2019届高考高三理科数学一轮复习：参数方程和极坐标（方法总结与题型演练）

2019届高考高三理科数学一轮复习：参数方程和极坐标

（方法总结与题型演练）

1.坐标系与参数方程

(1)了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况． (2)了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．

(3)能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． (4)了解参数方程，了解参数的意义．

(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．

2．不等式选讲

(1)理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件： ①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；

②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)．

(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax＋b|≤c； |ax＋b|≥c； |x－c|＋|x－b|≥a.

(3)通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．

13．1 坐标系与参数方程

1．极坐标系

(1)在平面内取一个定点O，叫做________；自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取________方向)，这样就建立了一个________．

设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的________ ，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的________，记为M(ρ，θ)．

一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．

(2)一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示________．特别地，极点O的坐标为________(θ∈R)．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有________表示．

如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用________极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是________的． 2．极坐标和直角坐标的互化

(1)把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)．从图中可以得出它们之间的关系：

__________________________． 由上式又得到下面的关系式： __________________________． 这就是极坐标与直角坐标的互化公式．

(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般只要取θ∈________就可以了． 3．简单曲线的极坐标方程 (1)曲线的极坐标方程的定义

一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0(因为平面内点的极坐标表示不惟一)，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程____________叫做曲线C的极坐标方程． (2)常见曲线的极坐标方程

①圆心在极点，半径为

r

的圆的极坐标方程为

_____________________________________________； ②圆心为(r，0)，半径为r的圆的极坐标方程为

ππ

___________________________?－≤θ＜?；

2??2

π

③圆心为?r，?，半径为r的圆的极坐标方程为

?2? (0≤θ<π)；

④过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为 ______________________________；

⑤过点(a，0)(a＞0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程为

ππ

____________________________?－＜θ＜?；

2??2

π

⑥过点?a，?，与极轴平行的直线的极坐标方程为

2??______________________________(0<θ<π)． 4．直线的参数方程

(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 ． (2)

直

线

的

参

数

方

程

中

参

数

t

的

几

何

意

义

是

：

_____________________________________________.

当与e(直线的方向向量)同向时，t取____________．当与e反向时，t取____________，当M与M0重合时，t＝____________.

5．圆的参数方程

圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为____________________________________． 6．椭圆的参数方程

x2y2

中心在原点，焦点在x轴上的椭圆2＋2＝1(a>b>0)的参数方程是____________ (φ为参数)，

ab规定参数φ的取值范围是____________．

自查自纠

1．(1)极点 极轴 逆时针 极坐标系 极径 极角 极坐标

(2)同一个点 (0，θ) 无数种 惟一 惟一确定

ρ2＝x2＋y2，??x＝ρcosθ，??

2．(1)? ? y

?y＝ρsinθ???tanθ＝x（x≠0）(2)[0，2π) 3．(1)f(ρ，θ)＝0

(2)①ρ＝r ②ρ＝2rcosθ ③ρ＝2rsinθ ④θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R) ⑤ρcosθ＝a ⑥ρsinθ＝a ??x＝x0＋tcosα，4．(1)?(t为参数)

?y＝y0＋tsinα?

(2)t的绝对值等于直线上的动点M到定点M0的距离 正数 负数 0 ??x＝x0＋rcosθ，5．?(θ为参数) ?y＝y0＋rsinθ???x＝acosφ，6．? [0，2π) ?y＝bsinφ?

π3π

(2017·海淀期末)在极坐标系中，点?1，?与点?1，?的距离为( )

4?4???

A．1 B.2 C.3 D.5 222222

解：两点的直角坐标分别为?，?，?－，?，故所求为－?－?＝2.故选B.

2?2?2??22??2

π

(2015·安徽六校联考)在极坐标系中，点?2，?和圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为( )

3??A.3 B．2

π22π2C.1＋ D.4＋ 99

π

解：极坐标系中的点?2，?在直角坐标系下的坐标为(1，3)；极坐标系中的圆ρ＝2cosθ3??在直角坐标系下的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心坐标为(1，0)，点到圆心的距离为

（1－1）2＋（3－0）2＝3.故选A.

直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为( )

A．1 B.2 C.3 D．2

1

解：直线的方程为2x＝1，即x＝，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)，半径r＝1，

2

1?2?l?212?圆心到直线的距离为d＝.设所求的弦长为l，则1＝?2?＋?2?，解得l＝3.故选C.

