2014高考数学复习二次函数测试题（带答案）

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高考数学复习二次函数测试题

1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法

若f?x??x?bx?c，且f?1??0，f?3??0，求f??1?的值．

2变式1：若二次函数f?x??ax?bx?c的图像的顶点坐标为?2,?1?，与y轴的交点坐标为

2(0,11)，则

A．a?1,b??4,c??11 B．a?3,b?12,c?11 C．a?3,b??6,c?11 D．a?3,b??12,c?11

变式2：若f?x???x??b?2?x?3,x?[b,c]的图像x=1对称，则c=_______．

2变式3：若二次函数f?x??ax?bx?c的图像与x轴有两个不同的交点A?x1,0?、

2B?x2,0?，且x12?x22?单位得到？

262，试问该二次函数的图像由f?x???3?x?1?的图像向上平移几个92．（北师大版第52页例2）图像特征

将函数f?x???3x?6x?1配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值

2或最小值，并画出它的图像．

变式1：已知二次函数f?x??ax?bx?c，如果f?x1??f?x2?(其中x1?x2)，则

2?x?x?f?12?? ?2?4ac?b2bbA．? B．? C． c D．

2aa4a变式2：函数f?x??x?px?q对任意的x均有f?1?x??f?1?x?，那么f?0?、f??1?、2f?1?的大小关系是

A．f?1??f??1??f?0? B．f?0??f??1??f?1? C．f?1??f?0??f??1? D．f??1??f?0??f?1? 变式3：已知函数f?x??ax?bx?c的图像如右图所示，

2y

请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_________． 3．（人教A版第43页B组第1题）单调性

O x

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已知函数f?x??x?2x，g?x??x?2x?x?[2,4]?．

22(1)求f?x?，g?x?的单调区间；(2) 求f?x?，g?x?的最小值．

变式1：已知函数f?x??x?4ax?2在区间???,6?内单调递减，则a的取值范围是

2 A．a?3 B．a?3 C．a??3 D．a??3 12变式2：已知函数f?x??x??a?1?x?5在区间( ,1)上为增函数，那么f?2?的取值范围

2是_________．

变式3：已知函数f?x???x?kx在[2,4]上是单调函数，求实数k的取值范围．

2

4．（人教A版第43页B组第1题）最值

已知函数f?x??x?2x，g?x??x?2x?x?[2,4]?．

22(1)求f?x?，g?x?的单调区间；(2) 求f?x?，g?x?的最小值．

变式1：已知函数f?x??x?2x?3在区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围

2是

A．1,??? B．0,2 C．1,2 D．???,2? 变式2：若函数y?3?x2?4的最大值为M，最小值为m，则M + m的值等于________． 变式3：已知函数f?x??4x?4ax?a?2a?2在区间[0,2]上的最小值为3，求a的值．

22?????

5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性

已知函数f?x?是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f?x??x?1?x?．画出函数f?x?的图像，并求出函数的解析式．

22变式1：若函数f?x???m?1?x?m?1x?1是偶函数，则在区间???,0上f?x?是

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A．增函数 B．减函数 C．常数 D．可能是增函数，也可能是常数 变式2：若函数f?x??ax?bx?3a?ba是偶函数，则点?a,b?的坐标是?a?1?x?2?2________．

变式3：设a为实数，函数f(x)?x2?|x?a|?1，x?R．

(I)讨论f(x)的奇偶性；(II)求f(x)的最小值．

6．（北师大版第64页A组第9题）图像变换

?x2?4x?3,?3?x?0?已知f(x)???3x?3,0?x?1．

?2??x?6x?5,1?x?6(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值． 变式1：指出函数y??x?2x?3的单调区间． 变式2：已知函数f(x)?|x2?2ax?b|(x?R)．

给下列命题：①f(x)必是偶函数；

② 当f(0)?f(2)时，f(x)的图像必关于直线x=1对称； ③ 若a?b?0，则f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数； ④f(x)有最大值|a?b|．

