第9章 正弦稳态电路的分析

第9章 正弦稳态电路的分析

§9-1 阻抗和导纳

§9-2 阻抗（导纳）的串联和并联

（一）教学目标

1、掌握电路定律的相量形式。

2、握阻抗和导纳的概念及串并联运算。

（二）教学难点

1、L、C元件电压、电流的相位关系。 2、感抗、容抗随频率变化。 3、容性、感性、阻抗角。

（三）教学思路

1、推导出基尔霍夫定律的相量形式。

2、根据R、L、C元件的时域伏安关系得出相量形式的伏安关系。 3、举例说明相量法。

4、开始第九章第一、二节。

（四）教学内容和要点

§9-1 阻抗和导纳

§9-1 阻抗（导纳）的串联和并联

一．阻抗

1． 定义：在正弦稳态无源二端网络端钮处的电压相量与电流相量之比定义为该二端网络的

阻抗，记为Z，

gI g + U Z? ?gN0 gUIgg

注意：此时电压相量U与电流相量I的参考方向向内部关联。

ZUI?U??u （复数）阻抗(?)

I??i?Z??z?R?jX

其中 Z?U(?) —阻抗Z的模，即阻抗的值。 I|Z|

X

?Z??u??i —阻抗Z的阻抗角 R?Zcos?z(?) —阻抗Z的电阻分量 X?Zsin?z(?) —阻抗Z的电抗分量

?Z R

阻抗三角形

电阻元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电阻的伏安关系的相量形式为

IR + gR URg_ IR IR与UR共线

ggUR ggUR?RIR

则 ZR?R?URIR

电感元件的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电感的伏安关系的相量形式为

IL gj?L + g UL g_ UL

?u ?i IL gUL?j?LIL

则 ZL?j?L?ULILjXL

电容的阻抗： 在电压和电流关联参考方向下电容的伏安关系的相量形式为

g?jgIC1 ?c+ UC

_

?i ICg?uUC

IC?j?CUC 11UC?IC??jICj?C?Cg 则 ZC??j1UC??CICjXC XC??1 —容抗 ?C2. 欧姆定律的相量形式 U?ZI 电阻、电感、电容的串联阻抗：

在电压和电流关联参考方向下，电阻、电感、电容的串联，得到等效阻抗Zeq

Zeq?I ZR gZL + U gZC

_ UI?ZRI?ZLI?ZCII1 ?R?j?L??R?jXL?jXC?R?jX

j?C ?Z??Z其中：阻抗Z的模为 |Z|??ZR?ZL?ZCR2?X2 阻抗角分别为 ??arctgX?arctgZRXL?RXC?arctg?L?1/?C。

R可见，电抗X是角频率ω的函数。

当电抗X＞0(ωL＞1/ωC)时，阻抗角φZ＞0，阻抗Z呈感性； 当电抗X＜0(ωL＜1/ωC＝时，阻抗角φZ＜0，阻抗Z呈容性； 当电抗X＝0(ωL＝1/ωC)时，阻抗角φZ＝0，阻抗Z呈阻性。

