导数各类题型方法总结(含答案)
更新时间:2024-07-09 02:27:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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导数各种题型方法总结
一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决:
第一步:令f'(x)?0得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知;
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种:
第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元);
例1:设函数y?f(x)在区间D上的导数为f?(x),f?(x)在区间D上的导数为g(x),若在区间D上,g(x)?0恒成立,则称函数y?f(x)在区间D上为“凸函数”,已知实数m是常数,
x4mx33x2f(x)???
1262(1)若y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”,求m的取值范围;
(2)若对满足m?2的任何一个实数m,函数f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数”,求b?a的最大值.
x4mx33x2x3mx2????3x 解:由函数f(x)? 得f?(x)?126232?g(x)?x2?mx?3
(1)
y?f(x)在区间?0,3?上为“凸函数”,
则 ?g(x)?x?mx?3?0 在区间[0,3]上恒成立
2解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于gmax(x)?0
?
解法二:分离变量法:
2∵ 当x?0时, ?g(x)?x?mx?3??3?0恒成立, 2 当0?x?3时, g(x)?x?mx?3?0恒成立
?0???30?g(0)???m?2 ?0??9m3??30?g(3)x2?33?x?的最大值(0?x?3)恒成立, 等价于m?xx3而h(x)?x?(0?x?3)是增函数,则hmax(x)?h(3)?2
x?m?2
(2)∵当m?2时f(x)在区间?a,b?上都为“凸函数” 则等价于当m?2时g(x)?x?mx?3?0 恒成立 变更主元法
再等价于F(m)?mx?x?3?0在m?2恒成立(视为关于m的一次函数最值问题)
2?0??F(?2)??x2?x??30????1?x?1 ??2??F(2)?0?2x?x?3?0 ?b?a?2
22
-2 2 1
例2:设函数f(x)??13x?2ax2?3a2x?b(0?a?1,b?R) 3 (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和极值;
(Ⅱ)若对任意的x?[a?1,a?2],不等式f?(x)?a恒成立,求a的取值范围. (二次函数区间最值的例子)
解:(Ⅰ)f?(x)??x2?4ax?3a2???x?3a??x?a?
0?a?1
f?(x) a 3a a 3a 令f?(x)?0,得f(x)的单调递增区间为(a,3a) 令f?(x)?0,得f(x)的单调递减区间为(-?,a)和(3a,+?)
∴当x=a时,f(x)极小值=?
233a?b; 当x=3a时,f(x)极大值=b. 42 (Ⅱ)由|f?(x)|≤a,得:对任意的x?[a?1,a?2],?a?x?4ax?3a?a恒成立①
则等价于g(x)这个二次函数??gmax(x)?a g(x)?x2?4ax?3a2的对称轴x?2a
?gmin(x)??a0?a?1, a?1?a?a?2a(放缩法)
即定义域在对称轴的右边,g(x)这个二次函数的最值问题:单调增函数的最值问题。
g(x)?x2?4ax?3a2在[a?1,a?2]上是增函数.
∴
g(x)max?g(a?2)??2a?1.?a?1,x?2a a?2?
g(x)min?g(a?1)??4a?4.
于是,对任意x?[a?1,a?2],不等式①恒成立,等价于
?g(a?2)??4a?4?a,4解得?a?1. ?5?g(a?1)??2a?1??a 又0?a?1,∴
4?a?1. 5点评:重视二次函数区间最值求法:对称轴(重视单调区间)与定义域的关系
第三种:构造函数求最值
题型特征:f(x)?g(x)恒成立?h(x)?f(x)?g(x)?0恒成立;从而转化为第一、二种题型
2
例3;已知函数f(x)?x3?ax2图象上一点P(1,b)处的切线斜率为?3,
t?62x?(t?1)x?3(t?0) 2(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)当x?[?1,4]时,求f(x)的值域;
(Ⅲ)当x?[1,4]时,不等式f(x)?g(x)恒成立,求实数t的取值范围。 g(x)?x3??f/(1)??3?a??3解:(Ⅰ)f(x)?3x?2ax∴?, 解得?
b??2??b?1?a(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在[?1,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,在[2,4]上单调递减 又f(?1)??4,f(0)?0,f(2)??4,f(4)?16 ∴f(x)的值域是[?4,16]
t2x?[1,4] (Ⅲ)令h(x)?f(x)?g(x)??x?(t?1)x?32思路1:要使f(x)?g(x)恒成立,只需h(x)?0,即t(x2?2x)?2x?6分离变量
/2思路2:二次函数区间最值
二、题型一:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
解法1:转化为f'(x)?0或f'(x)?0在给定区间上恒成立, 回归基础题型 解法2:利用子区间(即子集思想);首先求出函数的单调增或减区间,然后让所给区间是求的增或减区间的子集;
做题时一定要看清楚“在(m,n)上是减函数”与“函数的单调减区间是(a,b)”,要弄清楚两句话的区别:前者是后者的子集
例4:已知a?R,函数f(x)?13a?12x?x?(4a?1)x. 122(Ⅰ)如果函数g(x)?f?(x)是偶函数,求f(x)的极大值和极小值; (Ⅱ)如果函数f(x)是(??,解:f?(x)???)上的单调函数,求a的取值范围.
