湖北省荆州市高一数学期末复习提纲

第一章：集合、常用逻辑用语（必修1，选修1）

1．集合：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体． ①表示： 列举法、描述法、venn图法、区间表示法． ②分类：有限集(含空集)、无限集 ③元素：确定性、互异性、无序性

④常见数集的字母表示：自然数N，正整数N*,N?, 有理数Q，实数集R 2．集合间的关系：包含（子集）、真包含（真子集）、相等 ①证明：任意 x?A，都有x?B，则 A?B

n②集合有 n 个元素，则子集、真子集、非空子集、非空真子集有2、23．性质

①空集是任何非空集合的真子集 ②任何集合是它本身的子集 ③空集是任何集合的子集

④包含、真包含的传递性（若A?B,B?C,则A?C） 4．全集、补集 补集：CSA?交集：并集：性质：

n?1,2n?1，2n?2个

?x|x?S且x?A?

A?B??x|x?A且x?BA?B??x|x?A或x?B?

?

A?A?A、A?A?A；A????、A???A；CAA??、

CA??A;CA(CAB)?B;

摩根律：CU(A?B)?(CUA)?(CUB);CU(A?B)?(CUA)?(CUB) （交的补=补的并、并的补=补的交） 5．命题及其关系

①简单命题：不含逻辑联结词或、且、非 ②复合命题：简单命题 + 逻辑联结词 ③四种命题

原命题：若 p , 则 q 否命题：若

?p , 则?q （注意与命题的否定区别：命题的否定是仅否定结论）

逆命题：若 q , 则 p 逆否命题：若 原命题

?q q , 则?p

?逆否命题， 否命题?逆命题

④判断命题的真假可选用“直接法”和“间接法”，“间接法”包含以下途径：

（1）转化为“非命题”判定；（2）转化为“逆否命题”判定；（3）从集合的角度判定；

（4）从几何意义的角度“数形结合”判定．

关键是“抓住关联字词”：不“或”即“且”，不“且”即“或”．

（5）“或”命题的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且”命题的特点是“一假即假，要真全真”；

“非命题”的特点是“一真一假”．

6．充要条件（分清条件与结论） ① p ② p

? q , p 是 q 的充分条件；q 是 p 的必要条件

? q , p 是 q 的必要条件； q 是 p 的充分条件

1

③ p ? q , p 是 q 的充要条件；q 是 p 的充要条件 友情提醒：学会从集合的观点理解集合

A是B的充分（不必要）条件?A?B（A ? B） ? A是B的必要（不充分）条件?A?B（A ? B） A是B的充要条件?A?B 7．反证法

①步骤 (1)反设 ；(2)归谬； (3)否定假设，从而肯定原结论 ②命题否定

“ p或 q ”否定：>p 且 > q ; “p 且 q”否定：>p 或 > q “至少有一个”否定：一个也没有 “至多有一个”否定：至少有两个 “都是”否定：不都是（至少有一个不是） 8．存在量词与全称量词

①量词：（1）全称量词：“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词

（2）存在量词：“有一个”“存在一个”“有些”等表示部分的量词

②含有量词的命题：（1）全称命题：含有全称量词的命题．?x?M,p(x)

（2）存在命题：含有存在量词的命题．?x?M,p(x)

9．含有一个量词的命题的否定

“?x?M,p(x)”的否定为“?x?M,?p(x)” “?x?M,p(x)”的否定为“?x?M,?p(x)”

?第二章：函数（必修1）

1．映射：设A、B是两个集合，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射． 映射：每元有象，象唯一

2．函数：设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，这样的对应叫做从A到B的函数． （1）三要素：定义域、值域，对应法则

（2）与x轴垂直的直线与函数图象至多有一个公共点，而与y轴垂直的直线与函数图象的公共点可能没

有，可能任意个．

（3）函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象． 3．函数性质

（1）单调性：某一个区间A，?x1< x2,

x1,x2 ?A

①若 f(x1) < f(x2) , 则 f(x) 在 A 上递增；若f(x1) > f(x2) , 则 f(x) 在A 上递减 特殊地：当 f(x) > 0 时 若

f(x1)f(x1)?1，则f(x) 在A上递增；若 ?1，则f(x)在A递减 f(x2)f(x2)②复合函数单调性：同增异减

③两函数和的单调性：增 + 增=增； 减+减=减（在公共区间上）

2

④最值：设函数的定义域为A

f(x0)恒成立，则称f(x0)为y?f(x)的最大值，记为ymax?f(x0)