其中正确的序号是________．③

变式3：设函数f(x)?x|x|?bx?c,给出下列4个命题：

2223eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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①当c=0时，y?f(x)是奇函数；

②当b=0，c>0时，方程f(x)?0只有一个实根； ③y?f(x)的图象关于点（0，c）对称；

④方程f(x)?0至多有两个实根．

上述命题中正确的序号为 ．

7．（北师大版第54页A组第6题）值域

求二次函数f(x)??2x2?6x在下列定义域上的值域： (1)定义域为x?Z0?x?3；(2) 定义域为?2,1． 变式1：函数f(x)??2x?6x??2?x?2?的值域是

2???? A．??20,??32?9?? B． C． D． ?20,4?20,?????2?2??9???20,??

2??变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是__________．

变式3：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根．

(1)求 f (x) 的解析式； (2)是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，如果 存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由．

8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题

当a,b,c具有什么关系时，二次函数f?x??ax?bx?c的函数值恒大于零？恒小于零？

2变式1：已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x + 1) ．

(I)若函数 f (x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围； (II)若函数 f (x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围．

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变式2：已知函数f(x)?x2?ax?3?a，若x??2,2时，有f(x)?2恒成立，求a的取值范围．

变式3：若f (x) = x 2 + bx + c，不论 ?、? 为何实数，恒有 f (sin ? )≥0，f (2 + cos ? )≤0． (I) 求证：b + c = －1； (II) 求证： c≥3；

(III) 若函数 f (sin ? ) 的最大值为 8，求 b、c 的值．

9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系

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右图是二次函数f?x??ax?bx?c的图像，它与x轴交于点?x1,0?和?x2,0?，试确定

2a,b,c以及x1x2，x1?x2的符号．

变式1：二次函数y?ax2?b与一次函数y?ax?b(a?b)在同一个直角坐标系的图像为

y1xx1O1x2 y

y

O

y

y x O x O A．

x

O B．

x

C．

D． 变式2：直线y?mx?3与抛物线C1:y?x2?5mx?4m,C2:y?x2?(2m?1)x?m2?3,

C3:y?x2?3mx?2m?3中至少有一条相交，则m的取值范围是．

变式3：对于函数 f (x)，若存在 x0 ? R，使 f (x0) = x0 成立，则称 x0 为 f (x) 的不动点．如果函数 f (x) = a x 2 + bx + 1（a > 0）有两个相异的不动点 x1、x2．

1

(I)若 x1 < 1 < x2，且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称，求证m > ；

2(II)若 | x1 | < 2 且 | x1－x2 | = 2，求 b 的取值范围．

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10．（北师大版第52页例3）应用

绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料．根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方安：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？

变式1：在抛物线f?x???x?ax与x轴所围成图形的内接

2y矩形(一边在x轴上)中(如图)，求周长最长的内接矩形两边之比，其中a是正实数．

变式2：某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图一；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图二（注：利润和投资单位：万元）

(1) 分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关

系式；

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(2) 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10

万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少元（精确到1万元）？

变式3：设a为实数，记函数f(x)?a1?x2?1?x?1?x的最大值为g(a) ．

1（Ⅰ）求g(a)；（Ⅱ）试求满足g(a)?g()的所有实数a．

a

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二次函数答案

1．（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法

?b??2a?2?a?3?2??4ac?b变式1： 解：由题意可知???1，解得?b??12，故选D．

?c?11?4a??c?11??变式2： 解：由题意可知

b?20?c?1，解得b=0，∴?1，解得c=2． 222变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为f?x???3?x?1??k， 展开得f?x???3x?6x?3?k，

2∴x1?x2?2,x1x2?223?k， 32∴x1?x2??x1?x2??2x1x2?2?3?k?26264?，即4?，解得k?．

933924

所以，该二次函数的图像是由f?x???3?x?1?的图像向上平移 单位得到的，它的解析

3

式是f?x???3?x?1??2452，即f?x???3x?6x?． 332．（北师大版第52页例2）图像特征

2x1?x2b?x1?x2?4ac?b??变式1： 解：根据题意可知，∴ f?，故选D． ??22a4a2??3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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变式2： 解：∵f?1?x??f?1?x?，∴抛物线f?x??x2?px?q的对称轴是x?1，

