广东省佛山市2022届数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

广东省佛山市2022届数学高二第二学期期末学业水平测试试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．甲、乙、丙、丁四人参加驾校科目二考试，考完后，甲说：我没有通过，但丙已通过；乙说：丁已通过；丙说：乙没有通过，但丁已通过；丁说：我没有通过．若四人所说中有且只有一个人说谎，则科目二考试通过的是（）

A．甲和丁B．乙和丙C．丙和丁D．甲和丙

【答案】C

【解析】

【分析】

逐一验证，甲、乙、丙、丁说谎的情况，可得结果.

【详解】

若甲说谎，

则可知丁通过，但丁说没通过，故矛盾

若乙说谎

则可知丁没有通过，但丙说丁通过，故矛盾

若丙说谎

则可知丁通过，但丁说没有通过，故矛盾

若丁说谎，则可知丙、丁通过了科目二

所以说谎的人是丁

故选：C

【点睛】

本题考查论证推理，考验逻辑推理以及阅读理解的能力，属基础题.

2．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没底面半径为2cm的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（）

A．4

3cm B．

3

16

cm C．34cm D．13cm

【答案】D

【解析】

【分析】

利用等体积法求水面下降高度。【详解】

球的体积等于水下降的体积即4

3

π32

12h

π

?=??，

1

3

h=．答案：D．

【点睛】

利用等体积法求水面下降高度。

3．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）

A．34 种B．35 种C．120 种D．140 种

【答案】A

【解析】

分析：根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．

详解：分3步来计算，

①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；

②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，

③根据排除法，可得符合题意的选法共35-1=34种；

故选A．

点睛：本题考查计数原理的运用，注意对于本类题型，可以使用排除法，即当从正面来解所包含的情况比较多时，则采取从反面来解，用所有的结果减去不合题意的结果．

4．若6名男生和9名女生身高（单位：cm）的茎叶图如图，则男生平均身高与女生身高的中位数分别为( )

A．179，168 B．180，166 C．181，168 D．180，168

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平均数和中位数的定义即可得出结果.

【详解】

6名男生的平均身高为173176178180186193

181

6

+++++

=,

9名女生的身高按由低到高的顺序排列为162，163，166，167，168，170，176，184，185，故中位数为168.

故选:C.

【点睛】

本题考查由茎叶图求平均数和中位数,难度容易.

5．设在内单调递增；.则是的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】 试题分析：由在内单调递增，得在上恒成立，只需，即，命题等价于命题：，是的充分必要条件，故选C . 考点：1、充分条件与必要条件；2、利用导数研究函数的单调性.

6．函数()e e ||

--=x x f x x 的图像大致为（ ） A ． B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用函数解析式求得()10f <,结合选项中的函数图象，利用排除法即可得结果.

【详解】

因为函数()e e x x

f x x

--=， 所以()11e e 11f --=10e e

=-<，选项,,A B C 中的函数图象都不符合， 可排除选项,,A B C ，故选D.

【点睛】

本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，

根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-

→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.

7．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A ． B ． C ． D ．

【答案】A

【解析】

分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.

8．已知曲线()322f x x ax =-+在点()()1,1f 处切线的倾斜角为34

π，则a 等于（ ） A ．2 B ．-2 C ．3 D ．-1

【答案】A

【解析】因为()2

32f x x ax '=-，所以()132f a '=-，由已知得321a -=-，解得2a =，故选A. 9．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =

A ．12-

B ．10-

C ．10

D ．12 【答案】B

【解析】

分析：首先设出等差数列{}n a 的公差为d ，利用等差数列的求和公式，得到公差d 所满足的等量关系式，从而求得结果3d =-，之后应用等差数列的通项公式求得51421210a a d =+=-=-，从而求得正确结果.

详解：设该等差数列的公差为d ， 根据题中的条件可得32433(32)224222

d d d ???+?=?++?+?， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B.

点睛：该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，

结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d 和的关系，从而求得结果.

10．已知i 是虚数单位，则11z i =

-在复平面内对应的点位于 A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 【答案】A

【解析】

【分析】

分子分母同时乘以()1i +，化简整理，得出z ，再判断象限．

【详解】 11i 12z i +==-，在复平面内对应的点为（1122

，），所以位于第一象限．故选A ． 【点睛】

本题考查复数的基本运算及复数的几何意义，属于基础题.

11．已知函数()sin cos (0,0)f x a x x a ωωω=+>>，周期为π，给出以下结论： ①()f x 的图象过点(0,1)； ②()f x 在5,88ππ?????