3. 串联阻抗分压公式：

引入阻抗概念以后，根据上述关系，并与电阻电路的有关公式作对比，不难得知，若一端口正弦稳态电路的各元件为串联的，则其阻抗为

Z??Zk

k?1n串联阻抗分压公式

Uk?ZkU Zeq二．导纳

1．定义：正弦稳态无源二端网络端钮的电流相量与电压相量之比定义为该二端网络的导纳，记为Y，即

YI??i1I 复导纳（S） ??ZUU??u?Y??Y?G?jB

其中 Y?gI + N0 _ U

gI—导纳Y的模（S） U ?Y??i??u??? Z—导纳Y的导纳角。

G?Ycos?Y(s) —导纳Y的电导分量

B?Ysin?Y(s) —导纳Y的电纳分量

导纳三角形

?Y |Y| G

B

可见，同一二端网络的Z与Y互为倒数 特例：

电阻的导纳 YR?1?GRZR

电容的 YC?j?C?jBC 电感的 YL??jZC BC电容的电纳，简称容纳。 ZL BL称为电感的电纳，简称感纳；

1?jBL?L2. 欧姆定律的另一种相量形式

I?YU

若一端口正弦稳态电路的各元件为并联的，则其导纳为

Y??Y

k?1kn并联导纳的分流公式：

Ik?YkI YeqRLC并联正弦稳态电路中，根据导纳并联公式，得到等效导纳Y

Y?YR?YL?YC??11??j?CRj?L

11?j(?C?)?G?jB?|Y|/?YR?L

可见，等效导纳Y的实部是等效电导G(＝1/R)＝|Y|cosφY；

等效导纳Y的虚部是等效电纳B＝|Y|sinφY＝BC+BL＝ωC -1/ωL，是角频率ω的

函数。

导纳的模为：|Y|?G22?B

导纳角分别为: ??arctgB?arctgYGBC?GBL?arctg?C?1/?L

G由于电纳B是角频率ω的函数，

当电纳B＞0(ωC＞1/ωL)时，导纳角φY＞o，导纳Y呈容性； 当电纳B＜0(ωC＜1/ωL)时，导纳角φY＜o，导纳Y呈感性； 当电纳B =0(ωC =1/ωL)时，导纳角φY＝0导纳Y呈阻性。

注意：两个电阻的并联与两个阻抗的并联对应

R?R1R2ZZ?Z?12

R1?R2Z1?Z2R2Z2I?IZ1?I

R1?R2Z1?Z2IR1?三. 对同一网络

Z?UIY?IUY?1 Z其中：G(?)?R(?)?X(?)B(?)? ， ， ?Y???Z

R2(?)?X2(?)R2(?)?X2(?)一般情况下，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效阻抗Z(jω)是外施正弦激励角频率ω的函数，即

Z(jω)＝R(ω)+jX(ω)

式中R(ω)＝Re[Z(jω)]称为Z(jω)的电阻分量，X(ω)＝Im[Z(jω)]称为Z(jω)的电抗分量。式中电阻分量和电抗分量都是角频率ω的函数。所以，要注意到电路结构和R、L、C的值相同的不含独立源的正弦稳态电路，对于角频率ω不同的外施正弦激励而言，其等效阻抗是不同的。如下图电路的等效阻抗

?j1 ?CR Zeq j? L

Zeq?R?j?L1R?j?L(R?j?L)1?(?j)??(?j) 22R?j?L?CR?(?L)?C?R2?LR(?L)21? ?2?j???222R?(?L)?R?(?L)?C??R(?)?jX(?)

可变，找不到适于任何场合下的等效电路

同理，一个由电阻、电感、电容所组成的不含独立源的一端口正弦稳态电路的等效导纳

Y(jω)也是外施正弦激励角频率ω的函数，即

Y(jω)＝G(ω)+jB(ω)

式中G(ω)＝Re[Y(jω)]称为Y(jω)的电导分量，B(ω)＝Im[Y(jω)]称为Y(jω)的电纳分量。电导分量和电纳分量也都是角频率ω的函数。所以要注意到电路结构和R、L、C的值相同下的不含独立源的一端口正弦稳态电路，对于角频率ω不同的外施正弦激励言，其等效导纳是不同的。

四.电路的计算 完全与电阻电路一样

例：求如图所示电路等效阻抗。

I g1 j?C1+ Zeq

U gI1 gmU2 gg_ IC2g+ g1U2 R2

j?C2_ IR2g

Zeq?UI?11(j?C2U2?U2)?U2j?C1R21gmU2?j?C2U2?U2R2?1?j?C1R21j?C1(gm?j?C2?)

R2j?C2?§9-3 电路的相量图 §9-4 正弦稳态电路的分析

（一）教学目标

1、会用相量法计算正弦稳态电路。 2、能用相量图定性分析正弦稳态电路。

（二）教学难点

1、相量图的参考相量如何选择以及理解。 2、根据时域电路正确画出相量模型。

3、计算过程与电阻电路类似，但物理概念不同，所得相量均表示正弦量。

（三）教学思路

1、举例说明相量法计算正弦稳态电路。 2、在例题中讲解如何画相量图。

（四）教学内容和要点

例1：已知：uS(t)?402cos3000tV，求：i(t),iL(t),iC(t) i(t)

1kΩ 1.5kΩ

iL(t) + uS(t) _ 1/3H

解：将电路转化为相量模型

I 1.5kΩ gg1kΩ iC(t)

1/6μF

+ U_ S IL j1kΩ IC-j2kΩ

g1ZL?j?L?j3000??j1k?

