2022届高三上学期第三次联考数学试题 Word版

2016第三次联考 高三数学试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．

1．若p:a R，且|a| 1；q:关于x的一元二次方程：x a 1 x a 2 0的一个根大于零，

2

(C)n 5,S 30 (D) n 5,S 45

6．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为

（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）

（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74% 7. 各项均为正数的等比数列 an 的前n项和为Sn，若S2 2,S6 14，则S8 （A）16 （B）20 （C）26 （D）30

另一个根小于零，则p是q的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件 2．下列说法正确的是（ ）

A．命题“若x＝1，则x＝1”的否命题为：“若x＝1，则x≠1”

B．已知y f(x)是R上的可导函数，则“f (x0) 0”是“x0是函数y

f(x)的极值点”的

2

2

8. 圆心在曲线y

2

2

(x 0)上，且与直线2x y 1 0相切的面积最小的圆的方程为 x

2

2

2

必要不充分条件

C．命题“存在x∈R，使得x＋x＋1＜0”的否定是:“对任意x∈R,均有x＋x＋1＜0” D．命题“角 的终边在第一象限角，则 是锐角”的逆否命题为真命题 3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于 （A （B）2 （

C） （D）6

2

2

（A）(x 1) (y 2) 5 （B）(x 2) (y

1) 5 （C）(x 1) (y 2) 25 （D）(x 2) (y 1) 25 9.设函数f x sin

2

2

2

2

1 1

x x ，且其图像关于y轴对称，则函数

2 2 2

y f x 的一个单调递减区间是

（A） 0,

2

(B)

3 , (C) , (D) ,2 2 24 2

x2y2

4．已知双曲线2 2 1(a 0,b 0)的一条渐近线方程是

ab

，则双曲线的方程为 y ，它的一个焦点坐标为（2,0）

10．P是 ABC所在的平面上一点，满足PA PB PC 2AB，若S ABC 12，则 PAB的面积

为

（A）3 （B）4 （C）6 （D）8 11． 右图可能是下列哪个函数的图象

(A)

xy 1 26

2

22

(B)

xy 1 62x

y2 1 3

2

22

(C) x

y

1 3

2

(D)

（A）y 2 x 1

（

B）y

x

2

x

lnx

5.某程序的框图如图所示, 执行该程序，若输入的p为24，则输出的n,S的值分别为 (A) n 4,S 30 (B) n 4,S 45

2xsinx2x

（C）y x （D）y (x 2x)e

4 1

12.若函数y f x x R 满足f x 2 f x

，

且x 1,1 时，f x 1 x2，

18．（本小题满分12分）

lgx x 0

，则函数h x f x g x 在区间 5,5 内的零点的个数为 g x 1

x x 0

(A)5

(B)7

(C)8 (D)10

C 90 ，BC 3，AC 6．如图1在Rt ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，且DE//BC，

将 ADE沿DE折起到 A1DE的位置，使A1D CD，如图2．

A1

（Ⅰ）求证： BC 平面A1DC；

（Ⅱ）若CD 2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；

19．（本小题满分12分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13.甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有___ ．．．14．已知 x

D E

C

2a

的展开式中常数项为 160，则常数a= __________ x

6

0 x

15． 已知M(x,y

)为由不等式组 y 2，所确定的平面区域上的动点，若点A

x

z OM OA的最大值为___________.

，则

（图1） （图2） 汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分

别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表:

（

I）从

出租天数为3天的汽车（仅限A,B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率； （Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；

（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.

1

16．设数列{an}的前n项和为Sn.且a1 1,an an 1 n n 1,2,3, ，则S2n 1=_________.

2

三、解答题（共5小题，70分，须写出必要的解答过程） 17．（本小题满分12分）

在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且a＝2csinA． (1)确定角C的大小；(2)若c＝，且△ABC的面积为

33

a＋b的值． 2

20．（本小题满分12分）

已知E 2,2 是抛物线C:y2 2px上一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点（不同于点E），直线EA,EB分别交直线x 2于点M,N.

（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；（Ⅱ）已知O为原点，求证： MON为定值.

21．（本小题满分12分） 设函数f(x)=x-e

ax

x cos

长度单位，建立极坐标系. 设曲线C

参数方程为 （ 为参数），直线l的极坐标方程为

y

sin( ) 2.

6

（Ⅰ）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的最大距离.

(a>0).

（I）求f(x)的单调区间；

24．选修4－5：不等式选讲

（II）若存在实数x1,x2(x1 x2)，使得f(x1)=f(x2)=0，求a的取值范围，并证明：

四、选做题（本小题满分10分.请考生22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，⊙O的半径为 6，线段AB与⊙O相交于点C、D，AC=4， BOD A，OB与⊙O相

x1

<ae. x2

设函数f x x a．

（Ⅰ）当a 2时，解不等式f x 4 x 1； （Ⅱ）若f x 1的解集为 0,2 ，

11 a m 0,n 0 ，求证：m 2n 4． m2n

交于点E.

（Ⅰ） 求BD长； （Ⅱ）当CE ⊥OD时，求证：AO AD.

23．选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的

数学试题（理科）参考答案

一、选择题：ABAC CBDA CBDC

3y 0所以 ，

2x 4z 0

令x 2，得y=0,z= 1.