?上单调递减；

③()f x 的一个对称中心是8π? ?； ④()f x 的一条对称轴是38x π=-． 其中正确结论的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 【答案】C

【解析】

【分析】

运用三角函数的辅助角公式和周期公式，可得a ，ω，再由正弦函数的单调性和对称性，计算可得正确结论的个数．

【详解】

函数()(0,0)f x asin x cos x a ωωω=+>>，周期为π，

，可得1a =，2ππω=

可得2ω=，

则()2224f x sin x cos x x π??=+=

+ ???，

则()014f π

==，①正确；

当5,88x ππ??∈????，可得32,422x πππ??+∈????， 可得()f x 在5,88ππ???

???上单调递减，②正确； 由2sin 2844f πππ????=+= ? ?????

，则③错误； 由332sin 2844f πππ????-=-+=- ? ????

?， 可得④正确．

其中正确结论的个数为1．

故选：C ．

【点睛】

本题考查三角函数的图象和性质，注意运用辅助角公式和周期公式，考查正弦函数的单调性和对称性，考查运算能力，属于中档题．

12．已知1y x i i

=+-，其中x 、y 是实数，i 是虚数单位，则复数x yi +的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 【答案】D

【解析】

【分析】

由1y x i i

=+-得()11y x x i =++-，根据复数相等求出x y ，的值，从而可得复数x yi +的共轭复数，得到答案.

【详解】

由1y x i i

=+-有()()()111y i x i x x i =-+=++-，其中x 、y 是实数. 所以110x y x +=??-=?，解得12x y =??=?

，所以1+2x yi i += 则复数x yi +的共轭复数为12i -，则12i -在复平面内对应的点为()1

2-，. 所以复数x yi +的共轭复数对应的点位于第四象限.

故选：D

【点睛】

本题考查复数的运算和根据复数相等求参数，考查复数的概念，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题

13．设正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为．现从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，这两条棱

互相垂直的概率为________． 【答案】

【解析】

从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，有15种选法，因为正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为，易知其中两条棱互相垂直的选法共有6种，所以所求概率为 14．已知函数()2,0cos ,03x x f x x x π-?≤?=???-> ???

??，则()2f f =????________. 2

【解析】

【分析】 推导出221(2)cos cos cos 3332f πππ??=-==-=- ???,从而1[(2)]2f f f ??=- ???

,由此能求出结果. 【详解】

函数()2,0cos ,03x x f x x x π-?≤?=???-> ???

?? 221(2)cos cos cos 3332f πππ??∴=-==-=- ???, 121[(2)]222f f f ??=-== ???

故答案为2.

【点睛】

本题考查分段函数函数的求法,考查学生理解辨析的能力,难度容易.

15．某大学宿舍三名同学A ，B ，C ，他们来自北京、天津、上海三个不同的城市，已知C 同学身高比来自上海的同学高；A 同学和来自天津的同学身高不同；B 同学比来自天津的同学高，则来自上海的是________同学.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意确定天津的同学，再确定上海的同学即可

【详解】

由于A 同学，B 同学都与C 同学比较，故C 同学来自天津；

B 同学比来自天津的同学高，即比

C 同学高；而C 同学身高比来自上海的同学高，故来自上海的是A 同学

【点睛】

本题考查三者身份推理问题，总会出现和两个人都有关系的第三方，确定其身份是解题关键 16．欧拉在1748年给出的著名公式cos sin i e i θθθ=+(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中,底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式cos sin i e i θθθ=+，任何一个复数()cos sin z r i θθ=+，都可以表示

成i z re θ=的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数32122,i i z e z e ππ

==，则复数12z z z =在复平面内对应的点在第________象限．

【答案】四

【解析】

【分析】

由欧拉公式求出121,2z z i ==，再由复数的乘除运算计算出z ，由此求出复数12z z z =

在复平面内对应的点在几象限．

【详解】

因为cos sin i e i θθθ=+

，所以312cos sin 1332i z i e

πππ??==+=+ ???，222cos sin 222i z i e i π

ππ??==+= ??

?

所以21221122222z i i z i z i i +-=====--，则复数12z z z =

在复平面内对应的点2

21??- ? ???在第四象限．

【点睛】

本题考查复数的基本计算以及复数的几何意义，属于简单题．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数()cos(2)f x x ?=+．

（1）若函数()f x 为奇函数，?∈(0，π)，求?的值；

（2）若?＝3π，()2

f α＝13，α∈(0，2π)，求()f α的值． 【答案】（1）2?π=；（2

【解析】

【分析】

（1）根据函数为奇函数得()0cos 0f ?==，根据?的范围即可求得结果；（2）利用已知函数值和?可得：1cos 33πα??+= ??