31ZC??j??j2k?

13000??10?66Zeq?(1?2j)?j12?j1(2?j1)(1?j1)?1.5??1.5??1.5?2?j1.5k??2.5?36.9k?(1?j2)?j11?j12 I?US40?0??16??36.9mA Zeq2.5?36.9j1j11?90I?I??16??36.9?82?98.1mA

(1?j2)?j11?j12??45IC?IL?1?j2I?I?IC?25.3??55.3mA

(1?j2)?j1?i(t)?162cos(3000t?36.9)mA 0?00 iC(t)?16cos(3t98.1 )mA 3)mA55. iL(t)?25.32cos(3t?000例2：已知：U=100V, I=5A, 且U超前I53.1，求R,XL

I g+ U gIR实数 gIL纯虚数 jXL

g_ R 解法1 ：令I?5?0A，则U?100?53.1V

Zeq?UI?100?53.1?20?53.1?12?j16?

5?0?Req?12?,Xeq?16?

2?R?XL?12100??2R2?XLR???? 3???2R?XL??XL?25??16?22?R?XL?解法2 ：令U?100?0—纯实数， 则I?5??53.1A?3?j4A

IL IR R?UIR?100?0100?? 33ZL?

UIL?100?0?j25? ?j4例3：已知IC?2A，IR?

2A，XL?100?，且U与IC同相，求U＝？

IC gjXC + + UC _ gIL jXL g+ gU gIR

gUR R

_ _ 解1 代数法：令IR?2?0A，则UR?R2?0V

IL?URR2??jA jXL100R2 100IC?IR?IL?2?j2?(2)2?(R22) 100R?100?

IC?IR?IL?2?? ?UR?1002?0V IL??j2A45AZeq?jXC?R?jXLU ?R?jXLICUIC

jXC?50?j50?U与IC同相 ?Im??Zeq???0 即XC?50?0 则XC??50?

U?jXCIC?UR??j50?2??45?1002?502?j502?100??45V

?U?100V

解2 相量图法：

gUC

gIR UR?UL

gggIC gIL U gUC g

由电流三角形 IL?22IC?IR?2A

UR?UL?XLIL?1002V ??tg?1IL?45 IR 由电压三角形 U?URcos??100V

在正弦稳态电路分析和计算中，往往需要画出一种能反映电路中电压、电流关系的几何图形，这种图形就称为电路的相置图。与反映电路中电压、电流相量关系的电路方程相比较，相量图能直观地显示各相量之间的关系，特别是各相量的相位关系，它是分析和计算正弦稳态电路的重要手段。通常在未求出各相量的具体表达式之前，不可能准确地画出电路的相量图，但可以依据元件伏安关系的相量形式和电路的KCL、KVL方程定性地画出电路的相量图。在画相星图时，可以选择电路中某一相量作为参考相量，其它有关相量就可以根据它来确定。参考相量的初相可任意假定，可取为零，也可取其它值，因为初相的选择不同只会使各相量的初相改变同一数值，而不会影响各相量之间的相位关系。所以，通常选参考相量的初相为零。在画串联电路的相量图时，一般取电流相量为参考相量，各元件的电压相且即可按元件上电压与电流的大小关系和相位关系画出。在画并联电路的相量图时，一般取电压相量为参考相量，各元件的电流相置即可按元件上电压与电流的大小关系和相位关系画出。 例4：已知：XL1?XC1,XL3?XC3，定性作出相量图

