中考数学复习指导：图形翻折问题的解法探究与启示

图形翻折问题的解法探究与启示

一道关于图形翻折的问题，值得大家分析探究. 一、试题与分析

试题在VABC中AB?k，?A??，点P是AC的中点，将VABP沿直线BP翻折，点A落在点A'处，且?A'CB?90???，则BC? (用k和含?的三角比的代数式表示)

分析 这道有关图形翻折的问题，其难点主要体现在以下三个方面:第一，虽然是一道关于图形翻折的问题，但并没有图形，需要学生自己作出符合要求的图形;第二，题目中已知条件的分析与运用，需要添加必要的合理的辅助线;第三，有关基本图形的组合与分离需要观察分析到位.综合以上三点，此题确有一定的难度. 二、解法与启示

解法1 “四点共圆”显神威

A'?PAPC?如图1，连结A'C，由P?PA'B??PAB??,

，可知VAA'C是直角三角形，且?AA'C?90?.

??AA'B??PA'C??AA'C??PA'B?90???.

由?A'CB?90?????ACB??PCA, 得?AA'B??PA'C??ACB??PCA'. Q?PA'C??PCA',

??AA'B??ACB.

故可知A、A'、C、B四点共圆.

由?AA'C?90?，知AC为该圆的直径，可得?ABC?90?，则BC?ktan?. 评注与启示 解法1利用了“四点共圆”，解答过程干净、利落，实为非常巧妙的解答.判定四点共圆有两个基本方法:1.若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆;2.若点C、D在线段AB的同侧，且?ACB??ADB，则A、B、C、D四点共圆.

解法2 “补全”图形，巧用相似

BC相交于点Q.如解法1得到?AA'B??ACB, 如图2，在图1的基础上分别延长AA'，

此时，这两个角的补角相等，即?QA'B??QCA.

这样VQA'B:VQCA，

于是有

QA'QBQA'QC，进而, ??QCQAQBQA?VQA'C:VQBA.

而?QA'C?90?,

于是?QBA?90?，从而BC?ktan?.

评注与启示 解法2的生成得益于图形的“补全”.这一点在2015年上海中考题中也有所体现:

已知在VABC中，AB?AC?8，?BAC?30?.将VABC绕点A旋转，使点B落在原VABC的点C处，此时点C落在点D处.延长线段AD，交原VABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于 .

简析 如图3所示

此题虽为三角形的旋转问题，但由于所旋转的角度恰为该等腰三角形的顶角度数，实质我们还是可以看成是VABC沿边AC所在直线翻折，得到VADC.图3中，分别延长AD、

BC相交于点E，类似于将不完整的图形进行了“补全”.就本题而言，过点B或点C向AD

作垂线段，我们很容易得到结果为43?4，只要学生可以将图3的图形“迁移”过来，那么解法2的图形“补全”;就可以自然生成了.另外，我们将解法2中两对相似三角形的图形分离出来.我们会发现这是典型的相似三角形中“两高”型基本图形的运用，如图4、图5所示.

如图5，这是相似三角形中“两高”型基本图形，即: 若AD?BQ，BE?AQ， 则VQDE:VQAB.

正是基于这样一种基本图形的分离，所以我们在图4中才可以比较容易得到

VQA'C:VQBA.

解法3 “共边共角”基本图形的运用

在图3中，我们容易得到VECD:VEAC，这两个三角形形成的是“共边共角”型相

2似基本图形，可以得到EC?EDgEA，问题是要求ED长，EA?ED?8，那么只需要求

出EC长或者用ED表达出EC.如图6,易知CG?4，从而EC?42.设ED?x.我们可以得到方程(42)2?x(x?8)，解得x?43?4(负限舍去).

上述解法的思维方法值得鉴赏，尤其“共边共角”型基本图形的运用，还是大有可为之 处.

评注与启示 解法3从分析己知条件出发，在原图中构造出“共边共角” 型基本图形. 得到BC?BDgBA的关系式，通过设未知数的方法最终得到相关方程.将“共边共角” 型基本图形利用好、发挥好，就一定可以得到问题的解答.这在2016年上海中考题中也有所体现:

如图7所示，梯形ABCD中，AB//DC，?B?90?，AD?15，AB?16，BC?12，

2点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且

?AGE??DAB二.

(1)略;(2)略;

(3)如果点F在边CD上 (不与点C、D重合)，设AE?x，DF?y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.

简析(3) 易知VEGA:VEAD.从而有?ADE??GAE??AFD.这样，在VADF中

2就可以形成“共边共角”型基本图形VADG:VAFD，得AD?AGgAF.利用比例关系

有AG?xxAF，所以AD2?AF2.只要表达出AF2，很容易就可以得到问题的x?yx?y22625?18(9?x?). x2答案为y? 综上可见，我们在实际教学中，应当将学生容易接受的、最优的解法教授给学生，一题多解仍然值得我们去追求.虽然，有些解法较为简洁，有些解法较为繁杂，但当我们站在不同的角度也同样可以欣赏到不同的美景.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lly5.html