级数两部分内容，其中常数项级数又包括正项级数，交错级数和任意项级数，函数项级数主要讨论了幂级数和傅里叶级数，其重点内容是：

1. 数项级数的判敛及求幂级数的收敛域. 2. 将函数展开为幂级数.

3. 求某些数项级数的和或某些幂级数的和函数. 4. 将函数展开为傅里叶级数，收敛定理. 常见题型有：

1. 收敛、发散、条件收敛、绝对收敛的判定；

2. 幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域以及和函数的求法； 3. 将函数展开成为幂级数（包括写出收敛域）;

4. 求函数的傅里叶系数与傅里叶级数，写出傅里叶级数的和； 5. 求出某些数项级数的和； 6. 综合证明题.

第十章 微分方程

重点内容与常见的典型题型

本章主要有两个问题，一是根据实际问题和所给条件建立有自变量、未知函数及未知函数的导数的方程及相应的初值条件.二是求解方程，包括方程的通解和满足初值条件的特解.本章的主要内容是求解一阶、二阶微分方程以及微分方程在实际中的应用，对于一阶微分方程，重点是： 1. 掌握变量可分离的方程及一阶线性微分方程的解法.

2. 掌握齐次微分方程，伯努利微分方程，全微分方程，高阶微分方程中可降价微分方程的类型及其解法. 3. 会用简单的变量代换解某些微分方程.

对于二阶微分方程，重点是：

1. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法.

2. 掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的求解. 3. 理解高阶线性齐次、非齐次微分方程的结构. 4. 二阶微分方程的应用. 常见题型有：

1. 求典型类型的一阶、二阶微分方程的通解或特解；

2. 根据实际问题或给定条件建立微分方程并求解；

3. 所给的微分方程虽不是属于所讨论的几种典型类型，但经过适当的变量变换可以转化成这些类型进而求解．

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