I3 gR3 jXL3 jXC3 gR1 jXL1 + U gI2 jXL2 I1 jXC1

g_ 解：1. 取I1为参考相量，并设各元件的电压与电流为关联参考方向。

2. 作UR1 3. 作UL1 4. 作UC1 5. 作UL2?UR1?UL1?UC1

6. 作I2 7. 作I3?I1?I2 8. 作UR3 9. 作UL3 10. 作UC3

11. 作U?UL2?UR3?UL3?UC3

UC1 gUL1 gggUL3 ggUL2 gggUR3 UR1 ggUC3 ggg?'2 I2 ggg?2 gU ggI1 gggI3 g

g例5：已知：uS(t)?102cos103tV，求：i1(t),i2(t)。 3Ω 500uF

+

uS(t) 4mH _

解： 首先画出时域电路对应的相量模型 I1?Ia，I2?Ib

i1 I1 i2 3Ω -2jΩ j4Ω + 2i1 _

+ gU_ S Ia gIb gI2

+ g2I1 _

g??(3?j4)Ia?(j4)Ib?US?10?0???j4Ia?(j4?j2)Ib??2I1 ?I1?Ia????(3?j4)Ia?j4Ib?10 ? ??(2?j4)Ia?j2Ib?0

10?j4Ia?0j2j2020?90???1.24?29.74A

3?j4?j4?8?j14?1616.12?60.262?j4j23?j4102?j40?20?j4044.72?116.57Ib????2.77?56.31A8?j148?j1416.12?60.26?I1?Ia?1.24?29.74A 即i1(t)?1.242cos(103t?29.74)A

I2?Ib?2.77?56.31A 即i2(t)?2.772cos(103t?56.31)A

例6：相量模型如图，试列出节点电压相量方程

gj10Ω Un1 -j5Ω

1?0oA 5Ω -j10Ω Ω j5

解： (?Un2 g10Ω -j0.5A

151??j101111?)Un1?(?U)n?1 02?j10?j5j1?0j5 ?(111111?)Un1?(???U)n?j0. 5)2??(j10?j510j?5j5j10??j0.U2?n)1?(0.2 ??1n1?(0.?1??j0.U例7：求I0

Uj0.n?21jU0.n1?2)

1j0.5? ?

-j4Ω

j16Ω j16Ω 8Ω + 20?0oV_

? ? -j4Ω

分析： 求中间桥臂电流用戴维南定理最好

解 1. 求UOC

I0

j6Ω

gIIUOC?j16??(?j4)??j10I

22I?20?020?0??2??36.9A

18?j68?(j16?j4)2UoC?j10?2??39.6?20?53.1V

gI ? I 2-j4Ω g? j16Ω + 8Ω ＋ 20?0V － j16Ω UOC_ ? -j4Ω ?

平衡条件：Z1Z4?Z2Z3 ZR?ZR??R

Z1Z4?(?1??4)?Z2Z3?(?2??3) ?Z1Z4?Z2Z3 ????????423?1取一组相邻桥臂为电阻，Z1?R1，Z3?R3，则?4??2， 即另一组相邻桥臂阻抗性质要相同。

取一组相对桥臂为电阻，Z1?R1，Z4?R4，则?2??3?0??2???3， 即另一组相对桥臂的阻抗性质要相异。

2. 求ISC：

Z1 Z5 Z2 Z3

Z4

I g? I1 -j4Ω gI2j16Ω g? 8Ω ＋ j16Ω ISC

20?0V － ? -j4Ω ? ISC?I?1I?2I?j16?j45?I?I

j16?j4j1?6j43I'?240?9020?0??1.5?53.1A

j16?(?j4)160?36.98?2?j16?j4?ISC?2.5?53.1A

3. 求Zeq

Zeq 8Ω + UOC _

gI0 Ω Zj6L g?Zeq?UOCISC?20?53.1?8?

2.5?53.120?53.1oV 4. I0?