如果存在x0?A,有f(x)?f(x0)恒成立，则称f(x0)为y?f(x)的最小值，记为ymin?f(x0)

（2）奇偶性：（定义域关于原点对称）

奇?f??x??f?x??0?图像关于原点对称?f?0??0偶?f?x??f??x??f(x)?图像关于y轴对称 两函数积的奇偶性：同偶异奇

（3）奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同．

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相反．

（4）复合函数的奇偶性：“内偶则偶，内奇同外” ４．对称性：

关于x轴????? y?f(x)-y代y关于y轴????? y?f(?x)

-x代x如果存在x0?A,有f(x)?(若在x?0处有定义)

①

y??f(x)；y?f(x)

关于原点?? f(y,x)?0 ?y??f(?x)；f(x,y)?0??? y?f(x)?????-x代x, -y代y关于y=xy?x?my??x?my?f(x)?关于????x?m?f(y?m);y?f(x)?关于??????x?m?f(?y?m)

推广：函数y?f(x),y?f(A?x)的图象关于直线x?A对称；

2函数

y?f(x),y?m?f(n?x)的图象关于(n,m)成中心对称．

22②函数

f(x)满足f(a?x)?f(b?x), 则函数y?f(x)的图象关于x?f(x)满足f(a?x)?f(a?x) , 则图象关于 x = a 对称

a?b2对称．

特例：函数

③两个函数

y?f(a?x),y?f(b?x)的图象关于(a?x)?(b?x)?0即x?b?a对称 2y?f(a?x),y?f(a?x)的图象关于x?0对称．

５．周期性：对于定义域中的每一个值，都有f(x?T)?f(x)．

若f(x)为周期函数，则y?f(x) 的定义域为无限集．

特例：两个函数

两次对称可得周期（类比三角函数得）： 若

y?f(x)的图象有两条对称轴x?a,x?b(a?b)，则y?f(x)必是周期函数，且一周期为

T?2a?b

若

y?f(x)的图象有两个对称中心(a,0),(b,0)，则y?f(x)必是周期函数，且一周期为

T?2a?b

若

y?f(x)的图象有一个对称中心(a,0)和一条对称轴x?b(a?b)，则y?f(x)必是周期函

3

数，且一周期为T特别地：若

?4a?b

1、1）恒成立，则T?f(x)f(x)f(x?a)??f(x)(a?0)（或?2a

６．函数的图象变换（尤其要掌握三角函数图像的变换） ①平移：左+右—，上+下-

②伸缩：注意x的系数的变化与横坐标的变化的关系（反比）．

x横坐标伸长为原来的k倍y?f(x)???????????y?f()

ky?f(x)???????????y?kf(x)

纵坐标伸长为原来的k倍③对称：参见4.

注：（1） 图象变换中，特殊点、特殊线也应作相应的变换．

?（2） 函数y?f(x)的图象按向量a?(h,k)平移后，得函数y?k?f(x?h)的图象

指数函数、对数函数、三角函数、“鱼钩”函数等）联系．

（3） 图象变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、

７．指数函数与对数函数

①

y?ax与y?logax互为反函数（a>0且a≠ 1）

a?a,amnnm?mn②指数运算性质、根式转化为分数指数幂： ③对数运算性质：

?1/amn

aN?b?logaN,a0?1?loga1?0,logaa?1,lg2?lg5?1；logex?lnx

mlogam?logan?logamn; logam?logan?loga;

nn1logambn?logab; loganM?logaM;

mn alogaN?N; logab?logcb;

logca④比较大小：(1)利用单调性，注意与 0、1、-1 的比较．

(2)loga

b的值的范围界定：当底数和真数同大于1或同小于1时，对数的值大于0；当

4

底数和真数一个大于1，另小于1时，对数的值小于0． 注意：①形如

． y?ax2?bx?c的函数，不一定是二次函数（可称为伪二次）

②应特别重视“二次三项式”，“二次函数”，“二次方程”，“二次曲线”间的特别联系． ③形如

ax?b(c?0,ad?bc)的图象是等轴双曲线，双曲线的两渐近线的方程为：

cx?ddadax??,y?，双曲线的中心是点(?,)．

ccccy?