∴ ?p2?1即p??2， ∴f?x??x2?2x?q，∴f?0??q、f??1??3?q、f?1???1?q， 故有f??1??f?0??f?1?，选C． y

变式3： 解：观察函数图像可得： ① a>0(开口方向)；② c=1(和y轴的交点)；

③ 4a?2b?1?0(和x轴的交点)；④a?b?1?0(f?1??0)； ⑤ b2?4a?0(判别式)；⑥ 1??b2a?2(对称轴)． 3．（人教A版第43页B组第1题）单调性

O

变式1： 解：函数f?x??x2?4ax?2图像是开口向上的抛物线，

其对称轴是x??2a，

由已知函数在区间???,6?内单调递减可知区间???,6?应在直线x??2a的左侧， ∴?2a?6，解得a??3，故选D．

变式2：解：函数f?x??x2??a?1?x?5在区间(12 ,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开

口向上，所以其对称轴x?a?111a2或与直线x??12重合或位于直线x?2的左侧，即应有

2?12，解得a?2，

∴

f?2??4??a?1??2?5?7，即f?2??7．

变式3：解：函数f?x???x2?kx的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是

x?k2， ∵ 已知函数在[2,4]上是单调函数，∴ 区间[2,4]应在直线x?k2的左侧或右侧， 即有

k2?2或k2?4，解得k?4或k?8． 4．（人教A版第43页B组第1题）最值

y

变式1： 解：作出函数f?x??x2?2x?3的图像，

3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！O

x

x

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开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)， ∴m的取值范围是1?m?2，故选C．

变式2： 解：函数有意义，应有?x2?4?0，解得?2?x?2，

∴ 0??x2?4?4 ? 0??x?4?2 ? 0?3?x?4?6， ∴ M=6，m=0，故M + m=6．

22a??变式3： 解：函数f?x?的表达式可化为f?x??4?x????2?2a?． 2??① 当0?2a?2，即0?a?4时，f?x?有最小值2?2a，依题意应有2?2a?3，解得21a??，这个值与0?a?4相矛盾．

2a22②当?0，即a?0时，f?0??a?2a?2是最小值，依题意应有a?2a?2?3，解得

2a?1?2，又∵a?0，∴a?1?2为所求．

③当

a?2，即a?4时，f?2??16?8a?a2?2a?2是最小值， 22依题意应有16?8a?a?2a?2?3，解得a?5?10，又∵a?4，∴a?5?10为所

求．

综上所述，a?1?2或a?5?10． 5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性

222变式1： 解：函数f?x???m?1?x?m?1x?1是偶函数 ? m?1?0 ? m??1，

??当m?1时，f?x??1是常数；当m??1时，f?x???2x?1，在区间???,0上f?x?是

2?增函数，故选D．

变式2：解：根据题意可知应有a?1?2a?0且b?0，即a?1且b?0，∴点?a,b?的坐3标是?,0?．

2变式3： 解：（I）当a?0时，函数f(?x)?(?x)?|?x|?1?f(x)，此时，f(x)为偶函

?1?3??

数；

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当a?0时，f(a)?a2?1，f(?a)?a2?2|a|?1，

f(a)?f(?a)，f(a)??f(?a)，此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．

（II）（i）当x?a时，f(x)?x2?x?a?1?(x?)2?a?若a?

123， 41

，则函数f(x)在(??,a]上单调递减，从而函数f(x)在(??,a]上的最小值2

为f(a)?a2?1．

1131，则函数f(x)在(??,a]上的最小值为f()??a，且f()?f(a)． 22421232（ii）当x?a时，函数f(x)?x?x?a?1?(x?)?a?，

241131若a??，则函数f(x)在(??,a]上的最小值为f(?)??a，且f(?)?f(a)，

22421若a??，则函数f(x)在[a,??)上单调递增，从而函数f(x)在[a,??)上的最小值

2若a?