UOC20?53.1??2?16.2A

Zeq?j610?36.9

§9-5正弦稳态电路的功率 §9-5复功率 §9-6 最大功率传输 （一）教学目标

1、掌握瞬时功率、有功、无功的概念和物理意义。 2、掌握有功、无功、视在功率的计算及其相互关系。 3、掌握复功率的概念和计算。 4、掌握最大功率传输问题的计算。 5、了解有功的测量方法。

（二）教学难点

1、有功、无功物理意义。 2、如何提高功率因数。

（三）教学思路

1、图解说明瞬时功率的波形。

2、引出有功、无功的概念和物理意义，功率三角形，提高功率因数。 3、引出复功率的概念和计算。 4、举例说明功率计算。 5、最大功率传输问题。

（四）教学内容和要点

§9-5正弦稳态电路的功率

一．瞬时功率

i(t)

+

N0 u(t)

_

如图所示的任意一端口电路N0，在端口的电压u与电流i的参考方向对电路内部关联下，其吸收瞬时功率

p(t)?u(t)?i(t)

若设正弦稳态一端口电路的正弦电压和电流分别为

u(t)?2Ucos?t i(t)?2Icos(?t??)

式中?u?0为正弦电压的初相位，

?i???为正弦电流的初相位，

?Z??u??i??为端口上电压与电流的相位差。

则在某瞬时输入该正弦稳态一端口电路的瞬时功率为

则p(t)?2Ucos?t?2Icos(?t??)

?UI?cos??cos?(2t??? ) ?UIcos??UIcos?(2t?? 常量 两倍于原频率的正弦量 ?UIcos??UIcos?2tc?o?sUI ?UIcos?(?1s?int2 ?sco?st2?U)I ss?int2? 不可逆部分PR(t)(?0) 可逆部分PX(t)

二．平均功率

P1Tp(t)dt?UIcos? ?0T可见：1. P是一个常量，由有效值U、I及cos?，(???u??i)三者乘积确定，量纲：W

2. 当P＞0时，表示该一端口电路吸收平均功率P；当P＜0时，表示该一端口电路发出平均功率|P|。

3. 单一无源元件的平均功率：PR?UI，PL?0,PC?0。

?P?0，始终消耗功率。

－90???0容性?

三．无功功率

正弦稳态一端口电路内部与外部能量交换的最大速率(即瞬时功率可逆部分的振幅)定义为无功功率Q，即 Q0???90感性?UIsin?

可见：1. Q也是一个常量，由U、I及sin?三者乘积确定，量纲：乏(Var)

2. QR?0,QL?UI,QC??UI

0???90Q?0 吸收无功功率 ?90???0Q?0 发出无功功率

四．视在功率

SUI，反映电源设备的容量（可能输出的最大平均功率），量纲：伏安（VA）。

2

2

P、Q和S之间满足下列关系 S＝P +Q

即有 S?

2

P2?Q2,tg??Q/P

S P Q 功率三角形

P?UIcos??Scos? Q?Ssin?

五．功率因数及其提高

1. 定义： 当正弦稳态一端口电路内部不含独立源时，cosφ用λ表示，称为该一端口电路的功率因数。

cos??P Scos??0

?90???90 I超前U指容性网络，I滞后U指感性网络。 2. 功率因数的提高：

例1：在f?50Hz，U?380V的交流电源上，接有一感性负载，其消耗的平均功率

P1?20kW，其功率因数cos?1?0.6。求：线路电流I1。若在感性负载两端并联一组电容

器，其等值电容为374μF，求线路电流I及总功率因数cos?。

解：I1?I gI1 g+ IC374μF gR 感性负载 jXL U _ gP200001??87.72A

Ucos?380?0.6 令U?380?0V，则I1?87.72??53.1A

IC?j?CU?j2??50?374?10?6?380?0?j44.6A

I?I1?IC?58.5??25.8A，则I?58.5A，cos??cos25.8?0.9

并联电容的作用：减小电流，提高功率因数

*感性负载吸收的无功功率一部分由电源提供，一部分由电容提供。

g I1的有功分量

I1cos?1

IC ? gIsin?Icos??I1cos?1

IC I g

?I的有功分量 I的无功分量 g1 IC

g I1 I1sin?1 I1的无功分量

给定P1、cos?1，要求将cos?1提高cos?，求C＝？

U

gIC?I1sin?1?Isin??P(tg?1?tg?) 2?UPsin?1Psin?P??(tg?1?tg?)??CU

Ucos?1Ucos?UC?