８．幂函数：形如

y?x?的函数．

????1????0:???1????1????①图像：分???0几种情形，可结合具体函数的图像加以掌握．

?????1?????0????1?????1???②根据图像研究性质（奇偶性、单调性、对称性） 若?若??1,则y?x，图像是直线．

?0,则y?x0?1(x?0)，图像是除（0，1）外的直线．

若0???1,，图像过（0，0），（1，1），在第一象限是上凸的． 若??1,，图像过（0，0），（1，1），在第一象限是下凹的． 若??0，图像（1，1）．

单调性：当??0时，在第一象限内奇偶性：令?y?x?递增；当??0时，在第一象限内y?x?递减．

?p（既约分数） q 若若

p,q都是奇数，则函数y?x?是奇函数；

p是奇数，q是偶数，则函数y?x?是非奇非偶函数； p是偶数，q是奇数，则函数y?x?是偶函数．

若

5

９．函数与方程

①函数的零点：一般地，方程②零点存在定理：如果函数那么函数的根．

③二分法：对于区间[a,b]上连续的，且

f(x)?0的实数根又叫函数y?f(x)的零点．

y?f(x)在区间[a,b]上是连续不断的一条曲线，并且有f(a)?f(b)?0，

y?f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c?(a,b)，使得f(c)?0，这个c也就是f(x)?0f(a)?f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数零点所

在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．

第四章 三角函数（必修4、必修5）

1．角

（1）分类：正角（逆时针）、零角、负角（顺时针）；象限角、象间角（终边落在坐标轴上的角）． （2）终边相同的角的集合：{?|????2k?,k?Z}

?终边与?终边相同（?终边在?终边所在射线上）?????2k?(k?Z)

?终边与?终边共线（?终边在?终边所在直线上）?????k?(k?Z) ?终边与?终边关于x轴对称??????2k?(k?Z) ?终边与?终边关于y轴对称???????2k?(k?Z) ?终边与?终边关于原点对称???????2k?(k?Z)

一般地，?终边与?终边关于?的终边对称???2????2k?(k?Z);

?2

所处的象限：

? ?2 Ⅰ ⅠⅢ Ⅱ ⅠⅢ Ⅲ ⅡⅣ Ⅳ ⅡⅣ （3）角度制、弧度制及其关系1???180180rad; 1rad?()??57.3?

?（4）扇形中的有关结论：l?|?|r；l?n?r；S?1lr；S?1802n?r2 3602．三角函数

（1）定义：若点P（x,y），以Ox为始边，OP为终边所成的角为?,|OP|=r， 则sin??yxy，cos??，tan??， rrx符号：（一正二正弦；三切四余弦） 正弦：一、二象限为正；三、四象限为负． 余弦：一、四象限为正；二、三象限为负． 正切：一、三象限为正；二、四象限为负． 注：sin15??cos75??6?22;sin75??cos15??6?22;tan15??cot75??2?3 tan75??cot15??2?3;sin18??5?1 4 Y （2）三角函数线（有向线段的数量） a:利用三角函数线求角的取值范围； A P X T

6

b:??(0,?2)?sin????tan? M

（3）基本关系

平方关系：sin2??cos2??1

商数关系：tan??sin?

cos?

（4）诱导公式：(奇变偶不变，符号看象限)

第一组：（函数名不变；符号看象限）

sin(??)??sin?；sin(???)?sin?；sin(???)??sin?；

（k?Z） sin(2???)??sin?；sin(2k???)?sin?；

第二组：（函数名改变；符号看象限）

sin(????)??cos?； sin(??)??cos?； ??)?cos?； sin(??)?cos?；sin(22223?3?（5）倍角公式：sin2?2tan?；

1?tan2?cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?；

1?cos2?1?cos2?2降次公式：sin2??；cos??

