无偏估计量例题及答案

定义

无偏估计：估计量的平均值等于真实值，即每次估计值可能大于或小于真实值，但不一定总是大于或小于真实值。

估计量的评价标准

（1）没有偏见

（2）有效性是指估计量与总体参数之间的离散程度。如果两个估计量均无偏，则分散度较小的估计量相对有效。换句话说，尽管每个估计都将大于或小于真实值，但偏差较小的估计更好。

（3）一致性，也称为一致性，是指随着样本量的增加，估计量接近总体参数的真实值。

为什么方差的分母为n-1？

结论：首先，问题本身的概念是混乱的。

如果所有数据都是已知的，则可以直接计算均值和方差。但是对于随机变量x，我们需要估算其均值和方差，然后使用分母为n-1的公式估算其方差。因此，如果分母为n-1，则可以无偏估计差异（而不是方差）。

因此，问题应该变为：为什么随机变量n-1的方差估计的分母是？

如果我们已经知道所有数据，那么我们可以找到平均值μ，σ，它直接是分母n的常规公式，但这不是估计！

现在，对于随机变量x，我们需要估计其期望值和方差。

预期估计值是样本的平均值

现在，在估计X的方差时，如果我们事先知道实际期望μ，则根据方差的定义：\ [E [（X_i-μ）^ 2] = \ frac {1} {n} \ sum_ i ^ n {（X_i-μ）^ 2} =σ^ 2 \]

此时，分母为n的估计是正确的，这是无偏估计！

但是，当我们估计随机变量x的方差时，我们并不知道它的真实期望。相反，我们用期望的估计值估计方差

img_ a6ca703276a7aa7165697d2bf626d3d7.png

从上面的公式可以看出，必须只有\（\ \轮廓{x} =μ\）

[[

\ frac {1} {n} \ sum_ i ^ n（X_ i- \ overline {X}）^ 2 <\ frac {1} {n} \ sum_ i ^ n（X_i-μ）^ 2 ]

上述不等式的右边是方差的“正确估计”！

这解释了为什么您不能使用（frac {1} {n}）

因此，将分母从n更改为n-1就是稍微增加了差的估计。至于为什么n-1，而不是n-2，n-3，...，有严格的数学证明。

尽管无偏估计在数学上更好，但它并不总是“最佳”估计。实际上，经常使用带有其他重要属性的偏差估计。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lmgl.html