一元二次方程的有理数根、公共根与整数根整合

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一元二次方程的有理根总结

求一元二次方程的有理根、整数根问题常与一元二次方程根的判别式发生联系，也就是说，常常利用根的判别式为完全平方数来讨论。

1、 如果x??m?1?x?1是完全平方式，求m的值

22、 若a?2005是整数，求所有满足条件的正整数a的值

22yx?xy?2y?29有整数解，求满足条件的?x,y?的值 x3、关于，的方程

22kx??k?1?x?1?0有有理根，求k的值。 k?04、设k为整数，且，方程

22qp??2x?p?1x?3p?4p?q?0有有理根？ 5、当是什么实数时，对于任意有理数，方程

??2??a?1x?2x?a?1?0的根都是整数，那么符合条件的整数a有_________个。 x6、已知关于的方程

2ax?2?2a?1?x?4?a?3??0至少有一个整数根。求a的值。 ax7、已知是正整数，且使得关于方程

2rx??r?2?x?3r?2?0有根且只有整数根。 x8、试确定一切有理数r，使得关于的方程

9、试确定一切有理数r，使得关于x的方程rx2+（r+2）x+r-1=0有根且只有整数根．

22px?2px?p?5p?1?0的两根都是整数，求出p的所有可能值。 10、已知为质数，使一元二次方程

2p?q?198x?px?q?0的整数根。 11、已知，求方程

2222????k?6k?8x?2k?6k?4x?k?4的两根都是整数。求满足条件的所有实x12、设关于的二次方程

数k的值。

2x??12?m?x?m?1?0的两个根都是正整数，求m的值。 x13、已知关于的方程

一元二次方程的公共根与整数根

一、公共根问题

二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值和公共根．

二、整数根问题

对于一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的实根情况，可以用判别式??b2?4ac来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质．求有整数根的二次方程中，参数问题，要根据方程的结构特点，设法将二次方程转化为两个一次式，再根据整数根确定其解。其转化途径：或直接分解因式；或利用根

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与系数的关系；或利用求根公式。

求二次方程的整数根常用的数学思想方法是分类讨论，但在运用时，要具体问题具体分析。 方程有整数根的条件：

如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有整数根，那么必然同时满足以下条件： ⑴ ??b2?4ac为完全平方数；

⑵ ?b?b2?4ac?2ak或?b?b2?4ac?2ak，其中k为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可．

另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中a、b、c均为有理数)

三、方程根的取值范围问题

先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围． 例题

一、一元二次方程的公共根

例1求k的值，使得一元二次方程x2?kx?1?0，x2?x?(k?2)?0有相同的根，并求两个方程的根．

例2设a,b,c为?ABC的三边，且二次三项式x2?2ax?b2与x2?2cx?b2有一次公因式，证明：?ABC一定是直角三角形．

例3三个二次方程ax2?bx?c?0，bx2?cx?a?0，cx2?ax?b?0有公共根．

⑴ 求证：a?b?c?0；

a3?b3?c3⑵ 求的值．

abc

例4试求满足方程x2?kx?7?0与x2?6x?(k?1)?0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．

例5二次项系数不相等的两个二次方程(a?1)x2?(a2?2)x?(a2?2a)?0和

ab?ba的值． (b?1)x?(b?2)x?(b?2b)?0(其中a，b为正整数)有一个公共根，求?ba?b?a

二、一元二次方程的整数根

例6：k为什么实数时，关于x的方程(6?k)(9?k)x2?(117?15k)x?54?0的解都是整数？

例7：若关于x的方程?6?k??9?k?x2??117?15k?x?54?0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有

222_______个．

例8：已知a是正整数，如果关于x的方程x3?(a?17)x2?(38?a)x?56?0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．

练习1、若k为正整数，且关于k的方程(k2?1)x2?6(3k?1)x?72?0有两个相异正整数根，求k的值．

练/2、关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数．求满足条件的所有实数k的值．

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练/3、当m为何整数时，方程2x2?5mx?2m2?5有整数解．

练习/4已知关于x的方程4x2?8nx?3n?2和x2?(n?3)x?2n2?2?0，是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n值；若不存在，请说明理由．