为f(a)?a2?1．

综上，当a??13时，函数f(x)的最小值为?a； 24112当??a?时，函数f(x)的最小值为a?1；

2213当a?时，函数f(x)的最小值为?a．

246．（北师大版第64页A组第9题）图像变换

变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，

由图像可得单调区间．

2当x?0时，y??x?2x?3???x?1??4， 2当x?0时，y??x?2x?3???x?1??4．

22y

作出函数图像，由图像可得单调区间．

在???,?1?和?0,1上，函数是增函数；在?1,0和?1,???上，函数是减函数．

变式2： 解：若a?1,b?1,则f(x)?|x?2x?1|?x?2x?1，显然不是偶函数，所以①是不

22O x

???3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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正确的；

若a??1,b??4,则f(x)?|x2?2x?4|，满足f(0)?f(2)，但f(x)的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；

若a2?b?0，则f(x)?|x2?2ax?b|?x2?2ax?b，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x?a，∴f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，即③是正确的；

显然函数f(x)?|x?2ax?b|?x?R?没有最大值，所以④是不正确的．

2?x2?bx?c,x?0?变式3： 解：f(x)?x|x|?bx?c??，

2???x?bx?c,x?0(1)当c=0时，f(x)?xx?bx，满足f(?x)??f?x?，是奇函数，所以①是正确的；

2??x?c,x?0(2)当b=0，c>0时，f(x)?xx?c??，

2???x?c,x?0?x2?c?0??x2?c?0方程f(x)?0即? 或? ，

x?0x?0???x2?c?0??x2?c?0显然方程?无解；方程?的唯一解是x??c ，所以② 是正确的；

x?0x?0??(3)设?x0,y0?是函数f(x)?x|x|?bx?c图像上的任一点，应有y0?x0|x0|?bx0?c， 而该点关于（0，c）对称的点是??x0,2c?y0?，代入检验2c?y0??x0|x0|?bx0?c即

?y0??x0|x0|?bx0?c，也即y0?x0|x|0?bx?0c，所以??x0,2c?y0?也是函数

f(x)?x|x?|图像上的点，所以③是正确的； b?xc(4)若b??1,c?0，则f(x)?x|x|?x，显然方程x|x|?x?0有三个根，所以④ 是不正确的．

7．（北师大版第54页A组第6题）值域

变式1： 解：作出函数f(x)??2x?6x??2?x?2?的图象，容易发现在??2,?上是增

22??3??函数，在?,2?上是减函数，求出f(?2)??20，f(2)?4，f()??3?2??

329，注意到函数定义不包23eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！

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含x??2，所以函数值域是??20,??9?． ?2?2

变式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sinx+sinx+1，令t= sinx ? [－1,1]，

则y=－2t2+t+1，其中t? [－1,1]，

99

∴y ? [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]．

88变式3： 解：(I) ∵ f (1 + x) = f (1－x)，

b

∴ － = 1，

2a

又方程 f (x) = x 有等根 ? a x 2 + (b－1) x = 0 有等根， 1 2

∴ △= (b－1) = 0 ? b = 1 ? a = － ，

21

∴ f (x) = － x 2 + x．

2

(II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1， 1? 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数， 1 2

∴ 3m = f (x)min = f (n) = － n + n (*)，

2

1 2

3n = f (x)max = f (m) = － m + m，

2

1

两式相减得：3 (m－n) = － (n 2－m 2) + (n－m)，

2∵ 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解． 2? 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数，

1 2

∴ 3m = f (x)min = f (m) = － m + m，

2

1

3n = f (x)max = f (n) = － n 2 + n，

2∴ m = －4，n = 0．

3? 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 ? [m,n]，

11

∴ 3n = f (x)max = f (1) = ? n = 与 n≥1 矛盾．

26综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件． 8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题

变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R，

? a > 0

∴应有 ? ? a > 1，

? △= 4－4a < 0

∴ 实数 a 的取值范围是(1,+?) ．

(II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x + 2x + 1 能够取 (0,+?) 的所有值．

1? 当 a = 0 时，a x + 2x + 1 = 2x + 1满足要求； 2? 当 a ≠ 0 时，应有?