12x?(a?1)x?(4a?1). 4131x?3x,f?(x)?x2?3, (Ⅰ)∵ f?(x)是偶函数,∴ a??1. 此时f(x)?124 令f?(x)?0,解得:x??23. 列表如下: x f?(x) f(x) (-∞,-23) + 递增 -23 0 极大值 (-23,23) - 递减 23 0 极小值 (23,+∞) + 递增 可知:f(x)的极大值为f(?23)?43, f(x)的极小值为f(23)??43. (Ⅱ)∵函数f(x)是(??,
??)上的单调函数,
3
∴f?(x)?12x?(a?1)x?(4a?1)?0,在给定区间R上恒成立判别式法 4122则??(a?1)?4??(4a?1)?a?2a?0, 解得:0?a?2.
4 综上,a的取值范围是{a0?a?2}.
例5、已知函数f(x)?131x?(2?a)x2?(1?a)x(a?0). 32 (I)求f(x)的单调区间;
(II)若f(x)在[0,1]上单调递增,求a的取值范围。子集思想 (I)f?(x)?x2?(2?a)x?1?a?(x?1)(x?1?a). 1、当a?0时,f?(x)?(x?1)2?0恒成立,
当且仅当x??1时取“=”号,f(x)在(??,??)单调递增。 2、当a?0时由,f?(x)?0,得x1??1,x2?a?1,且x1?x2,
f?(x) -1 a-1 ,(?1,?? 单调增区间:(??,?1)a a?1) 单调增区间:(?1,
(II)当
f(x)在[0,1]上单调递增, 则?0,1?是上述增区间的子
集:
1、a?0时,f(x)在(??,??)单调递增 符合题意 2、?0,1???a?1,???,?a?1?0 ?a?1 综上,a的取值范围是[0,1]。
三、题型二:根的个数问题
题1函数f(x)与g(x)(或与x轴)的交点======即方程根的个数问题 解题步骤
第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;
第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系; 第三步:解不等式(组)即可; 例6、已知函数f(x)?13(k?1)21x?x,g(x)??kx,且f(x)在区间(2,??)上为增函数. 323(1) 求实数k的取值范围;
(2) 若函数f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,求实数k的取值范围.
2解:(1)由题意f?(x)?x?(k?1)x ∵f(x)在区间(2,??)上为增函数,
∴f?(x)?x?(k?1)x?0在区间(2,??)上恒成立(分离变量法)
4
2
即k?1?x恒成立,又x?2,∴k?1?2,故k?1∴k的取值范围为k?1
x3(k?1)21?x?kx?, (2)设h(x)?f(x)?g(x)?3232h?(x)?x?(k?1)x?k?(x?k)(x?1) 令h?(x)?0得x?k或x?1由(1)知k?1,
①当k?1时,h?(x)?(x?1)2?0,h(x)在R上递增,显然不合题意? ②当k?1时,h(x),h?(x)随x的变化情况如下表:
x (??,k) 1 (k,1) (1,??) k ? ? — h?(x) 0 0 ↗ 极大值↘ 极小值 ↗ h(x) k?1k3k21 ??? 2623k?1?0,欲使f(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,即方程h(x)?0有三个不同的实根,由于2?k?1k3k21???0,即(k?1)(k2?2k?2)?0 ∴?2故需?,解得k?1?3 623?k?2k?2?0综上,所求k的取值范围为k?1?3
例7、(根的个数问题)已知函数f(x)?ax?bx?(c?3a?2b)x?d (a?0)的图象如图所示。
(Ⅰ)求c、d的值;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为3x?y?11?0,求函数f ( x )的解析式;
(Ⅲ)若x0?5,方程f(x)?8a有三个不同的根,求实数a的取值范围。 解:由题知:f?(x)?3ax?2bx+c-3a-2b
(Ⅰ)由图可知 函数f ( x )的图像过点( 0 , 3 ),且f??1?= 0
232
?d?3?d?3得? ??c?03a?2b?c?3a?2b?0??f??2?= – 3 且f ( 2 ) = 5
(Ⅱ)依题意
?12a?4b?3a?2b??3 解得a = 1 , b = – 6 ?8a?4b?6a?4b?3?5? 所以f ( x ) = x3 – 6x2 + 9x + 3
(Ⅲ)依题意 f ( x ) = ax3 + bx2 – ( 3a + 2b )x + 3 ( a>0 )
f??x?= 3ax2 + 2bx – 3a – 2b 由f??5?= 0?b = – 9a
①
若方程f ( x ) = 8a有三个不同的根,当且仅当 满足f ( 5 )<8a<f ( 1 ) ② 由① ② 得 – 25a + 3<8a<7a + 3?1<a<3 115
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