§9-5复功率

?设U?U??u,I?I??i，且I?I???i

?则S?UI?U??u?I???i?UI?(?u??i)?S??Z

I ?S?cos?Z?jS?sin?Z?P?jQ(VA)

??g+ N0 2U

g S?UI?ZII?ZI2?(R?jX)I2 ?P?RI?Re?Z??I

2_ Q?XI2?Im?Z??I2

?S?UI?U(UY)??YUU?(G?jB)U2

P?GU2,Q??BU2

功率守恒情况： 瞬时功率守恒：p(t)?平均功率守恒：

在一端口正弦稳态电路吸收的平均功率等于该电路内各电阻所吸收的平均功率之和。

???p(t)

kp??pk??RkIk2

无功功率守恒：

在一端口正弦稳态电路吸收的总无功功率等于电路内各电感和电容吸收的无功功率之和。

Q??Qk??XkIk2??(XLk?XCk)Ik2

复功率守恒：

在一端口正弦稳态电路中，总复功率等于该电路各部分的复功率之和。

S??Sk??(pk?jQk)??pk?j?Qk

视在功率不守恒：应该注意，在一般情况下，总视在功率不等于该电路各部分的视在功率之和。因为一般情况下复数之和的模不等于复数的模之和。

S??Sk

例2：已知：Z?2?j2?，IR?5A,IL?3A,IC?8A，且总平均功率P?200W， 求U＝？

I Z g+ U_ gIR R gIL jXL gIC

g解： 设：IR?5?0A，则：IL?3??90A，IC?8?90A

I?IR?IL?IC? 52?45AP?Re?Z?I?RI22R?R?P?Re?Z?I2I2R?4?

?U?Z?I?R?IR?(2?j2)52?45?4?5?0?20?j20V?202?45V

则U?202V

例3：已知：U?100V,P?86.6W,I?I1?I2，求R,XL,XC

gI

+

g

U

_

解： 分析

I1 R gI2 jXC

gI2 g60o I1 gI 30o jXL U

UP??Xc??，R?2，XL??U??R2 I2I1?I1? 作出电路的相量图，可见电流相量图为等腰三角形。 I?2PP??1A

Ucos?Ucos(?30)则 I?I1?I2?1A

?Xc??UI2??100?

R?

P2I1?86.6?]U2I12XL?()?R?50?

§9-6 最大功率传输

在正弦稳态电路中研究负载在什么条件下能获得最大平均功率。这类问题可以归结为一个有源一端口正弦稳态电路向负载传送平均功率的问题。

即ZL??时，ZL可获最大平均功率PLmax??

Zeq

+ + g UOC UOC _ gN ZL

? ZL

－ ZL?RL?jXL?ZL??L

① RL,XL可独立变化，② ZL可变，?L不变，③ ZL不变，?L可变 。

一．RL,XL可独立变化 I?UOC，ZL?RL?jXL，Zeq?Req?jXeq

Zeq?ZL22UOC PL?RLI?RL?f(RL,XL)

(Req?RL)2?(Xeq?XL)2

?PL?P?0，L?0 ?RL?XL?RL?Req???ZL?Req?jXeq?Zeq —共轭匹配

XL??Xeq?此时 PLmax

2UOC ?4Req二．ZL可变，?L不变

ZL?ZL??L?ZLcos?L?jZLsin?L Zeq?Zeq??eq?Zeqcos?eq?jZeqsin?eq

2PL?ZLcos?LI?f(ZL)

I?UOC

(ZLcos?L?Zeqcos?eq)?j(ZLsin?L?Zeqsin?eq)2ZLcos?LUocPL?(ZLcos?L?Zeqcos?eq)?(ZLsin?L?Zeqsin?eq)22

dPL?0?ZL?Zeq —模匹配 dZL

例1：取ZL?Zeq?3?j4?时可获Pmax。P1max?2UOC10025???W 4Req4?332 取RL?ZL?5?时可获Pmax。P2max

?10?5?10025?5???W?P??1max 22804?8?4?L C RL I g例2：已知Z1?200?j1000? Z2?500?j1500? 要求I2与U相差90，问R＝？

+ U gZ1 Z2 I2 gR

_ 分析：此题为一移相电路。 解：I2?RURU??