2

??x＝t，

2016·天津模拟 ()在平面直角坐标系xOy中，若l：?(t为参数)过椭圆C：

?y＝t－a?

?x＝3cosφ，??(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________． ?y＝2sinφ?

x2y2

解：椭圆的直角坐标方程为＋＝1，右顶点为(3，0)，带入直线l的参数方程得0＝3－a，

94a＝3.故填3.

(2017·北京)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为________．

解：圆的直角坐标方程为x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心(1，2)，半径为1，圆心到点P的距离为2>1，点在圆外，故所求为2－1＝1.故填1.

类型一 平面直角坐标系中的伸缩变换

??x′＝2x，

在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换?后的图形．

?y′＝3y?

(1)2x＋3y＝0； (2)x2＋y2＝1.

?x′＝2x，?

解：由伸缩变换?得到

?y′＝3y?

?

?1?y＝3y′.

1x＝x′，2

(*)

(1)将(*)代入2x＋3y＝0，得到经过伸缩变换后的图形方程是x′＋y′＝0.

?x′＝2x，?

因此，经过伸缩变换?后，

??y′＝3y直线2x＋3y＝0变成直线x′＋y′＝0.

x′2y′

(2)将(*)代入x＋y＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝1.

49

??x′＝2x，x′2y′222

因此，经过伸缩变换?后，圆x＋y＝1变成椭圆＋＝1.

49?y′＝3y?

2

2

2

【点拨】应用伸缩变换公式时应注意两点：(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标

??X＝ax（a>0），

(X，Y)，再利用伸缩变换公式?建立联系．(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)

?Y＝by（b>0）?＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．

在同一平面直角坐标系中，直线2x－y＝4变成x′－y′＝2的伸缩变换是( )

1???x′＝2x，?x′＝x，

A.? B.? ?y′＝2y???y′＝y

1x′＝x，????x′＝2x，

C.? 1 D.?y′＝y??2??y′＝4y

??x′＝λx （λ＞0），

解：设其伸缩变换为φ：?

?y′＝μy （μ＞0），?

??2λ＝2，

则λx－μy＝2，2λx－2μy＝4，于是?

??－2μ＝－1，

λ＝1，x′＝x，????解得 ?1 所以φ：?1 故选C.

???μ＝2.?y′＝2y.

类型二 极坐标与直角坐标的互化

(1)把曲线C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0化为极坐标方程． ??x＝ρcosθ，解：将?代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0，

?y＝ρsinθ?得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0，

所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.

π

(2)(2017·天津)在极坐标系中，直线4ρcos?θ－?＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点个数为

6??________．

解：直线的极坐标方程展开得4ρ?

31?cosθ＋sinθ＋1＝0，故直角坐标方程为23x＋2y＋2?2?

1＝0，圆的极坐标方程化为直角坐标方程得x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1，圆心(0，1)到直

|2＋1|3

线的距离为＝<1，则直线与圆的交点个数为2，故填2.

12＋44【点拨】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程，要灵活运用x＝ρcos

y

θ，y＝ρsinθ以及ρ＝x2＋y2，tanθ＝x(x≠0)．

(1)将下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化．

π1

①y2＝4x； ②θ＝(ρ∈R)； ③ρ＝.

32－cosθ

解：①将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入y2＝4x，得(ρsinθ)2＝4ρcosθ.化简得ρsin2θ＝4cosθ.

πyy

②当x≠0时，由于tanθ＝，故tan＝＝3，化简得y＝3x(x≠0)；当x＝0时，y＝0.

x3x

π

显然(0，0)在y＝3x上，故θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为y＝3x.

3

1

③因为ρ＝，所以2ρ－ρcosθ＝1，因此

2－cosθ2x2＋y2－x＝1，化简得3x2＋4y2－2x－1＝0.

(2)(2016·安徽)在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝2

π

B．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2

2π

C．θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝1

2D．θ＝0(ρ∈R)和ρcosθ＝1

解：圆ρ＝2cosθ化为直角坐标方程得x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，易知其垂直于x轴的

π

两条切线方程分别为x＝0和x＝2，化为极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcosθ＝2，故选B.