? a > 0

? 0 < a≤1．

? △= 4－4a ≥0

2

2

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∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．

变式2： 解法一：(转化为最值)

f(x)?2在??2,2?上恒成立，即f(x)?x2?ax?1?a?0在??2,2?上恒成立．

⑴??a?4?1?a??0， ??2?22?a??2?22；

2???a2?4(1?a)?0?f(2)?0??⑵?f(?2)?0，??5?a??22?2． ???a?2或?a??2??22综上所述?5?a?22?2． 解法二：（运用根的分布） ⑴当?a5??2，即a?4时，应有g(a)?f(?2)?7?3a?2， 即a?，?a不存在； 23aa2a?a?3?2， ⑵当?2???2，即?4?a?4时，应有g(a)?f(?)??224即－22?2?a?22?2，??4?a?22?2； ⑶当?a?2，即a??4时，应有g(a)?f(2)?7?a?2，即a??5 ， ??5?a??4 2综上所述?5?a?22?2．

变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos ?) = f (1)≤0，

2

∴ f (1) = 0 ? 1 + b + c = 0 ? b + c = －1， (II) 由 (I) 得： f (x) = x 2－(c + 1) x + c (*)

∵ f (2 + cos ? )≤0 ? (2 + cos ? )－(c + 1) (2 + cos ? ) + c≤0

? (1 + cos ? ) [c－(2 + cos ? )]≥0，对任意 ? 成立． ∵ 1 + cos ? ≥0 ? c≥2 + cos ? ， ∴ c≥(2 + cos ? )max = 3．

(III) 由 (*) 得：f (sin ? ) = sin 2?－(c + 1) sin ? + c，

设 t = sin ? ，则g(t) = f (sin ? ) = t 2－(c + 1) t + c，－1≤t≤1， 这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = 3 + 1

由 (II) 知：t≥ = 2，

2∴ g(t) 在 [－1,1] 上为减函数．

∴ g(t)max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3

c + 1

， 2

2

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∴ b = －c－1 = －4．

9．（北师大版第54页B组第1题）根与系数关系

变式1： 解：二次函数y?ax2?b与一次函数图象y?ax?b交于两点(o,b)、(1,a?b)，由二次函

数图象知a,b同号，而由B,C中一次函数图象知a,b异号，互相矛盾，故舍去B,C．

又由a?b知，当a?b?0时，?与D中图形相符． 变式

2： 解：原命题可变为：求方程mx?3?x2?5mx?4m，

bb此时与A中图形不符，当0?a?b时，??1，???1，

aamx?3?x2?(2m?1)x?m2?3，

“三个方程均无实mx?3?x2?3mx?2m?3中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的m的值，即得所求．

?(4m)2?4(?4m?3)?0,?322解不等式组?(m?1)?4m?0,得 ??m??1，

2?4m2?4(?2m)?0,?3故符合条件的m取值范围是m??或m??1．

2b

变式3： 解：(I) 由 f (x) 表达式得 m = － ，

2a

∵ g(x) = f (x)－x = a x 2 + (b－1) x + 1，a > 0， 由 x1，x2 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x1 < 1 < x2， bb11

∴ g(1) < 0 ? a + b < 0 ? － > 1 ? － > ，即 m > ．

a2a22(II) △= (b－1)－4a > 0 ? (b－1) > 4a，

x1 + x2 =

1－b1

，x1x2 = ， aa

2

2

1－b 24 2 2 2

∴ | x1－x2 | = (x1 + x2)－4x1x2 = ( )－ = 2，

aa

∴ (b－1) 2 = 4a + 4a 2 (*)