22?2sin??cos?；tan2??（6）辅助角公式：asin??bcos??a2?b2sin(???)；

其中?所在象限由a,b的符号确定，值由tan??b确定

a特别地：sin??cos??2sin(??? )4（7）三角变换主要是：角、函数名、次数、系数（常值）的变换，核心是角的变换．

角的变换主要是：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差的变换．如??(???)???(???)??;2??(???)?(???);????2?????????;?(??)?(??) 2222 常值变换主要是“1”的变换：1?sin2x?cos2x?sec2x?tan2x?tan 三角式的变换主要有：三角函数名互化，次数的升降，运算结构的转化 注意正余弦“三姐妹”

?4?sin?2?cos0??等

sinx?cosx,sinxcosx的内在关系（常和三角换元联系：如令

t2?1sin??cos??t,则sin??cos??）

2（8）正、余弦函数的图象和性质：（图象、定义域、值域、奇偶性、单调区间 及单调性、最小正周期、对称中心、对称轴等等．）

正弦函数：对称中心：(k?,0)，对称轴：x?k??余弦函数：对称中心：(k??正切函数：对称中心：(?2(k?z)

?2,0)，对称轴：x?k?(k?z)

k? ,0)（k?Z）2 ①注意：绝对值对三角函数周期的影响．一般来说，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：

7

弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定．如

y?sin2x,y?sinx的周期是?，但y?sinx?cosx的周期是?， y?tanx的周期不

2变．

y?sinx2,y?sinx,y?cosx不是周期函数．

②三角函数图象的作法：五点法、三角函数法，变换法． （9）图象变换

平移变换：①x轴方向上的平移：左加右减．②

y轴方向上的平移：上加下减

伸缩变换：①x轴方向上的伸缩（周期变换）．②y轴方向上的伸缩（振幅变换）．

对称变换：①复制（保留原有部分）②翻折（不保留原有部分） 须掌握三种图像变换与对应的函数解析式的变化关系． （10）常见方法：

切化弦法；“1”的恒等变形；齐次式的处理方法；“变角”，“变名”，“变形”在求值，化简，证明中的应用，等等． ３．解三角形

①三角形中的结论：

内角和定理：A+B+C=?

正、余弦定理：

abc????2R??sinAsinBsinC??边角转换 222b?c?a?cosA?等?2bc?2 勾股定理：（余弦定理特例）a 类似地：?C 面积公式：S?b2?c2?sin2A?sin2B?sin2C??C?90?

?90??c2?a2?b2;?C?90??c2?a2?b2

?1111absinC?acsinB?bcsinC??底?高 2222?a?b?c? 有关边的不等式：?a?c?b

?b?c?a?②三角形中常见诱导公式有：

?sin(A?B)?sinC??cos(A?B)??cosC ?tan(A?B)??tanC?C?A?Bsin?cos?22?A?BC? cos?sin?22?A?BC?tan?cot?22?(?B?)?sinC2?sin2A?(?B?)coCs2?cos2A?tan2A(?B?)?tanC2?

③解三角形：可能有两解、一解、无解．

8

（1） 知三边： （2） 已知两边一角：

A?90? 一解 无解 无解 A?90? 一解 无解 无解 A?90? 一解 一解 a>bsinA两解 a=bsinA一解 ab a=b a

第五章：平面向量（必修4）

1．向量

① 有大小、有方向，用有向线段表示；区别向量与起点无关，有向线段与起点有关． ②分类：平行向量（共线向量），相等向量，零向量（与任一向量平行） 2．向量加法（减法）

① 三角形法则 ②平行四边形法则

????注意：掌握单位向量（与AB共线的单位向量是?平行向量、相等向量、相反向量．

????AB，特别地：(????AB????????????????ABACABAC）、?????????)?(?????????)ABACABAC向量的平行无传递性（因为有零向量），向量相等有传递性． 3．a?b?????????a?b?a?b

????????当a,b同向或有为0时，右边等号成立；当a,b反向或有0时，左边等号成立；a,b不共线，两边等号

不成立．

4．实数与向量积（仍为向量）

①?a??a ②??0,与a同向;?<0,与a反向 5．向量共线充要条件：

????????①b与非零向量a共线?有且只有一实数?,使得b??a

?????②a?b共线?不全为0的实数m,n，使ma?nb?0

6．平面向量基本定理：

①

??????同一平面内的两个不共线的向量e1,e2,平面内的所有向量a，有且只有一对实数?1,?2,使得

??????a??1e1??2e2．

9

②

?????e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的基底．

7．平面向量坐标运算：

①点M(x1,y1),点N(x2,y2),则MN?(x2?x1,y2?y1) ②若a?(x1,y1),b?(x2,y2)

