购买十只股票的最优投资组合 - 图文

作业二：购买十只股票的最优投资组合

1、理论基础

马科维茨讨论了投资者将一笔资金在给定的持有期进行投资的问题，也就是

选择一个最优的证券组合。由于每种证券（从而证券组合）未来的收益率是未知的，因此，不可能做出一个保证获得最高收益的决策。尽管可以估计每种证券未来的收益率（期望收益率），仍然不能满足上面的要求，这是因为，基于期望收益率的决策最多只能获得最高平均收益率（组合的期望收益率）。

正是因为对收益率的不确定性（风险）在决策中的关注，马柯维茨指出，任何一位投资者在追求“高收益”的同时，还希望“收益尽可能是确定的”。决策目标应该有两个：第一，“尽可能高的收益率”；第二，“尽可能低的不确定性（风险）”。

1.1 收益与风险的度量

有关风险和收益的度量，本文用期望度量收益，用方差(或标准差)度量风险。具体的用历史数据估计期望收益率和方差——样本均值和样本方差。

假设收益率的概率分布是恒定的，那么，实际收益率就是来自同一概率分布的抽样样本。因而，可以用样本均值和样本方差对期望收益率和方差进行估计。 假设从时刻t?1到t?n的实际收益率是ri(i?1,2,...,n)，这就是由收益率的时间序列所构成的样本，则样本均值和样本方差为：

1n r??ri

ni?11n ??(ri?r)2 ?n?1i?121.2 证券之间的关联性--协方差与相关系数

用rA,rB分别表示证券A和证券B的收益率，则其联合分布通常表示为：

P(rA?rAi,rB?rBj)?Pij

证券A和证券B的协方差由下式计算：

cov(rA,rB)???(rAi?ErA)(rBj?ErB)pij

i?1j?1mn1

协方差反映两种证券协同变化的数量，数值大小依赖于证券收益率与自身期望收益率的偏离程度。然而，协方差的数值大小并不能完全反映证券间的关联关系。

为了对相关程度做出衡量，应将上面的偏离程度进行标准化，标准化后的协方差就是相关系数。数学公式如下： ?AB?cov(rA,rB)，

?A??B其中，?A,?B分别是证券A和证券B的标准差。

1.3 证券投资组合的期望方差计算

证券投资组合的方差与期望的确定要计算组合P的期望收益率和方差，除了要知道证券A和B的期望收益率和方差外，还必须知道证券A和B之间的相关系数?AB（或协方差）。计算公式如下：

E(rP)?WA?E(rA)?WB?E(rB)

2222?P?WA??A?WB2??B?2?WAWB??AB??A?B

显然,选择不同的组合权数WA，就可以得到不同的证券组合，从而得到不同的期望收益率和方差。投资者可以根据自己的偏好，选择符合自己要求的证券组合。

1.3 马柯维茨均值方差模型

要使用数学模型，就需要对客观现实进行假设。虽然社会科学对条件假设不像数学那样严格，必要的说明还是不可少的，马柯维茨模型做了下面的假设。 假设1：投资收益率的概率分布是已知的；

假设2：投资风险用投资收益率的方差或标准方差标识； 假设3：影响投资决策的主要因素为期望收益率和风险；

假设4：投资者都遵守占优原则；同一风险水平下，选择收益率较高的证券；同一收益率水平下，选择风险较低的证券。

理性的投资者总希望风险尽量小而收益尽量大，或者收益相等风险最小。收益相同风险最小，即在给定的期望收益率下，寻找最小方差的资产组合;风险相同收益最大，即在给定的方差下，寻找最大期望收益的资产组合.以上两种组合中所有有效组合的集合就称作有效前沿。

2

求最优投资组合就是在一定的预期收益水平下，求方差最小的组合。可表示为如下最优问题：

min{W}1W?VW 2s.t.

