九年级数学分式的运算专题复习 doc

分式的运算专题复习

1、分式的乘法

分式的乘法法则：两个分式相乘，分子的积作为积的分子、分母的积作为积的分母.

bdbd?? 用式子表示为：acac.

进行分式的乘法运算时应注意：

⑴在分式乘法的计算结果中，要进行约分，使结果保留为最简分式. ⑵有些分式在相乘前要先进行因式分解，再约分、最后运算.

3b2a3y2x2?6x?9x2?x3?(?)(?2xz)?(?)?2224a6b4xzx?1x?3. 例1:计算：⑴ ；⑵ ； ⑶

【解析】⑴是两个分式的乘法，只要运用法则就行了；⑵是一个整式与一个分式之间的

乘法运算，我们可以把整式看成是分母为1的分式，再运用法则计算；⑶是分式的分子和分母中都含有多项式，通常要先分解因式，再约分，最后运用法则进行计算.

3b2a3ab2b?(?)????224a6b24ab8a； ⑴

3y22x3z3y26x3y2z3x2y2(?2xz)?(?)????2224xz14xz4xz2z； ⑵

3(x?3)2x(x?1)x(x?1)(x?3)2x(x?3)x2?3x?????(x?1)(x?1)x?3(x?1)(x?1)(x?3)x?1x?1. ⑶原式

2、分式的除法

分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.

bdbcbc????acadad. 用式子表示为：

分式的除法与分数的除法相类似，当分式相除时，被除式不变，除式将分子、分母颠倒

位置，将除法转化为乘法.

22x2?2xy?y2xy?y2a?b2?2(ab?b)?22xy?yx?2xy?ya?b. 例2:计算：⑴；⑵

【解析】⑴、⑵两题都是考查了分式的除法运算，我们往往把除法转化为乘法，再根据

乘法法则进行运算.

x2?2xy?y2xy?y2(x?y)2(x?y)2x2?y2?2???222xy?yx?2xy?yy(x?y)y(x?y)y ⑴；

a?ba2?b2?b(a?b)??b(ab?b)?(a?b)(a?b)a?b⑵.

2

x2?1x?11?x??2 例3:计算：x?2x?1x?1x?1，下列解答过程是否正确？若正确，请写出每一

步的依据；若不正确，请指出错误的原因，并纠正.

(x?1)(x?1)1?x?(?1)?(x?1)21?x 解：原式

? 【研析】本题属于分式的乘除混合运算，分式的乘除混合运算法则与有理数的乘除混合

运算法则一样，对同级运算，应按从左至右的顺序进行，本题应先把除法转化为乘法，再进行运算.因此本题的解答过程是错误的.错因是只看到能约分就约分，而忽视了要先把除法运算转化为乘法运算，然后按从左到右的顺序进行运算.正确的解答过程如下：

(x?1)(x?1)x?11?x1?x???2(x?1)1?xx?11?x 原式

? 3、分式的乘方

分式的乘方法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方.

anan()?nb，其中n是正整数. 用式子表示为:bb2b2()?a； ⑴分式乘方时，一定要把分式加上括号.如：a ⑵分式乘方时，分式本身的符号也要同时乘方；

b?c2b2?c2()?aa这样的错误. ⑶当分子、分母是多项式时，应避免出现类似

2xy?y4b123876(?)?(?)?(?)(?a)?(?)?(?)2xx ab；⑵y 例4:计算：⑴

【解析】本题考查的知识点是分式的乘除、乘方混合运算.在计算过程中，如果既有乘

除运算，又有乘方运算时，要先对分式进行乘方，再把除法转化为乘法来进行计算.运算的顺序是先乘方，再乘除.在进行乘方运算时，除了要把分式的分子、分母分别乘方外，还要注意乘方中的符号问题.

b716b71b7188(?a)?(?)?(?)?(?a)?(?7)?6?a?7?6?abababab ⑴；

8x2y23?y4x2y6y4x2y6x4x3(?2)?(?)?(?)?4?(?3)?4?4?(?3)?4??2yxxyxxyxyy. ⑵

4、同分母的分式加减法

同分母的分式加减法的法则是：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减。 加减运算的结果必须化成最简分式或整式

aba?b??ccc. 用式子表示为：

法则的理解：⑴法则中“分子相加减”就是把各个分式的分子作为整体相加减，即各个分子都有括号.当分子是单项式时，括号一般可以省略；当分子是多项式时，尤其是减法时，括号不能省略.