?1?a?b??x1?x2,y1?y2? ?2??a???x1,?x2? （3）a//b?x1y2?x2y1?0（借助

??????????x1y?1记） x2y2??? ?4?a?b?x1x2?y1y2?0 ?5?a?8．平面向量的数量积（此为数）

22 x1?y1①a?b?abcos?,(0????)=x1x2?y1y2

???????②bcos?为b在a方向上的投影

????③a?b?a?b?0

④不超过2个向量的运算与数的运算基本一致． ⑤a?a

?2?2??a⑥与向量a同向的单位向量可表示为?

|a|?????????? 注意：?a,b?为锐角?ab?0,且a,b不同向，即a?b?0是?a,b?为锐角的必要不充分条件．

???????????a,b?为钝角?ab?0,且a,b不反向，即a?b?0是?a,b?为钝角的必要不充分条件．

9．点的坐标平移公式： 点P（x ,y）

??????????? 点P'(x',y')其中x'?x?h,y'?y?k(a?PP')

?按a?(h,k)平移?按a?(h,k)平移y?f?x?????? y?k?f?x?h?，

特别提醒：向量平移后坐标不变．

10．平面向量与其他知识的综合（比较） （1） 与平几：

a) P为AB的中点?OP?1(OA?OB) 2 10

在□ABCD中，AB?AD?(AB?AD)(AB?AD)?0?ABCD为菱形 在□ABCD中，AB?AD?0?AB?AD?AB?AD?ABCD为矩形．

在四边形ABCD中，AB?BC?BC?CD?CD?DA?DA?AB?ABCD为矩形．

?????????????????1?????????b)PG?（PA+PB?PC ）?G为△ABC的重心．特别地； OA?OB?OC?0?O为△ABC的重心．

3x?x2?x3y1?y2?y3三角形重心公式：G（1）． ,33 OA?OB?OB?OC?OC?OA?O为△ABC的垂心． ??(AB?AC)过△ABC的内心．

ABAC* S12????2????2????????ABAC?(AB?AC)2?ABC?

（2） 与代数

a) 实数的积 数量积 结合律：(ab)c=a(bc) (a?b)c?a(b?c)

???????? 消去律：ab=ac(a?0)?b?c a?b?a?c(a?0)?b?c ???? ab=0?a=0或b=0 a?b?0?a?0,或b=0

(ab)2?a2b2 (a?b)2?a?b b)代数不等式：

a?(x1,y1),b?(x2,y2),a?b?ab???x1x2?y1y2（3）与解几：

点向式方程：若L过点(x0,y0)，且方向向量为（u,v）,则L的方程为： (x?x0)v?(y?y0)u

22?x1?y122x2?y2

22第三章 数列（必修5）

１．数列

（1）按一定顺序排列的数

（2）通项公式：第n项an与项数n之间的关系．但不是所有数列都有通项公式，若有通项公式也不一定唯一，即可有多个通项公式．

（3）分类：按项数有限无限分：有穷数列、无穷数列．

11

按项的值的变化：递增数列、递减数列、摆动数列．

（4）递推公式：已知前一项或几项，任一项an与它前一项an?1（或前几项）间的关系．

（5）通项与前n项和间的关系： an?S1(n?1)（必要时请分类讨论） ???Sn?Sn?1(n?2)2．等差数列 （1）通项公式：an?a1?(n?1)d,(n?N*)

n?m

an?am?(n?m)d,(n,m?N*)，d?an?am（2）判断等差数列的方法：

①利用定义：对任意n?N*,an?1?an?d;或任意n?N*,且n?2，an?an?1?d,

?an?1?an?1．

2②利用通项公式：（与一次函数有关） ③ 中项法an（3）等差中项：2A?（4）前n项和公式： ①公式：Sn（5）性质： ①若公差da?b?A是a,b的等差中项?a,A,b三数成等差．

?na1?n(a1?an)n(n?1) ②Sn是关于n的二次表达式（不含常数项）． d?22?0，m,n,s,t?N*则m?n?s?t?am?an?as?at

②若m,k,n?N*，则m,k,n成等差?am,ak,an成等差．

推广为：一个等差数列中每隔k项仍成等差．

③等差数列中每相邻k项之和仍成等差，且公差为k④{an}为等差数列，则{Can2d.