其中，R?(E(~r1),E(~r2),...,E(~rN))?，表示N个风险资产收益率的期望向量，是已知的。I表示每个分量都等于1的N维向量，V表示N个资产的协方差矩阵，

r)，体现在约束条件中。 W表示权重，前沿证券组合所对应收益率E(~P2.实证研究

2.1 数据选择

本文选取中国A股中十支股票，分别为：中航动控、沧州明珠、海信电器、太原刚玉、五矿稀土、大康牧业、新华龙、上海物贸、大同煤业、南京熊猫。运用matalb计算一天之中收益率的均值、收益率的方差，进一步用matlab计算十只股票的协方差矩阵、相关系数矩阵。 2.1.1十只股票的收益率、收益率标准差

在EXCEL中计算原始数据的收益率，计算公式为：

ln(pt)pt?1中。将得到的数

据导入matlab中求出每只股票收益率的均值和标准差分别代表该只股票的收益率和收益率标准差。

股票 中航动控(zh) 沧州明珠(cz) 海信电器(hx) 太原刚玉(ty) 五矿稀土(wk) 新华龙(xh) 中国建筑(zg) 中信国安(zx) 南京熊猫(nj) 大同煤业(dt)

3

收益率(%) 0.478 0.0372 0.0376 0.0366 0.0544 0.05316 0.01017 0.05149 0.01464 0.04928 收益率标准差(%) 0.265 0.245 0.2649 0.3314 0.2742 0.3029 0.26303 0.27055 0.17907 0.4913

2.1.2 十只股票的协方差矩阵

在matlab中用原始数据中的十只股票收益率计算十只股票的协方差矩阵，所得到的结果如下表所示：

zh cz hx ty wk xh zg zx nj dt zh 0.0728 -0.0004 -0.0011 -0.0011 0.002 0.0055 0.003 0.0021 0.0062 -0.0008

cz -0.0004 0.0575 0.0163 0.0076 0.006 0.0042 0.0017 0.009 0.0002 0.0034 hx -0.0011 0.0163 0.071 0.004 0.0141 0.0041 0.0028 0.0115 0.0005 0.0089 ty -0.0011 0.0076 0.004 0.1122 0.0229 0.0104 0.0013 0.0092 0.0032 0.0038 wk xh 0.002 0.0055 0.006 0.0042 0.0141 0.0041 0.0229 0.0104 0.0766 0.0053 0.0053 0.0926 0.0072 0.0051 0.0223 0.0091 0.0029 -0.0009 0.0161 -0.0211 zg 0.003 0.0017 0.0028 0.0013 0.0072 0.0051 0.0696 0.0009 0.0019 0.0129 zx 0.0021 0.009 0.0115 0.0092 0.0223 0.0091 0.0009 0.0742 0.0028 0.0019 nj 0.0062 0.0002 0.0005 0.0032 0.0029 -0.0009 0.0019 0.0028 0.0321 0.0013 dt -0.0008 0.0034 0.0089 0.0038 0.0161 -0.0211 0.0129 0.0019 0.0013 0.2425 2.1.3 十只股票的相关系数矩阵

在matlab中运用原始数据的收益率计算十只股票的相关系数矩阵，计算结果如

下表所示： zh cz 1 -0.0054 -0.0054 1 -0.0157 0.2549 -0.012 0.0947 0.027 0.0905 0.0676 0.057 0.0422 0.0266 0.0288 0.1381 0.1275 0.0037 -0.006 0.0288 zh cz hx ty wk xh zg zx nj dt hx -0.0157 0.2549 1 0.0452 0.1907 0.05 0.0397 0.1578 0.0095 0.0681 ty -0.012 0.0947 0.0452 1 0.2474 0.1024 0.0147 0.1012 0.0542 0.0229 wk 0.027 0.0905 0.1907 0.2474 1 0.0632 0.0984 0.2958 0.059 0.1181 xh 0.0676 0.057 0.05 0.1024 0.0632 1 0.063 0.1092 -0.0162 -0.1407 zg 0.0422 0.0266 0.0397 0.0147 0.0984 0.063 1 0.0132 0.0405 0.0996 zx 0.0288 0.1381 0.1578 0.1012 0.2958 0.1092 0.0132 1 0.0566 0.0145 nj 0.1275 0.0037 0.0095 0.0542 0.059 -0.0162 0.0405 0.0566 1 0.0142 dt -0.006 0.0288 0.0681 0.0229 0.1181 -0.1407 0.0996 0.0145 0.0142 1 2.2 最优组合的确定

通过以上十只股票的相关数据，分别通过求解最优化问题:

1W?VW 2min{W}4

s.t.

