九年级数学中考复习-抛物线与存在性问题1

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抛物线与存在性-1

一、解答题（共30小题）

1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．

（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax2+bx+c的顶点是P点． ①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围； ②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由． 2、（2000?甘肃）已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于M，N两点（点N在点M的右

2侧），并且M和N两点的横坐标分别是方程x﹣2x﹣3=0的两根，点K是抛物线与y轴的交点，∠MKN不小于90度．

（1）求点M和N的坐标； （2）求系数a的取值范围；

（3）当y取得最大值时，抛物线上是否存在点P，使得有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

？若存在，请求出所

3、（2000?内江）如图，在直角坐标系xoy中，以原点为圆心的⊙O的半径是

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，过A（0，4）

作⊙O的切线交x轴于点B，T是切点，抛物线y=ax+bx+c的顶点为C（3，﹣），且抛物线过A、B两点． （1）求此抛物线的解析式；

（2）如果此抛物线的对称轴交x轴于D点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BCD∽△OPB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

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4、（2001?哈尔滨）已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标分别为﹣1和3，与y轴交点C的纵坐标为3，△ABC的外接圆的圆心为点M． （1）求这条抛物线的解析式；

（2）求图象经过M、A两点的一次函数解析式；

（3）在（1）中的抛物线上是否存在点P，使过P、M两点的直线与△ABC的两边AB、BC的交点E、F和点B所组成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5、（2001?山东）已知，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点P（1，﹣2）、Q（﹣1，2），且与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，与y轴交于C点，连接AC、BC． （1）求a与c的关系式；

（2）若（O为坐标原点），求抛物线的解析式；

（3）是否存在满足条件tan∠CAB?cot∠CBA=1的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 6、（2001?温州）己知：抛物线y=x2﹣（k+1）x+k

（1）试求k为何值时，抛物线与x轴只有一个公共点；

（2）如图，若抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似．若存在，求出相应的k的值；若不存在，请说明理由．

7、（2001?无锡）已知直线y=﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别将于交于点C和点E，过E点的抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，

（1）如果△CDE恰为等边三角形．求b的值；

（2）设抛物线交y=ax2+bx+c与x 轴的两个交点分别为A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），问是

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否存在这样的实数m，使∠AEC=90°？如果存在，求出此时m的值；如果不存在，请说明理由． 8、（2002?鄂州）已知抛物线y=mx2﹣2mx+4m﹣与x轴的两个交点的坐标为A（x1，0），B（x2，0）（xl＜x2），且x12+x22=34． （1）求m，x1，x2的值；

（2）在抛物线上是否存在点C，使△ABC是一个顶角为120°的等腰三角形？若存在，请求出所有点C的坐标；若不存在，请说明理由．

9、（2002?贵阳）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4，﹣），且在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求二次函数的解析式；

（2）设抛物线与y轴的交点为D，求四边形DACB的面积；

（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PAC被x轴平分，如果存在，请求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由．

10、（2002?广西）已知抛物线y=﹣x2+2mx+4． （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； （2）设抛物线与x轴相交于A、B两点，且，求抛物线的函数解析式，并画出它的图象；

（3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使∠APB等于90°？如果不存在，请说明理由；如果存在，先找出点P的位置，然后再求出点P的坐标．

11、（2002?内江）如图，一次函数y=﹣x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点Q，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C，其图象过A、Q两点，并与x轴交于另一个点B（B点在A点左侧），△ABC三内角∠A、∠B、∠C的对边为a，b，c．若关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）=0有两个相等实数根，且a=b；

（1）试判定，△ABC的形状；

（2）当时求此抛物线的解析式；

（3）抛物线上是否存在点P，使S△ABP=S四边形ACBQ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

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12、（2002?泸州）已知：抛物线y=ax+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A（x1，0），b（x2，

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0）（x1＜x2），顶点M的纵坐标是﹣4．若x1，x2是方程x﹣2（m﹣1）+m﹣7=0的两个实数根，且x12+x22=10．

（1）求A、B两点的坐标； （2）求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍？若存在，求出所有合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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13、（2002?青海）如图，已知二次函数y=ax+bx+c的图象经过原点O，并且与一次函数y=kx+4的图象相交于A（1，3），B（2，2）两点． （1）分别求出一次函数、二次函数的解析式；