ZRZ2?RZ?2Z2Z1?RZ1?Z2R1Z2?R?UI2???Z2Z1?RZ1?RZ2 令Re?U??0

R?I??2?同相（反相）时，令虚部＝0

得R=2KΩ

§9-8

串联电路的谐振 §9-9 并联谐振电路

（一）教学目标

1、掌握谐振的概念。

2、掌握串联谐振和并联谐振的特点。 3、了解频率特性的概念。 4、了解品质因数的概念。

（二）教学难点

1、分析正弦稳态电路时要想到判断谐振。 2、串联谐振和并联谐振的特点。

（三）教学思路

1、两节内容组合起来讲。

2、首先介绍谐振的概念，然后分别讲串联谐振和并联谐振，再举例。

（四）教学内容和要点

§9-8 §9-9 正弦稳态电路的谐振

一．谐振

指含有R、L、C的正弦稳态电路，端口上所出现的电压与电流同相的现象。分类：

RLC串联电路的谐振：用阻抗Z表示方便； GCL并联谐振：用导纳Y表示方便。

二．RLC串联谐振

1. 阻抗：Z(j?)?I gR + UR_ gj?L + UL_ + g1g UCU_ j?Cg+ U g+ _ UI1) ?CU_ g?R?j(?L? Z(j?)?R2?(?L?12) ?C谐振时 Z(j?0)?R

特点1：谐振时阻抗值最小 2. 谐振频率：?0L?1?0 ?0??0C11 f0? LC2πLC 特点2：谐振频率仅与L、C有关 3. 特性阻抗?和品质因数Q

??0L?1L 仅与电路参数有关。 ??0CC?11L 反映电路选择性能好坏的指标，也仅与电路参数有??0CRRC Q关。

?R??0LR4. 电流： I?UR?j(?L?1)?C，I0?

UU

?Imax?Im ，I0?RR

特点3：谐振时电流值最大。 推导得：P0?Pmax 5. 各元件的电压 UR0?RI 0?U

UL0?j?0L0I? UC0??0LjRU? UjQ1j?0CI0?jU??jQU ?0CR UL0?UC? 大小相等，方向相反 UX0?0 0QU

gUL0 UC0 UU UggggUUR0

g

gI0

ggUg特点4：LC串联部分对外电路而言，可以短路表示

可见，当Q>1时，UL0?UC0?QU?U，出现部分电压大于总电压现象。 串联谐振也称“电压谐振” 三．RLC串联电路的频率特性 1. 网络函数：N(j?)响应相量激励相量I gU+ U gR g+ UR_ ? j?L gg+ UL_ + UC _ 1j?C_ ? Ug

?N(j?)??(?)

N(j?)?—幅频特性?? —频率特性

?(?)?—相频特性?2. 阻抗的频率特性：

?)?R? Z(j?j(L?1 )?CR2?(?L?12) ?C① 幅频特性：Z(j?)? ??0,Z(j?)???， ?,Z(j?)

???0,Z(j?0)?R?Z(j?)min

? ,Z(j?)，???,Z(j?)??

XL |Z(j?)| R ?0 0 ② 相频特性：

? ?

?(?)?tg?1?L?1?C R

????0 时，?(?)??，???0时，?(?)?0，????时，?(?)?。

22?(?) ?U 2U0 容 性 gg?? 0 感 性 ? ? 2

? U3. 电流的幅频特性：

幅频特性：I?gUR2?(?L?12)?C

I(?) I0=Imax 0 ? 0 ? 相频特性(?u?0)

?(?)??tg?1?L?1?C R?(?)? 2U0 gUg? 0 ? ?g? 2I(?) I0?I0I0 ??0211?L?1?Q2(??)21?2(0?)?R?0?0C?U4．选择性：电流抑制比UR2?(?L?I(?)?I(?0)1 I(?)?12)?C ?11?Q2(??)2 ?? ?0?

I(?)/I0 1 1 2Q3

Q大，周围信号衰减快，选择性强

UL(?)??LUR2?(?L?QU12)?C

??0L??U?0R1?Q2(??)2?1?QU1?2?Q2(1?1

?2)2UC(?)?