?，利用同角三角函数可求得sin 3πα??+ ???；利用二倍角公式求得sin 23πα??+ ???和cos 23πα??+ ???，将()f α整理为cos 233ππα????+- ????

???，利用两角和差余弦公式求得结果. 【详解】

（1）()f x 为奇函数 ()0cos 0f ?∴==

又()0,?π∈ 2π?∴=

当2?π=时，()cos 2sin 22f x x x π??=+=- ??

?是奇函数，满足题意 2

π?∴= （2）3π?=，123f α??= ??? 1cos 33πα??∴+= ??

?

又0,2πα??∈ ??? 5,336πππα??∴+∈ ??? sin 33πα??∴+= ???

sin 22sin cos 333πππααα??????∴+=++= ? ? ??????? 22

2217cos 2cos sin 333339πππααα?????????+=+-+=-=- ? ? ? ? ?????????? ()cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 3333333f πππππππααααα??????????∴=+=+-=+++ ? ? ? ??????

???????

71929=-?+= 【点睛】

本题考查根据奇偶性求解函数解析式、三角恒等变换和同角三角函数的求解，涉及到二倍角、两角和差余弦公式的应用，关键是能够通过配凑的方式，将所求函数值转化为两角和差的形式. 18．已知曲线C 的极坐标方程为222364cos 9sin ρθθ

=+ （1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 的直角坐标方程；

（2）若(,)P x y 是曲线C 上一个动点，求21x y ++的最大值，以及取得最大值时P 点的坐标.

【答案】（1）22

194x y +=.（2）最大值为6，98,55P ?? ???

. 【解析】

【分析】

(1)利用极坐标化直角坐标的公式求解即可;(2)设(3cos ,2sin )P θθ利用三角函数图象和性质解答得解.

【详解】

(1)把曲线C 的极坐标方程为2

22364cos 9sin ρθθ=+,化为直角坐标方程为22194x y +=; (2)化出曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ=??=?

(θ为参数). 若(,)P x y 是曲线C 上的一个动点,则(3cos ,2sin )P θθ,

可得21=3cos 4sin 15sin()+1x y θθθ?++++=+

,其中34sin ,cos 55

??=

=,故当sin()1θ?+=时, 21x y ++取得最大值为6,此时,=2πθ?+,4sin cos 5

θ?==, 3cos sin 5θ?==, 98,55P ??∴ ???

. 【点睛】

本题主要考查极坐标和直角坐标方程的互化,考查三角函数的恒等变换和最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,难度一般.

19．已知函数()ln f x x a x =-，a R ∈（）

. （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程；

（2）设1()a g x x

+=-，若不等式()()f x g x >对任意[]1e x ∈，恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）20x y +-=；（2）2e 1(2)e 1

+--，． 【解析】

【分析】

(1)把a=2代入原函数解析式中，求出函数在x=1时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；(2)

设()()()h x f x g x =-= 1ln a x a x x

++-,即h(x)>0恒成立，对函数求导，分1a e ≥-，0a ≤，01a e <<-三种情况得到函数单调性，进而得到结果.

【详解】

（1）当2a =时，()2ln f x x x =-，()11f =，切点为()1,1， ()21f x x

∴=-'， ()1121k f ∴==-=-'，

∴曲线()y f x =在点

处的切线方程为()11y x -=--， 即20x y +-=.

（2）设()()()h x f x g x =-= 1ln (0)a x a x x x

++->， ()21'1a a h x x x +=--= ()()()222

111x x a x ax a x x ??+-+--+??=， 不等式()()f x g x >对任意[]1,x e ∈恒成立，

即函数()1ln a h x x a x x

+=+-在[]1,e 上的最小值大于零. ①当1a e +≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]

1,e 上单调递减， ∴ ()h x 的最小值为()h e ，

由()10a h e e a e +=+->可得211

e a e +<-， 211

1

e e e +>--， ∴ 2111

e e a e +-≤<-. ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在[]

1,e 上单调递增， ∴ ()h x 最小值为()1h ，

由()1110h a =++>可得2a >-，即20a -<≤.

③当11a e <+<，即01a e <<-时，可得()h x 最小值为()1h a +，

()0ln 11a <+<，

∴ ()0ln 1a a a <+<，

故()()12ln 12h a a a a +=+-+>.即01a e <<-，

综上可得，a 的取值范围是2e 12e 1??+- ?-??

，. 【点睛】

导数问题经常会遇见恒成立的问题：

（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；

（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ?<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值） .