（2）若C为x轴上一点，问：在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△COD=在，请求出所有满足条件的D点坐标；若不存在，请说明理由．

S△OCB？若存

14、（2002?山西）已知：抛物线y=ax2+bx与x铀的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．

（1）证明：△OAB为等边三角形；

（2）若△OAB的内切圆半径为1，求出抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否存在点P，使△POB是直角三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15、（2002?武汉）已知抛物线交y轴于C点，且x1＜0＜x2，（AO+OB）2=12CO+1．

交x轴于A（x1，0）、B（x2，0），

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（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由． 16、（2002?无锡）已知直线y=kx﹣4（k＞0）与x轴和y轴分别交于A、C两点；开口向上的抛物线y=ax2+bx+c过A、C两点，且与x轴交于另一点B．

（1）如果A、B两点到原点O的距离AO、BO满足AO=3BO，点B到直线AC的距离等于，求这条直线和抛物线的解析式． （2）问是否存在这样的抛物线，使得tan∠ACB=2，且△ABC的外接圆截y轴所得的弦长等于5？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．

17、（2002?乌鲁木齐）已知抛物线y=x﹣x+2． （1）确定此抛物线的对称轴方程和顶点坐标；

（2）如图，若直线l：y=kx（k＞0）分别与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y=﹣x+4相交于点P，试证=2；

（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B两点的纵坐标之和等于4？如果存在，求出k值；如果不存在，请说明理由．

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18、（2003?北京）已知：抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个交点为A（﹣1，0） （1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； （2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；

（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19、（2002?浙江）已知抛物线过A（﹣2，0）、B （1，0）、C（0，2）三点， （1）求这条抛物线的解析式； （2）在这条抛物线上是否存在点P，使∠AOP=45°？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20、（2002?浙江）以x为自变量的二次函数y=﹣x2+2x+m，它的图象与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B，点A在点B的左边，点O为坐标原点，

（1）求这个二次函数的解析式及点A，点B的坐标，画出二次函数的图象；

（2）在x轴上是否存在点Q，在位于x轴上方部分的抛物线上是否存在点P，使得以A，P，Q三点为顶点的三角形与△AOC相似（不包含全等）？若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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21、（2002?漳州）已知一元二次方程﹣x2+bx+c=0的两个实数根是m，4，其中0＜m＜4． （1）求b、c的值（用含m的代数式表示）；

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（2）设抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．若点D的坐标为（0，﹣2），且AD?BD=10，求抛物线的解析式及点C的坐标；

（3）在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使得PC=PD？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

22、（2003?长沙）设抛物线C的解析式为：y=x2﹣2kx+（+k）k，k为实数． （1）求抛物线的顶点坐标和对称轴方程（用k表示）；

（2）任意给定k的三个不同实数值，请写出三个对应的顶点坐标；试说明当k变化时，抛物线C的顶点在一条定直线L上，求出直线L的解析式并画出图象；

（3）在第一象限有任意两圆O1、O2相外切，且都与x轴和（2）中的直线L相切．设两圆在x轴上的切点分别为A、B（OA＜OB），试问：是否为一定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；

（4）已知一直线L1与抛物线C中任意一条都相截，且截得的线段长都为6，求这条直线的解析式． 23、（2003?福州）已知：如图，二次函数y=2x2﹣2的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，直线x=m（m＞1）与x轴交于点D． （1）求A、B、C三点的坐标；

（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；

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（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x﹣2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

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24、（2003?哈尔滨）已知：抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最高点的纵坐标为4，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若△ABC的外接圆⊙O’交y轴不同于点c的点D’，⊙O’的弦DE平行于x轴，求直线CE的解析式；

（3）在x轴上是否存在点F，使△OCF与△CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标，并判定直线CF与⊙O’的位置关系（要求写出判断根据）；若不存在，请说明理由． 25、（2003?汕头）已知抛物线y=﹣x+（m+3）x﹣（m﹣1）． （1）求抛物线的顶点坐标（用m表示）； （2）设抛物线与x轴的两个交点为A（x1，0）、B（x2，0），与y轴交点为C，若∠ABC=∠BAC，求m的值；