??Q(??1)2222UCmax=ULmax QU UC(?) UL(?) UgUC(?) 0 ? 0 ? 四、GCL并联谐振

导纳：Y(j?0)?G，Y(j?0)?G，?0?1 LC谐振频率：?0?

1 品质因数：Q??0L?1

R?0CRLCIG Gg UgIC gUjωC g IL

1gUj?LggU与RLC串联电路进行对偶比较

电路 RLC串联电路 阻抗：Z(j?0)?R |Z(j?0)|?R 阻抗值最小 谐振频率 GCL并联电路 导纳：Y(j?0)?G |Y(j?0)|?G 导纳值最小，即阻抗值最大 阻抗（导纳） ?0?1 LC?0?1 LC品质因数 Q??0LR?1 ?0CRQ??0LG??0CR 电流（电压） 电流：I?UU,I0?电流值最大 RR电压：U?II，U0?电压值最大 GG各元件电压 各元件电压（电流） 各元件电流 UR0?U UL0?jQU，UC0??jQU IR0?I IC0?jQI0，IC0??jQI0 UX0?0 LC部分短路 IB0?0 LC部分断路 五. 一般电路的谐振

1. 电容与电感线圈的并联谐振 计算谐振频率?0 R j?L Im[Z(j?)]=0 Req j?Leq

?0?1 CLeq1R1?L1R?j?LG????2，， eqReqR2?(?L)2?LeqR2?(?L)2R?j?LR?(?L)2YRL?R2?(?L)2R2?(?L)2?Leq? Leq? 2?L?L

2. 电抗网络确定谐振频率

局部并联谐振??01全局串联谐振??021 LC11 L(C1?C2)+ U g_ UgR ? ZC2 1 j?C21 j?C1gZC1 UZL j?L

? UgZeq?ZC2?ZC1ZLZZ?ZC2ZL?ZC1ZL?C1C2

ZC1?ZLZC1?ZLZC1ZC2?ZC2ZL?ZC1ZL?0

等于并联方式Zeq?ZC1ZC2ZL

ZC1ZC2?ZC2ZL?ZC1ZLL C2

C1 ?等值电容C?C1?C2

?01??02?1 LC11 CCL12C1?C2等于串联方式

例1：已知：I1?I2?I3?I4?I5?10A，cos??1，求Z1,Z2,Z3

gI5 gI3 I4 UZUg3 ggg+ UgI2 Z2 UggI1 ZUg1

gU?200?0oVg_ Ug解：画出相量图

gI2 UI3 UgggI1 UgI4

gI5 ggU

g

可得：I1?10?120A，I2?10?0A，I4?10??60A

Z1?UI1UI2?20??120???10?j17.3?

Z2??20?

Z3?UI3?20?60??10?j17.3?

例2：已知：U1?60V，U2?180V，U?195V，R1?20?，f?50Hz，

求：R2和C

解：画出相量图，

由余弦定理可得

g+ U1 _

g+ U g_ UggR1 UIC gR2 U2 g1gUUj?C+ IR2 ggUg_ gIC IR2 Ug? UgUgUIR1 UgggU UggU1 UU2 Ugggg? Ug2U12?U2?U2，??95.38，则??180???84.62 cos??2U1U2IR1?U1?3A R1IR2?IR1cos??0.2813A ， IC?IR1sin??2.9868A,

R2?U2?640? IR2

U1?2?60.26?，C?52.8μF 2?fCIC例3：已知：uS(t)?2202cos314tV

（1） 若改变ZL但电流IL的有效值始终保持为10A，试确定电路参数L和C （2） 当ZL?11.7?j30.9?时，试求uL(t)??

解：对原电路作一次电源等效变换，当使L、C发生并联谐振，等效电流源的有效值为10A时，既可保证ZL中电流有效值不变

j?L

g+ gU_ S IL

1 j?CUZL

gUgUgIL

-j10A j?L 1 j?CgUZL

gUg （1）IS?US?10 ?L220?L??0.07H

10?3141 C?2?145μF

?L（2）UL?(11.7?j30.9)?(?j10)?33??69?(?j10)?330??159V ?uL(t)?3302cos(314t?159)V

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