近世代数试卷

安徽大学2008—2009学年第一学期 《近世代数》考试试卷（B卷）

一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由） 1、模n的同余关系是一个等价关系．

2、整数集Z对于普通的数的乘法作成一个群． 3、?x?是Z[x]的一个极大理想．

4、在同态映射下，正规子群的象是正规子群． 5、数域F上的多项式环F[x]是一个欧氏环． 二、计算分析题

1、设两个六次置换：??(134652)，??(1235)(46)计算：??，?2?，????1． 2、求剩余类环Z12的所有可逆元和所有子环． 3、在Z8中计算：([4]x3?[3]x?[2])([5]x2?x?[3]) 三、举例题（对下列的各种情形，请各举一例） 1、环的素理想而非极大理想；

2、环和其一个子环均有单位元，但二者不相等； 3、正规子群的正规子群不是原来群的正规子群． 四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分） 1、证明在一个有限群中：

1) 阶数大于2的元素的个数一定是偶数；

2) 偶数阶群里阶等于2的元素个数一定是奇数． 2、设H?G，证明：对?a?G,aHa?1?G且aHa?1?H．

????a2b??a,b?数域F3、证明：对集合R????关于普通的矩阵的加法和乘法作?ba??????成一个有单位元的交换环．

4、设R是一个无零因子的环，且R?1．则 1）R中所有非零元素（对加法）的阶均相同；

2）若R的特征有限，则必为素数． 5、设H,K是群G的两个正规子群，证明： 1）如果GH与GK都是交换群，则GH?K也是交换群；

2）若H?K? ?e?，证明：H与K中元素相乘时可交换．

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6、环R的一个理想N叫做诣零的，如果对?a?N，均存在n?Z?，使得an?0，证明：

1) 若N是R的诣零理想，则R是诣零的?R 2) 环R的两个诣零理想之和仍为诣零理想．

N是诣零的；

安徽大学2009—2010学年第一学期 《近世代数》考试试卷（B卷）

一、分析判断题（请判断下列命题对错，并简要说明理由）

1、设?:X?Y为一个映射，A是X的一个非空子集，则??1(?(A))?A． 2、整数集Z对于普通的数的乘法作成一个半群．

3、整数环的全部素理想是由所有素数p生成的主理想?p?和自己本身． 4、若H?G,K?G，则HK?G．

5、域是一个欧氏环．

二、计算分析题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 1、给出剩余类环Z12的所有素理想和极大理想． 2、设??(143)(45)(26)，??(267)(43)?S7，

1) 求?，?的阶； 2) 计算????1??， ??1????． 3、求多项式x3?x2?x?1 在Z8中的所有根．

三、举例题（对下列的各种情形，请各举一例） 1、除环而非域；

2、群的正规子群而非特征子群．

四、证明题（本题共6小题，每小题10分，共60分）

1、证明：1) 若环R有正则元，则全体正则元对乘法作成一个半群； 2) 环R的元素a?0是正则元当且仅当由axa?0可得x?0． 2、设H,K是群G的两个正规子群，且二者的交为?e?．证明：H与K的元素相乘时可换．

3、设G是一个群，a,b?G，a?1b?1ab称为a,b的换位元，记作?a,b?．由G的全体换位元生成的群称为G的换位子群，记作G?．证明：

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1) G?是G的正规子群； 2) 设N?G，则GN是交换群?G??N

ab ?m,n?4、设a,b是群G中阶分别为m与n的两个元素．证明：若ab?ba，，

其中?m,n?为m与n的最小公倍数, 并证明G中有阶为?m,n?的元素． 5、证明：Gauss整环Z[i]是一个欧氏环．

6、设R是一个阶大于1且有单位元的可换环．证明：R是域?R到任意环的非零同态都是单的．

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