求出均值-方差组合的有效前沿。在给定样本数据相同的情况下，假定不同的期望收益率水平P，利用前面利用matlab已求出的各只股票的收益率(R)、协方差矩阵(V)，使用matlab求解最优化问题，得到的结果如下表所示。

根据前面求出的协方差矩阵，在matlab中求解上述二次规划，求得的结果如下表所示，具体的matlab程序见附录。

~)?r(zh)；~)为 在下表中，最优组合（zh）表示在E(r最优组合(E(R))表示E(rpp十支股票的均值收益率下的最优组合。 最优组合最优组合（zh） （cz） zh 0.9848 0.0167 cz 0.0515 0.1339 hx 0.0489 0.0875 ty 0.0352 0.0525 wk 0.0344 0.0397 xh 0.0056 0.0965 zg -0.0489 0.1308 zx 0.0346 0.0725 nj -0.1725 0.3339 dt 0.0264 0.036 最优值 3.52E-06 5.60E-07 股票 最优组合最优组合(xh) (zg) zh 0.0518 -0.0426 cz 0.1309 0.139 hx 0.0861 0.0899 ty 0.0519 0.0536 wk 0.0395 0.04 xh 0.0932 0.102 zg 0.1242 0.1418 zx 0.0711 0.0748 nj 0.3155 0.3649 dt 0.0357 0.0366 最优5.40E-07 6.17E-07 值

5

股票 最优组合（hx） 0.0176 0.1339 0.0875 0.0525 0.0397 0.0964 0.1306 0.0724 0.3335 0.036 5.60E-07 最优组合(ty) 0.0154 0.134 0.0876 0.0525 0.0397 0.0966 0.131 0.0725 0.3346 0.036 5.61E-07 最优组合(wk) 0.0545 0.1307 0.086 0.0518 0.0395 0.0929 0.1238 0.071 0.3142 0.0356 5.39E-07 最优组最优组最优组合最优组合合(zx) 合(nj) (dt) (E(R)) 0.0481 -0.0328 0.0432 0.1157 0.1313 0.1381 0.1317 0.1255 0.0863 0.0895 0.0865 0.0836 0.0519 0.0534 0.052 0.0507 0.0395 0.04 0.0396 0.0392 0.0935 0.1011 0.094 0.0872 0.1249 0.14 0.1258 0.1124 0.0712 0.0744 0.0714 0.0686 0.3175 0.3598 0.32 0.2822 0.0357 0.0365 0.0358 0.035 5.42E-06.06E-05.44E-07 5.27E-07 7 7

从上表中可以看出当收益率取十只股票的均值时，所得到的组合最优，此时购买的十只股票的组合为：购买中航动控（zh）11.57%，购买沧州明珠（cz）12.55%，购买海信电器（hx）8.36%，购买太原刚玉（ty）5.07%，购买五矿稀土（wk）3.92%，购买新华龙（xh）8.72%，购买中国建筑（zg）11.24%,购买中信国安（zx）6.86%,购买南京熊猫（nj）28.22%，购买大同煤业（dt）3.5%。

附录：部分matlab程序 1.求协方差、相关系数矩阵

mean(zh); --------------------------------------%求中航控股数据的均值

cov(zh); -------------------------------------%求中航控股数据的方差

w=[zh,cz,hx,ty,wk,xh,zg,zx,nj,dt]; -------%将十只股票的收益率数据整合成矩阵 cov(w); -------%求十只股票收益率的协方差矩阵 corrcoef(w)； --------%求十只股票收益率的相关系数矩阵 2.求解二次规划

x1=0.0478 -------%将第一只股票的平均收益率赋值给变量x1 a=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1]; ----%约束条件的系数的矩阵表示

b=[x1;1]; ------------ %约束条件等式右边的矩阵表示（右边收益率为第一只股票的收益率）

b2=[x2;1]; ------------%约束条件等式右边的矩阵表示（右边收益率为第二只股票的收益率）

b3=[x3;1];b11=[0.082254;1];b4=[x4;1];b5=[x5;1];b6=[x6;1];b7=[x7;1];b8=[x8;1]; b9=[x9;1];b10=[x10;1];

f=[0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]';-------------------------------%二次规划的一般形式中右边一部分为0

[x,fval,exitflag]=quadprog(h,f,[],[],a,b11,[])-----%求解二次规划 [x,fval,exitflag]=quadprog(h,f,[],[],a,b,[]) [x,fval,exitflag]=quadprog(h,f,[],[],a,b2,[]) [x,fval,exitflag]=quadprog(h,f,[],[],a,b3,[]) [x,fval,exitflag]=quadprog(h,f,[],[],a,b4,[]) [x,fval,exitflag]=quadprog(h,f,[],[],a,b5,[])

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