练习/5求所有有理数r，使得方程rx2?(r?1)x?(r?1)?0的所有根是整数．

练习6/已知关于x的方程x2?(a?6)x?a?0的两根都是整数，求a的值．

练习7、已知k为常数，关于x的一元二次方程(k2?2k)x2?(4?6k)x?8?0的解都是整数，求k的值．

练/8、已知p为质数，二次方程x2?2px?p2?5p?1?0的两根都是整数，请求出p的所有可能的值．

练/9已知12?m?40，且关于x的二次方程x2?2(m?1)x?m2?0有两个整数根，求整数m．

?a?b?m?2练习10、若一直角三角形两直角边的长，a、b(a?b)均为整数，且满足?．试求这个直角三

ab?4m?角形的三边长．

练习11、关于x的方程ax2?2(a?3)x?(a?2)?0至少有一个整数解，且a是整数，求a的/1．

练习12、已知方程ax2?3a2?8ax?2a2?13a?15?0(a是非负整数)至少有一个整数根，那么

??a? ．

练/13、当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是整数．

练/14、设m为整数，且4?m?40，方程x2?2?2m?3?x?4m2?14m?8?0有两个整数根，求m的值及方程的根．

练/15、当m为何整数时，方程2x2?5mx?2m2?5有整数解．

练/16、已知方程ax2?3a2?8ax?2a2?13a?15?0(a是非负整数)至少有一个整数根，那么

??a? ．

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练/17、若关于x的方程?6?k??9?k?x2??117?15k?x?54?0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有_______个．

/18设方程mx2?(m?2)x?(m?3)?0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．

19已知a是正整数，且使得关于x的一元二次方程ax2?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数根，求a的值．

20已知关于x的方程a2x2?(3a2?8a)x?2a2?13a?15?0 (其中a是非负整数)至少有一个整数根，求a的值．

21已知b，c为整数，方程5x2?bx?c?0的两根都大于?1且小于0，求b和c的值．

122已知a，b都是正整数，试问关于x的方程x2?abx?(a?b)?0是否有两个整数解？如果有，请求出来；

2如果没有，请给出证明．

?，且x1x2?0，x1?x2??0． 23已知方程x2?bx?c?0及x2?cx?b?0分别各有两个整数根x1,x2及x1?,x2??0； ⑴ 求证：x1?0，x2?0，x1??0，x2⑵ 求证：b?1≤c≤b?1；

⑶ 求b,c所有可能的值．

24设p、q是两个奇整数，试证方程x2?2px?2q?0不可能有有理根．

25试证不论n是什么整数，方程x2?16nx?7s?0没有整数解，方程中的s是任何正的奇数．

26求方程a3b?ab3?2a2?2b2?4?0的所有整数解．

?x?y?(a?2)x27已知a为整数，关于x,y的方程组?的所有解均为整数解，求a的值． 23?xy?(a?1)x?2a?2

28求方程

29求所有的整数对(x,y)，使x3?x2y?xy2?y3?4x2?4xy?4y2?47．

30设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2?(m?1)x?1?0有有理根，求m的值．

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x?y3?的所有正整数解．

x2?xy?y27西安文津教育62568277 凤城四路明光路文景路之间海璟新天

31当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx2?4x?4?0与x2?4mx?4m2?4m?5?0的根都是整数．

32a是正整数，关于x的方程x3?(a?17)x2?(38?a)x?56?0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．

33已知a,b是实数，关于x,y的方程组

?y?x3?ax2?bx有整数解(x,y)，求a,b满足的关系式． ??y?ax?b

34已知p为质数，使二次方程x2?2px?p2?5p?1?0的两根都是整数，求出所有可能的p的值．

35设关于x的二次方程(k2?6k?8)x2?(2k2?6k?4)x?k2?4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值．

36b为何值时，方程 x2?bx?2?0和x2?2x?b(b?1)?0有相同的整数根？并且求出它们的整数根？

37已知关于x的方程(a?1)x2?2x?a?1?0的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个．

38求所有正实数a，使得方程x2?ax?4a?0仅有整数根．

39方程(x?a)(x?8)?1?0有两个整数根，求a的值．

40求所有的正整数a，b，c使得关于x的方程

x2?3ax?2b?0,x2?3bx?2c?0,x2?3cx?2a?0的所有的根都是正整数．

41n为正整数，方程x2?(3?1)x?3n?6?0有一个整数根，则n?__________．

42求出所有正整数a，使方程ax2?2(2a?1)x?4(a?3)?0至少有一个整数根．

43已知方程(a2?1)x2?2(5a?1)x?24?0有两个不等的负整数根，则整数a的值是__________．

44不解方程，证明方程x2?1997x?1997?0无整数根

45已知方程x2?1999x?a?0有两个质数根，则常数a?________．

46已知方程x2?mx?m?1?0有两个不相等的正整数根，求m的值．

47当m是什么整数时，关于x的方程x2?(m?1)x?m?1?0的两根都是整数？

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48设方程mx2?(m?2)x?(m?3)?0有整数解，试确定整数m的值，并求出这时方程所有的整数解．

49已知a是正整数，如果关于x的方程x3??a?17?x2??38?a?x?56?0的根都是整数，求a的值及方程的整数根．

50若k为正整数，且关于k的方程k2?1x2?6?3k?1?x?72?0有两个相异正整数根，求k的值．

51设a为质数，b，c为正整数，且满足

2??9?2a?2b?c??509?4a?1022b?511c? 求a?b?c?的值． ???b?c?2??6 文津教育 地址：海璟新天-凤城四路明光路文景路之间62568277

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