}是公比为Cd的等比数列．

⑤一般地，三数（奇数个数）成等差的设法：a?d,a,a?d，其公差为d；四数（偶数个数）成等差的设法：a?3d,a?d,a?d,a?3d，其公差为2d． ⑥ap?q,aq?p(p?q)?ap?q?0;Sp?q,Sq?p(p?q)?Sp?q??(p?q);

⑦首项为正的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有的非负项之和． 首项为负的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有的非正项之和． ⑧项数为2n的等差数列，S偶?S奇项数为2n+1的等差数列，S奇?S偶?an?1（数列中项）． ?nd，

12

3．等比数列 （1）通项公式：an?a1qn?1(n?N*),an?amqn?m(m,n?N*),

等比数列中，公比不能为0，各项均不能为0；奇（偶）数项一定同号． （2）判断等比数列的方法： ①定义法：任意n?N*,an?1/an②中项法：an?q?0;或任意n?N*,且n?2，an/an?1?q?0,

（与指数函数有关） ?an?1an?1?0③利用通项公式：

（3）等比中项：a,G,b成等比?G2?ab?0,（只有两个同号的数才有等比中项，而且有两个）

q?1?na1?（4）前n项和公式：Sn??a(1?qn)

1q?1?1?q?（5）性质： ①若公比q??1，m,n,s,t?N*则m?n?s?t?aman?asat

②若m,k,n?N*，则m,k,n成等差?am,ak,an成等比．

推广为：一个等比数列中每隔k项仍成等比．

③等比数列中每相邻k项之和仍成等比（skk，且公比为q. ?0）

④{an}为各项均为正数的等比数列，则{logaan}为公差{logaq}的等比数列．

⑤三数（奇数个数）成等比的设法：

a,a,aq，其公比为q；四数（偶数个数）成等比的设法：qaa（注意此种设法应确认公比为正） ,,aq,aq3，其公比为q2．3qq⑥Sm?n?Sm?qmSn?Sn?qnSm

⑦“首大于1”的正项递减等比数列中，前n 项积的最大值是所有的大于或等于1的项之积； “首小于1”的正项递增等比数列中，前n 项积的最小值是所有的小于或等于1的项之积． ⑧项数为2n的等比数列，S偶/S奇?q;，项数为2n+1的等比数列，S偶?a1?qS奇

4．如果两等差数列有公共项，则由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且公差是原两等差数列公差的最小公倍数．

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如果一等差数列和一等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”研究，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些是公共项． 注意 ：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an项、项数相同． 5．数列的求和方法： （1）公式法：求和公式；

（2）反（倒）序求和法—如和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，常考虑该法．这也是等差数列和公式的推导方法．

（3）错位相减法——等比或混合数列．适用于数列的通项是由一个等差数列的通项和一个等比数列的通项相乘构成．

（4）裂项法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后有关联，则常用裂项求和．

?bm.也有少数问题研究an?bn，即要求

常用裂项形式有：①

1111111 ②???(?)

n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k③

1111?[?] ④an?Sn?Sn?1(n?2)

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)（以下为理科内容）

⑤

n11??

(n?1)!n!(n?1)!m?1mmmmm?1 ?Cn?Cn?C?C?C?1nn?1n⑥ Cn⑦

111111111111 ??(?),??????k2k2?12k?1k?1kk?1k(k?1)k2(k?1)kk?1kn)?1?2(n?nn?1)

⑧2(n?1?（5）分组（并项）求和：常将“和式”中“同类项”先合并在一起，在运用公式法求和． （6）累加、累乘法：an=（an-an?1）+（an?1-an?2）+?+（a2-a1）+a1；

an?anan?1a2?a1

an?1an?2a16．几种常见数列的前n项和： （1）1?2?3???n?n(n?1) 22（2）1?3?5???(2n?1)?n

14

（3）1?3?5???(2n?1)?(n?1)

2第六章 不等式（必修５）

1．不等式性质：

①a?b?b?a(对称性) ②a?b,b?c?a?c(传递性)

③a?b?a?c?b?c(加法单调性)

a?b,c?d?a?c?b?d(同向不等式相加)

④a?b,c?0?ac?bc(乘法单调性)

a?b,c?0?ac?bc⑤a?b?0,c?d?0?ac?bd(同向相乘) ⑥a?b?0?an?bn(乘方原理)

a?b?0?na?nb(n?N且n?1)??开方原理??