20．近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP 中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价.现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22?列联表如下：

对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评

100 30 130 对车辆状况不满意

40 30 合计 140 60 200

（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？

（2）为了回馈用户，公司通过APP 向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的 三种骑行券.用户每次使用APP 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15

，且各次获取骑行券的结果相互独立.若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.

参考数据：

2()P K k ≥ 0.150 0.100

0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072

3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：2

2()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 【答案】 (1) 在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.

(2)分布列见解析；EX =1.8（元）.

【解析】

试题分析：（1）由题意求得2K 的值，然后即可确定结论；

（2）由题意首先求得分布列，然后求解数学期望即可．

试题解析

（1）由22?列联表的数据，有

()()()()()2

n ad bc a b c d a c b d -=++++ ()2

200300012001406070130-=???

2

20018146713

?=??? 54008.4810.828637=≈<. 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系.

（2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为

310.X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4. ∵()239010100

P X ??=== ???，()121P X C == 13321010?=， ()1

22P X C == 2131375102100

???+= ???，()123P X C == 111255?=， ()2114525P X ??=== ???

， ∴X 的分布列为：

X 的数学期望为1210100EX =?

+? 34 1.8525

+?+?=（元）. 21．已知函数()()21ln 12g x a x x b x =++-. （1）若()g x 在点1,1g 处的切线方程为8230x y --=,求,a b 的值;

（2）若121,,b a x x =+是函数()g x 的两个极值点,试比较4-与()()12g x g x +的大小.

【答案】（1）1,1a b ==-； （2）()()124g x g x +<-.

【解析】

【分析】

（1）先求得切点的坐标，然后利用切点和斜率列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）将()g x 转化为只含有a 的式子.对函数()g x 求导，利用二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围并利用韦达定理写出

12,x x 的关系式.化简()()12g x g x +的表达式，并利用构造函数法求得()()128ln212g x g x +<-.用差比较法比较出8ln212-与4-的大小关系.

【详解】

（1）根据题意可求得切点为51,2?? ???

,由题意可得,()()'1a g x x b x =++-, ∴()()512'14g g ?=???=?

,即15122114b a b ?+-=???++-=?,解得1,1a b ==-.

（2）∵1b a =+,∴()21ln 2g x a x x ax =+-,则()'a g x x a x

=+-. 根据题意可得20x ax a -+=在()0,∞+上有两个不同的根12,x x . 即20

2400a a a a ?>??->??>??

,解得4a >,且1212,x x a x x a +==.

∴()()()()()2221212121211ln ln 22g x g x a x x x x a x x a a a a +=+

+-+=--. 令()21ln (4)2

f x x x x x x =-->,则()'ln 11ln f x x x x x =+--=-, 令()ln h x x x =-,则当4x >时,()1'10h x x

=-<, ∴()h x 在()4,∞+上为减函数,即()()()4ln440,'0h x h f x <=-<<即,

∴()f x 在()4,∞+上为减函数,即()()48ln212f x f <=-,

∴()()128ln212g x g x +<-,

又∵()()228ln21248ln288ln218ln

,ln 0e e 而---=-=-=<, ∴28ln 0e

<,即8ln2124-<-, ∴()()124g x g x +<-.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求解有关切线方程的问题，考查利用导数研究函数的极值点问题，难度较大. 22．已知函数2()3ln .f x x x x =--

(1)求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；

(2)求()f x 在1

[,3]2上的最大值与最小值。

【答案】（1）22y x =-+；（2）63ln3-

【解析】

【分析】

（1）利用导数求出()1f '的值，作为切线的斜率，并计算出()1f ，再利用点斜式写出切线的方程； （2）利用导数分析函数()y f x =在区间1,32

??????上的单调性，并求出极值，再与端点值比较大小，即可得出函数()y f x =在区间1,32??????上的最大值和最小值。

【详解】

（1）()2

3ln f x x x x =--，()()2323210x x f x x x x x --∴=--=>， 所以，函数()y f x =的图象在点()()

1,1f 处的切线的斜率为()12k f ='=-， ()10f =，所以，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为()21y x =--，

即22y x =-+；

（2）()()()212323x x x x f x x x

+---∴==，1,32x ??∈????。 当13,22x ??∈ ???

时，()0f x '<；当3,32x ??∈ ???时，()0f x '>。 所以，()min 3333ln 242f x f ??==-

???， 因为113ln 224f ??=-+ ???

，()363ln3f =-， 所以，()2111363ln 663ln 0244f f e ??-=->-> ???，则()132f f ??> ???

， 所以，函数()y f x =在1

,32??????上的最大值为63ln3-。

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题。

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