所以n (2,0, 1)为平面A1BC的一个法向量． 10分 设BE与平面A1BC所成角为 ．

4 1

二、填空题：13、30；14、1；15、4；16、 1 n 1 （等价形式也给分）.

3 4

三、17．解：(1)由3a＝2csinA及正弦定理得，3sinA＝2sinCsinA．-------2分

∵sinA≠0，∴sinC3， 2

则sin =cos BE n

∵△ABC是锐角三角形， π

∴C＝.--------------6分

3

π3

(2)∵C＝ABC面积为，

32

1π33

∴absin＝，即ab＝6.①-------------------8分 232∵c7，

π

∴由余弦定理得a2＋b2－2abcos7，即a2＋b2－ab＝7.②------10分

3由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7.③

将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.-------------------12分 18．（Ⅰ）证明： 在△ABC中， C 90 ,DE//BC, AD DE

4

． 5

4

． 12分 5

所以BE与平面A1BC所成角的正弦值为

19．解：（I）这辆汽车是A型车的概率约为

出租天数为3天的A型车辆数30

0.6

出租天数为3天的A,B型车辆数总和30 20

这辆汽车是A型车的概率为0.6 3分 （II）设“事件Ai表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i天”，

“事件Bj表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i,j 1,2,3,...,7 则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为

P(A1B3 A2B2 A3B1) P(A1B3) P(A2B2) P(A3B1) 5分

A1D DE.

又A1D CD,CD DE D, A1D 面BCDE.--------------4分 由BC 面BCDE, A1D BC.

P(A1)P(B3) P(A2)P(B2) P(A3)P(B1)

520102030149

100100100100100100

125

9

8分 125

该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为

BC CD,CD BC C, BC 面A1DC. 6分

4(y1 2)(y2 2)OM ON 4 yMyN 4

(y1 2)(y2 2)

4

4[y1y2 2(y1 y2) 4]4( 4 4m 4) 0 11分

4

[y1y2 2(y1 y2) 4] 4 4m 4

π

2

E(X) 1 0.05 2 0.10 3 0.30 4 0.35 5 0.15 6 0.03 7 0.02=3.62

E(Y) 1 0.14 2 0.20 3 0.20 4 0.16 5 0.15 6 0.10 7 0.05=3.48 10分

一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天，选择A类型的出租车更加合理 . 12分 20．解：（Ⅰ）将E 2,2 代入y2 2px，得p 1

所以抛物线方程为y2 2x，焦点坐标为(,0) 3分

2

1

22

所以OM ON，即 MON为定值 12分 21．解:（Ⅰ）f(x) x eax(a 0)，则f (x) 1 aeax--------------------1分 令f (x) 1 aeax 0，则

x

12

11

ln-------------------------2分 --------4分

（Ⅱ）设A(

yy

,y1)，B(,y2)，M(xM,yM),N(xN,yN)， 22

故函数f(x)的增区间为( ,

ln)；减区间为(ln, ).----------------5分 aaaa

ax

设直线l方程为x my 2

(Ⅱ) 当x 0时，f(x) x e 0 a 0 ,当x 时，f(x) 0,----------------6分

x my 22

与抛物线方程联立得到 2，消去x，得：y 2my 4 0

y 2x

则由韦达定理得：y1y2 4,y1 y2 2m 5分 直线AE的方程为：y 2

2y1 2

y ，即x 2 x 2 2， 2

y1 2y1

22

1111

ln 0，即a ，--------------8分

eaaa

11111

而此时，f() e 0，由此可得x1 ln x2，

aaaaa11111

故x2 x1 ln ，即x1 x2 (1 ln)，---------------------------10分

aaaaa

若函数f(x)有两个零点，只需f(ln)

1

a1a

又 f(x1) x1 e

ax1

0,f(x2) x2 eax2 0

令x 2，得yM

2y1 42y2 4

同理可得：yN 8分

y2 2y1 2，

11

a[((1 ln)]x1eax1ax1 ax2a(x1 x2)

ax2 e e eaa eln(ae) ae. ················ 12分 x2e

22．证明（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OCA=∠ODB， ∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴∵OC=OD=6，AC=4，∴

4

)， 又 OM ( 2,ym),ON ( 2,ym

BDOD

，

OCAC

BD6

，∴BD=9．…………………5分 64

（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A． ∴∠AOD=180º–∠A–∠ODC=180º–∠COD–∠OCD=∠ADO． ∴AD=AO ……………………10分 23．解：⑴由 sin(

6

) 2得

cos ) 4，∴l:

x 4 0……………2分

y2 x cos 2

1.………………5分

由 得C:x 3 y

⑵在C

上任取一点P(cos )，则点P到直线l

的距离为

d

|cos 3sin 4|分

2sin 其中cos

∴当cos( )=1

，dmax 2

.………………10分 24．解：（1）当a 2时，不等式为x 2 x 1 4，

不等式的解集为 , , ； ---------------- 5分

22

1 7

（2）f x 1即x a 1，解得a 1 x a 1，而f x 1解集是 0,2 ，

a 1 011

，解得a 1,所以 1 m 0,n 0

m2n a 1 2

所以m 2n (m 2n)

11

4．----------------- 10分 m2n

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