⑦倒数法则：

a?b?11???

ab?0?ab

*⑧（理科）

a?b?a?b?a?b左边等号成立条件： a?b且ab?0 右边的等号成立的条件：ab?0 2．证明不等式的依据：

①a?b?0?a?b； a?b?0?a?b

②不等式性质（以上7条） ③重要不等式 a2?0?a?R? ；

2a2?b2?2ab?a,b?R? ；

222 2a2?b2??a?b?； a?b?c?ab?bc?ac．

??a?b22ab?ab?()(a?0,b?0)11a?b22? ab?（幂平均）（算术平均）（几何平均）（调和平均）

*（理科）a (a2n a2?b2?bn?an?kbk?akbn?k(a,b?0)(纯的大于或等于杂的)；

?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2（柯西不等式）

?ab(a?0,b?0)?和定积最大；积定和最小． 3．极值定理： 注意“一正二定三相等”的条件．

a?b2 15

4．证明不等式的方法

①比较法： 作差、作商（同正或同负）

②分析法：(1)欲证??，即证??

(2)证明a,a?b1?b2??b,?b成立?a成立.

③综合法：应用基本不等式、不等式的性质；函数性质法（单调性等）；放缩法 5．不等式的解法：（注：不等式的解集最后务必用集合的形式表示） ①ax2?bx?c?0(a?0),两根x1?x2?xx?x2或x?x1两根之外

??ax2?bx?c?0(a?0)??x|x1?x?x2?两根之间

②序轴标根（x的系数为正）

(x?x1)(x?x2)...(x?xn)?0(?0)③含绝对值

(1)分段讨论 (2)平方 (3)公式 ④简单的指数、对数不等式

(1)利用单调性 (2)注意对数的真数大于0 ⑤f?x??a恒成立?a??f(x)?min

f?x??a有解?a???f?x???max

注：设y?f(x),x?[a,b];y?g(x),x?[m,n]，对于 ?x?[a,b];?x?[m,n]，使得 f(x)?g(x)? f(x)的值域?g(x)值域． 6．一元二次不等式的解集： ①ax2 + bx + c > 0 , ( a> 0)

?a(x?x1)(x?x2)?0（其中 x1、x2 为对应方程的根，x1 < x2 ）

△>0时；解集x|x?x2或x?x1? △=0时；解集{x|x??b,且x?R?

2a△<0时；解集R

② a x2 + b x+ c< 0 , ( a > 0 )?a (x － x1 )( x－ x2 ) < 0 △>0时，解集｛x| x1 < x < x2｝ △≤0时，解集：

??

③ a < 0 时转化为正的；分式转化为整式

*7．（理科）绝对值不等式的解集（去绝对值的方法：平方、分类讨论） ① | x |0)?x?（－a , a）

② | x |>a, (a>0)?x?（－∞,－a）?(a , +∞) ③ a<| x |

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第九章：立体几何初步（必修2）

一．空间几何体： 1．棱柱、棱锥、棱台

由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫棱柱．当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫棱锥．底面水平放置的棱锥（圆锥）被平行于底面的平面的所截，底面与截面之间的几何体叫做棱台（圆台）． ① 棱柱性质：

（1）侧棱都相等、侧面是平行四边形 （2）底面、平行于底面的截面是全等多边形 （3）过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 ② 长方体对角线性质：

（1）对角线长的平方等于长、宽、高的平方和：l?a2?b2?c2（注意与(a?b?c)的联系）

2*（2）对角线与三条棱（长、宽、高）分别成?,?,?角，则cos2??cos2??cos2??1（线线角） *（3）对角线与同一顶点出发的三个面分别成?,?,?角，则cos??cos??cos??2（线面角）