（3）在（2）的条件下，设Q为抛物线上的一点，它的横坐标为1，试问在抛物线上能否找到另一点P，使PC⊥QC？若点P存在，求点P的坐标；若点P不存在，请说出理由．（请在右方直角坐标系中作出大致图形）

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26、（2003?山西）如图，已知圆心A（0，3），⊙A与x轴相切，⊙B的圆心在x轴的正半轴上，且⊙B与⊙A外切于点P，两圆的公切线MP交y轴于点M，交x轴于点N．

（1）若sin∠OAB=，求直线MP的解析式及经过M、N、B三点的抛物线的解析式．

（2）若⊙A的位置大小不变，⊙B的圆心在x轴的正半轴上移动，并使⊙B与⊙A始终外切，过M作⊙B的切线MC，切点为C，在此变化过程中探究： ＜1＞四边形OMCB是什么四边形，对你的结论加以证明．

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＜2＞经过M、N、B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形？若存在，表示出来；若不存在，说明理由．

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27、（2003?武汉）已知：二次函数y=x﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，且满足． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）是否存在着直线y=kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k、b应满足的条件；若不存在，请说明理由． 28、（2003?无锡）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，又此抛物线交y轴于点C，连AC、BC，且满足△OAC的面积与△OBC的面积之差等于两线段OA与OB的积（即S△OAC﹣S△OBC=OA?OB） （1）求b的值；

（2）若tan∠CAB=，抛物线的顶点为点P，是否存在这样的抛物线，使得△PAB的外接圆半径为？若存在，求出这样的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 29、（2003?泰州）已知：如图，抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴的两个交点M、N在原点的两侧，点N在点M的右边，直线y1=﹣2x+m+6经过点N，交y轴于点F． （1）求这条抛物线和直线的解析式．

（2）又直线y2=kx（k＞0）与抛物线交于两个不同的点A、B，与直线y1交于点P，分别过点A、B、P作x轴的垂线，垂足分别是C、D、H． ①试用含有k的代数式表示；

②求证：．

（3）在（2）的条件下，延长线段BD交直线y1于点E，当直线y2绕点O旋转时，问是否存在满足条件的k值，使△PBE为等腰三角形？若存在，求出直线y2的解析式；若不存在，请说明理由． 8

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30、（2004?长春）已知二次函数y=x﹣8x+15的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C．请结合这个函数的图象解决下列问题： （1）求△ABC的面积；

（2）点P在这个二次函数的图象上运动，能使△PAB的面积等于1个平方单位的P点共有多少个？请直接写出满足条件的P点坐标；

（3）在（2）中，使△PAB的面积等于2个平方单位的P点是否存在？如果存在，写出P点的个数；如果不存在，请说明理由．

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答案与评分标准

一、解答题（共30小题）

1、已知：矩形ABCD（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y=x﹣1经过这两个顶点中的一个．

（1）求出矩形的顶点A、B、C、D的坐标；

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（2）以AB为直径作⊙M，经过A、B两点的抛物线，y=ax+bx+c的顶点是P点． ①若点P位于⊙M外侧且在矩形ABCD内部，求a的取值范围； ②过点C作⊙M的切线交AD于F点，当PF∥AB时，试判断抛物线与y轴的交点Q是位于直线y=x﹣1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由． 考点：二次函数综合题。 分析：（1）首先建立平面直有坐标系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，设A（m0）（m＞0），则有B（m+30）；C（m+32），D（m，2）；然后若C点过y=x﹣1与C点不过y=x﹣1分析，即可求得矩形的顶点A、B、C、D的坐标； （2）⊙M以AB为直径，即可求得M点的坐标，又由y=ax2+bx+c过A（2，0）和B（5，0）两点，利用待定系数法即可求得二次函数的图象，然后顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部，即可求得a的取值范围；

②首先设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF=n，n＞0；由AD、BC、CF均为⊙M切线，求得CF与DF的长；在Rt△DCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐标，然后由当PF∥AB时，求得抛物线的解析式与抛物线与y轴的交点Q的坐标，则可得Q在直线y=x﹣1下方．

解答：解：（1）如图，建立平面直有坐标系， ∵矩形ABCD中，AB=3，AD=2， 设A（m0）（m＞0），则有B（m+30）；C（m+32），D（m，2）； 若C点过y=x﹣1；则2=（m+3）﹣1， m=﹣1与m＞0不合；

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