又 | x1－x2 | = 2，

1－b

的距离都为1， 2a

要 g(x) = 0 有一根属于 (－2,2)， ∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 则 g(x) 对称轴 x = ∴ －3 <

1－b

? (－3,3)， 2a

b－11

< 3 ? a > | b－1 |， 2a6

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21

把代入 (*) 得：(b－1) 2 > | b－1 | + (b－1) 2，

3917

解得：b < 或 b > ，

44

17

∴ b 的取值范围是：(－?, )∪( ,+?)．

44

10．（北师大版第52页例3）应用

变式1： 解：设矩形ABCD在x轴上的边是BC，BC的长是x(0?a?xa2?x2??a?x?,则B点的坐标为?,0?，A点的坐标为??．

4??2??2设矩形ABCD的周长为P，

?a2?x2?12a21a22则P=2?x????x?2x????x?2???2(04?2222?a2?x2① 若a>2，则当x=2时，矩形的周长P有最大值，这时矩形两边的长分别为2和，

4两边之比为8:a2?4；

??1a22?2无最大值，也就是说周长最大的内接矩形②若0

综上所述，当a>2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:a2?4；当0

变式2： 解：(I) 依题意设 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为

f (x) = kx，g(x) = mx ，

5

由 f (1) = k = 0.25， g(4) = 2m = 2.5 ? m = ，

4

15

∴ f (x) = x（x≥0），g(x) = x ．

44

(II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x 万元，

151565

∴ 企业的利润 y = (10－x) + x = [－(x － ) 2 + ]（0≤x≤10），

44424565

∴ x = ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 ≈4 万元．

216

答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万元． 变式3： 解：设t?1?x?1?x，要使t有意义，必须1?x?0且1?x?0，即?1?x?1，

∵t2?2?21?x2?[2,4]，且t?0??① ∴t的取值范围是[2,2]．

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由①得：1?x2?12t?1， 212at?t?a，t?[2,2]． 21（I）由题意知g(a)即为函数m(t)?at2?t?a，t?[2,2]的最大值，

2当a?0时，m(t)?t，t?[2,2]，有g(a)=2；

11当a?0时，此时直线t??是抛物线m(t)?at2?t?a的对称轴，

a2不妨设m(t)?a(t2?1)?t?∴可分以下几种情况进行讨论：

（1）当a?0时，函数y?m(t)，t?[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段，

121?0知m(t)在t?[2,2]上单调递增，故g(a)?m(2)?a?2； a（2）当a?0时，，函数y?m(t)，t?[2,2]的图象是开口向下的抛物线的一段，

由t??12时，g(a)?m(2)?2， ?(0,2]即a??a211121若t???(2,2]即a?(?， ,?]时，g(a)?m(?)??a?aa2a2211若t???(2,??)即a?(?,0)时，g(a)?m(2)?a?2．

a21?a?2(a??)?2?121?综上所述，有g(a)=??a?,(??a??)．

2a22?2?2(a??)?2?若t??1111

（II）若a>0，则 >0，此时g(a)=g( ) ? a+2= +2 ? a = ?a =1(舍去a=－1)；

aaaa1111

若－

2aa22 11若－

22a

112

此时g(a)=g( ) ? －a－ = 2 ? a=－ (舍去)；

a2a2

2 12 若－2 ≤a≤－ ，则－2 ≤ ≤－ ，

2a21

此时g(a)=g( ) ? 2 =2 恒成立；

a

2 11

若－2≤a<－2 ，则－ < ≤－ ，

2a2

112

此时g(a)=g( ) ? 2 =－a－ ? a=－ (舍去)；

a2a211

若a<－2，则－ < <0，

2a1

此时g(a)=g( ) ? 2 = a+2? a=－2+2 >－2 (舍去) ．

a

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21综上所述，满足g(a)?g()的所有实数a为：?2?a??或a?1．

a2

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/llh5.html