人教A版高中数学必修四 1.2.1《任意角的三角函数》教学设计(2)

1.2.1《任意角的三角函数》教学设计（2）

【教学目标】

1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式； 2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；

3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围. 【导入新课】 （一）复习：（提问）

1．三角函数的定义及定义域、值域：

练习1：已知角

的终边上一点P(

m)，且sin

，求cos ,sin 的值.

解：由题设知x y

m，所以r2 |OP|2 (2

m2，得r

从而sin

m2

，解得m

0或16 6 2m m

r4xy

1,tan 0；

rx

当m

0时，r x cos

当m

r x

cos

xy tan ；

rxxy tan rx当m

r x

cos 2．三角函数的符号：

练习2：已知sin 0且tan 0， （1）求角 的集合；（2）求角3．诱导公式：

练习3：求下列三角函数的值： （1）cos

终边所在的象限；（3）试判断tan ,sin cos 的符号. 2222

9 11 9 )，，（2）tan( （3）sin．

462

（二）问题：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？ 新授课阶段

[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角 为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点P(x,y)，过点P作PM x轴交x轴于点

M，则请你观察:

根据三角函数的定

||y | |si；义：|MP

|OM| |x| |cos |.

随着 在第一象限内转动，MP、OM是否也跟着变化？

思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP、OM规定一个适当的方向，使它们的取值与点P的坐标一致？

（2）你能借助单位圆，找到一条如MP、OM一样的线段来表示角 的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角 的终边不在坐标轴时,以O为始点、M为终点，规定：

当线段OM与x轴同向时，OM的方向为正向，且有正值x；当线段OM与x轴反向时，OM的方向为负向，且有正值x；其中x为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有

OM x cos .

同理,当角 的终边不在x轴上时,以M为始点、P为终点，规定：

当线段MP与y轴同向时，MP的方向为正向，且有正值y；当线段MP与y轴反向 时，MP的方向为负向，且有正值y；其中y为P点的横坐标.这样,无论那种情况都有

MP y sin .

像MP、OM这种被看做带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment）. 如何用有向线段来表示角 的正切呢?

如上图,过点A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与 的终边交于点

T,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA、AT,我们有

tan AT

y

. x

我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.

探究：（1）当角 的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？

（2）当 的终边与x轴或y轴重合时，又是怎样的情形呢？

三角函数线

设任意角 的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点

P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角 的

当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段OM x,MP y，于是有

sin

yyxx y MPMP，cos x OMOM，r1r1yMPAT

tan AT.

xOMOA

我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线.

我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.

例1 已知

4

2

，试比较 ,tan ,sin ,cos 的大小.

处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小：

1 sin

2 4 sin sin

35，解： 如图可知：

tan

2 4 2 4 与sin；2 tan与tan. 3535

2 4 . tan

35

课堂小结

(1)了解有向线段的概念.

(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角 的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.

(3)体会三角函数线的简单应用. 作业

1． 比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)： (1)sin15、tan15；（2）cos15018、cos121；（3）2．练习三角函数线的作图. 3.见 同步练习 部分

'

、tan.

55

拓展提升

1．设 角属于第二象限，且cos

2

cos

2

，则

角属于（ ） 2

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

sin

2．给出下列各函数值：①sin( 10000)；②cos( 22000)；③tan( 10)；④

7

cos .17tan

9

其中符号为负的有（ ）

A．① B．② C．③ D．④

3．已知sin

A.

4

，并且 是第二象限的角，那么tan 的值等于（ ） 5

4334 B. C. D.

4334

4．若 是第四象限的角，则 是（ ）

A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角

5．设 分别是第二、三、四象限角，则点P(sin ,cos )分别在第___、___、___象限．

6．设MP和OM分别是角

17

的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： 18

①MP OM 0；②OM 0 MP； ③OM MP 0；④MP 0 OM， 其中正确的是_____________________________.

7．若角 与角 的终边关于y轴对称，则 与 的关系是___________.

8．设扇形的周长为8cm，面积为4cm，则扇形的圆心角的弧度数是9．与 2002终边相同的最小正角是_______________.

2

参考答案

1.C 2k

2

2k ,(k Z),k

4

2

k

2

,(k Z),

当k 2n,(n Z)时，

在第一象限；当k 2n 1,(n Z)时，在第三象限； 22

而cos

2

cos

2

cos

2

0，

2

在第三象限；

2.C sin( 10000) sin800 0；cos( 22000) cos( 400) cos400 0

7 7

cos sin,sin7 0,tan17 0 tan( 10) tan(3 10) 0； 1717109tantan99

43sin 4

3.A sin ,cos ,tan

55cos 3

sin

4.C ，若 是第四象限的角，则 是第一象限的角，再逆时针旋转180

05.四、三、二 当 是第二象限角时，sin 0,cos；当 是第三象限角时，

sin 0,cos 0；当 是第四象限角时，sin 0,cos 0；

6.② sin

17 17 MP 0,cos OM 0 1818

7. 2k 与 关于x轴对称 8.2 S

1l

(8 2r)r 4,r2 4r 4 0,r 2,l 4, 2 2r

9.158 2002 2160 158,(2160 360 6)

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