222注：了解割补法（三棱柱补成四棱柱）、了解几种特殊的四棱柱的关系：直四棱柱、平行六面体、长方体、

正四棱柱、正方体． ③正棱锥性质：（特征三角形）

（1）各侧棱相等，侧面是等腰三角形；

（2）高、斜高、斜高在底面射影（内切圆半径）构成直角三角形； 高、侧棱、侧棱在底面射影（外接圆半径）构成直角三角形； 底面边长一半、侧棱在底面射影、斜高在底面射影构成直角三角形． 2．圆柱、圆锥、圆台和球

将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．

半圆绕着它的直径旋转一周而形成的几何体叫做球体（简称球），半圆旋转形成的曲面叫球面． *3．中心投影与平行投影：

三视图是观察者从不同的位置观察同一个几何体画出的空间几何体的图形，具体包括主视图、左视图和俯视图．注意把握“长对正、高平齐、宽相等”． 球的三视图是圆；长方体的三视图是矩形．

平行投影的投影线互相平行，平行投影包括斜投影和正投影．中心投影的投影线相交于一点（消点）． 4．斜二侧画法： （1）斜：45?或135?

（2）平行关系：与x、y轴的平行性不变．

（3）长度关系：平行于y轴的线段长度变为原来一半，平行与x轴的线段长度不变． 设一多边形的面积和直观图的面积分别为s,s'，则s'?二．点、线、面之间的位置关系 1．平面的基本性质：

2s． 4A、B?L???L??A、B???17

（1）公理1：

（2）公理2：

A????A????A?L??B?L??（3）公理3：不共线三点确定一平面

推论1：直线和直线外一点确定一平面; 推论2：两相交直线确定一平面;推论3：两平行直线确定一平面. （4）公理4：a∥b, b∥c?a∥c

??（5）空间等角定理：OB//GF ????AOB??EGFOA、GE方向相同?OB、GF方向相同?? 推论：

OA//GEa?b?0,m?n?s???所成锐角（直角）相等 a//m,b//n?2．线线关系：相交、平行、异面；线面关系： 在平面内、相交、平行；面面关系：平行、相交． 八个基本定理： （1）线面平行判定定理：

a???a//??? （2）线面平行性质定理： ?b????a//?a????a//ba//b?????b???

（3）线面垂直判定定理

L?m??L?n （4） 线面垂直性质定理： a????a//b ???L???b???m,n???m?n?o??

注：线面垂直的定义：

a?????a?b

b???a//??//????（5）面面平行判定：b//? （6） 面面平行的性质：?????a//b ?????//?a?b?o??????a,b????

引理：

?//????a//?

a???18

AB????（7）面面垂直判定： ?AB?? ????? （8）面面垂直性质:AB?CD??AB???AB???????CD??

*3．线线角、线面角、二面角

两条异面直线所成的角：亦称平移角，范围:0????90? 直线与平面所成的的角：范围： 0???????90?．

??斜线与平面所成的的角（0???90）：是斜线和平面内的直线所成角中最小的角.

?二面角的平面角θ：范围：0????180? *4．点面距、线面距、面面距

求线面距离：可转化为点面距离(求点面距时,注意变换点的位置：平行变换、对称变换)

三．空间几何体的表面积、体积

①棱柱侧面积求法：先求各侧面的面积、再求和．?S圆柱侧?2?rl ②棱柱体积： V③S正棱锥侧??S底?h ?V圆柱侧??r2h．

111cl?S圆锥侧??rl；V锥体?S底h?V圆锥体??r2h 23312④S正棱台侧?（c?c'）l?S圆台侧??（r?r'）l V台体?（S?SS'?S'）h?V圆锥? ⑤V=4?R3 （体积）；S球球3131 ?（r2?rr'?r'2）3?4?R2 （表面积）

⑥球与正方体： 球内切于正方体，则a?2R;

球与正方体的各棱相切，则2a?2R； 正方体内接于球，则3a?2R．

球性质：（1）球心与截面圆心连线垂直于截面；

（2）球心到截面距离 d，球半径R，截面半径r，则r

立体几何：（1）最基本思想：转化思想,将空间问题转化为平面问题

（2）核心：线面垂直

?R2?d2；

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