2

类型三 直线、圆的极坐标方程

(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2

＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程；

π

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN 的面积．

4解：(1)因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以C1的极坐标方程为ρcosθ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0.

π

(2)将θ＝代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得

4

ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，

|MN|＝ρ1－ρ2＝2，因为C2的半径为1，

1

所以△C2MN的面积为.

2

【点拨】(1)极坐标与直角坐标互化公式成立的三个前提条件：①取直角坐标系的原点为极

π

点．②以x轴的非负半轴为极轴．③两种坐标系规定相同的长度单位．(2)本题中，将θ＝

4代入ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出△C2MN的面积．

π

圆心C的极坐标为?2，?，且圆C经过极点．

4??(1)求圆C的极坐标方程；

(2)求过圆心C和圆与极轴交点(不是极点)的直线的极坐标方程．

解：(1)圆心C的直角坐标为(2，2)，则设圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝r2，依题意可知r2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4，

化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sinθ＋cosθ)＝0，即ρ＝22(sinθ＋cosθ)．

(2)在圆C的直角坐标方程x2＋y2－22(x＋y)＝0中，令y＝0，得x2－22x＝0，解得x＝0或22，于是得到圆C与x轴的交点坐标(0，0)，(22，0)，由于直线过圆心C(2，2)和

2－0

点(22，0)，则该直线的直角坐标方程为y－0＝(x－22)，即x＋y－22＝0.化为

2－22极坐标方程得ρcosθ＋ρsinθ－22＝0.

类型四 参数方程和普通方程的互化

??x＝3cosθ，

(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为? (θ为参

?y＝sinθ?

??x＝a＋4t，

数)，直线l的参数方程为?(t为参数)．

?y＝1－t?

(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l距离的最大值为17，求a. x22

解：(1)曲线C的普通方程为＋y＝1.

9当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0，

21

x＋4y－3＝0，x＝－，??25?2?x＝3，由?x 解得?或 2

24?y＝0＋y＝1???9y＝.252124－，?. 故C与l的交点坐标为(3，0)，??2525?

???

(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝|3cosθ＋4sinθ－a－4|

.

17a＋9

当a≥－4时，d的最大值为.

17a＋9

由题设得＝17，所以a＝8.

17

－a＋1

当a＜－4时，d的最大值为.

17

－a＋1

由题设得＝17，所以a＝－16.

17综上，a＝8或a＝－16.

【点拨】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等．

??x＝2＋t，

(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为?(t为参数)，

?y＝kt?

x＝－2＋m，??

直线l2的参数方程为?m (m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的

y＝?k?轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．

1

解：(1)消去参数t得l1的普通方程y＝k(x－2)；消去参数m得l2的普通方程y＝(x＋2)．

k

y＝k（x－2），??

设P点坐标为(x，y)，联立方程?1

y＝（x＋2）.??k消去k得x2－y2＝4(y≠0)．

所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．

(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．

222

?ρ（cosθ－sinθ）＝4，联立? 得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ)．

ρ（cosθ＋sinθ）－2＝0?

191

故tanθ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝.

31010代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M的极径为5.

类型五 参数方程的应用

3

0，?且倾斜角为α的直线l与曲线(x (2016·河南二模)在直角坐标系xOy中，过点P??2?11

－1)2＋(y－2)2＝1相交于不同的两点M，N.求＋的取值范围．

|PM||PN|

x＝tcosα，??

解：依题意得直线l的参数方程为?3(t为参数)，(*)

y＝＋tsinα??2将(*)代入曲线(x－1)2＋(y－2)2＝1得

1

t2－(2cosα＋sinα)t＋＝0.

4

由Δ＝(2cosα＋sinα)2－1>0得|2cosα＋sinα|>1.

1

又t1＋t2＝2cosα＋sinα，t1t2＝，

4

1111|t1＋t2|所以＋＝＋＝＝4|2cosα＋sinα|＝45|cos(α－α0)|∈(4，45]．

|PM||PN||t1||t2||t1t2|【点拨】 已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l

??x＝x0＋tcosα，

的参数方程为?(t为参数)．(1)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数

?y＝y0＋tsinα?分别为t1，t2，则||||＝|t1t2|，||＝|t2－t1|＝（t2＋t1）2－4t1t2.(2)若线段M1M2的中点为M3，点

t1＋t2

M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝.(3)若直线l上的线段M1M2的中点为

2M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0.

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