⑵法则中“分母不变”就是加减时所取的分母是原分式中的分母.

235x?33x?11??1?x. 例5:计算：⑴a?b?b?a；⑵x?1 【解析】:只要分式的分母相同，我们就可以利用同分母分式的加减法则进行计算.有时

我们看到分式的分母表面上是不相同的，但实质是相同的.像⑴中的（a-b）和(-b+a)；还有像⑵中的(x-1)和(1-x)，它们是互为相反数，这时我们可以利用分式的基本性质改变分母的符号，使分式的分母化为相同.同时，我们还要注意把结果化为最简分式或整式.

23232?35????? ⑴ a?b?b?aa?ba?ba?ba?b.

5x?33x?115x?33x?115x?33x?11(5x?3)?(3x?11)??????x?11?xx?1?(x?1)x?1x?1x?1 ⑵ 5x?3?3x?118x?88(x?1)???8x?1x?1x?1 .

? 5、异分母的分式加减法

异分母的分式加减法的法则是：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.

acadbcad?bc????bd. 用式子表示为：bdbdbd

异分母分式加减法的一般步骤：

①通分,将异分母分式化为同分母的分式. ②写成“分母不变，分子相加减”的形式. ③分子去括号，合并同类项.

④分子、分母约分，将结果化为最简分式或整式.

5c7abx?21x?4????22222 例6:计算：⑴6ab8bc12ac；⑵x?4x?42x?42x?8.

【解析】:对异分母的分式相加减，应首先对分母进行通分，将异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减，然后利用同分母的分式加减法的法则进行计算.

5c7ab5c?4bc7a?3a2b?2b220bc2?21a3?2b3?2?????22222222226ab8bc12ac24abc24abc24abc24abc ⑴ x?21x?4x?21x?4????222(x?2)2(x?2)2(x?2)(x?2) x?4x?42x?42x?8 ⑵=

2(x?2)2(x?2)2(x?4)(x?2)??2222(x?2)(x?2)2(x?2)(x?2)2(x?2)(x?2) =

2x2?8x?8x2?4x?4x2?2x?8??222 =2(x?2)(x?2)2(x?2)(x?2)2(x?2)(x?2) (2x2?8x?8)?(x2?4x?4)?(x2?2x?8)22(x?2)(x?2) =

10x?125x?622(x?2)(x?2). 2(x?2)(x?2) ==

6、分式的混合运算

分式混合运算的顺序为：分式的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号内的． 运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等，运算结果必须是最简分式或整式．

x?1x?1x?)?2x?1. 例7:计算：x?1x?1( 【解析】本题考查的是分式的混合运算.分式的混合运算应先算乘除，再算加减，有括

号的先算括号内的.但本题也可以先把除法转化为乘法再运用分配律进行计算.

x?1x?1x?)?2x?1 解法一：x?1x?1(4x(x?1)(x?1)(x?1)2?(x?1)2x2?1??xx=(x?1)(x?1) =(x?1)(x?1)=4. x?1x?1xx?1x?1(x?1)(x?1)?)?2?(?)?x?1x?1x?1x 解法二：x?1x?1

(?

x?1x(?1x)?(x1?)x?1x?(???x?1xx?1x1)(

1)(x?1)2(x?1)2x2?2x?1?x2?2x?14x????x?4. xxx

a2?a?ba?b 例8:化简：.

【解析】:这是一道分式与整式的混合运算题.我们可以将整式看成分母为1来参与运算.

在运算过程中一定要注意符号的变化.

2a2a2?aba(?a)2b?2(?a?a?b?????a?b1a?ba?ba?b a?b)a?2b?2a?ba2b.

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