1.1复习线性回归方程的求法

数学选修1-2第一章课件

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必修3(第二章 统计)知识结构收集数据(随机抽样)整理、分析数据 估计、推断 用样本估计总体 变量间的相关关系

简 单 随 机 抽 样

分 层 抽 样

系 统 抽 样

用样本 的频率 分布估 计总体 分布

用样本 数字特 征估计 总体数 字特征

线 性 回 归 分 析

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统计的基本思想实际 抽 样

样本

y = f(x)模 分 析 拟

y = f(x)

y = f(x)

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回顾变量之间的两种关系问题1:正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是 确定性关系 y = x2 问题2:某水田水稻产量y与施肥量x之间是否 -------有一个确定性的关系？ 例如：在 7 块并排、形状大小相同的试验田 上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到 如下所示的一组数据：施化肥量x 15

20

25

30

35

40

45

水稻产量y 330 345 365

405 445

450 455

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1、定义： 自变量取值一定时，因变量的取值带有一

定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。注 1):相关关系是一种不确定性关系； 2):对具有相关关系的两个变量进行

统计分析的方法叫回归分析。

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2、现实生活中存在着大量的相关关系。如：人的身高与年龄； 产品的成本与生产数量；

商品的销售额与广告费；家庭的支出与收入。等等 探索：水稻产量y与施肥量x之间大致有何 规律？

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施化肥量x 15

20

25

30

35

40

45

水稻产量y 330 345 365 y500 450 400 350 300 10

405 445

450 455散点图

水稻产量

··20

·

·

·· ·施化肥量

30

40

50

x

探索2:在这些点附近可画直线不止一条， 哪条直线最能代表x与y之间的关系呢？ 发现：图中各点，大致分布在某条直线附近。

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y500

水稻产量

450 400 |y i - y i |

· · ·· (x i ,y i )

(x i ,y i )

350 300 10

· ··20n

怎样求回归直线？

施化肥量30 402

50

x

Q(a,b) =

(y i - bx i - a) 取 最 小 值 时 ,a,b的 值 .i=1

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最小二乘法：y = bx + a n ( xi - x) ( yi - y) b = i=1 = n 2 ( xi - x) i=1 a = y - bx.

x yi i=1 n

n

i

- n xy , - nx2

xi=1

2 i

1 n 1 n 其 中x = y xi , = yi . n i=1 n i=1

(x,y)

称为样本点的中心。

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2、回归直线方程： (1)所求直线方程 y = bx + a 叫做回归直线方程；

其中 b=

(xi=1

n

i

- x)(y i - y) =i

x yi i=1 n

n

i

- n xy ,2

(xi=1

n

- x)

2

xi=1

2 i

- nx

a = y - bx

(2)相应的直线叫做回归直线。 (3)对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。

(注意回归直线一定经过样本点的中心)

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例1 假设关于某设备的使用年限x和所有支出的维修费用y(万 元)有如下的统计数据：x Y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5 6 7.0

若由此资料所知y对x呈线性相关关系，试求： 1.回归直线方程 2.估计使用

年限为10年时，维修费用是多少？

解题步骤： 1.作散点图

2.把数据列表，计算相应的值，求出回归系数 3.写出回归方程,并按要求进行预测说明。

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例2 (2007年广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产 甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y (吨标准 煤)的几组对应数据。X y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图 (2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的 性回归方程

y bx a

(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值： 2.5 4 3 5 4 6 4.5 66.5 ) 3

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小结：求回归直线方程的步骤(1)作散点图，通过图看出样本点是否呈条状分 布，进而判断两个量是否具有线性相关关系。

(2)所求直线方程 y = bx + a 叫做回归直线方程；

其中 b=

(xi=1

n

i

- x)(y i - y) =i

x yi i=1 n

n

i

- n xy ,2

(xi=1

n

- x)

2

xi=1

2 i

- nx

a = y - bx

(3)根据回归方程，并按要求进行预测说明。

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第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及其初步应用(第二课时)

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a. 比《数学3》中“回归”增加的内 选修1-2——统计案例 容 数学3——统计1. 画散点图 2. 了解最小二乘法 的思想 3. 求回归直线方程 y=bx+a 4. 用回归直线方程 解决应用问题 5. 引入线性回归模型 y=bx+a+e 6. 了解模型中随机误差项e产 生的原因 7. 了解相关指数 R2 和模型拟 合的效果之间的关系 8. 了解残差图的作用 9. 利用线性回归模型解决一类 非线性回归问题 10. 正确理解分析方法与结果

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什么是回归分析：“回归”一词是由英国生物学家F.Galton在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。 根据遗传学的观点，子辈的身高受父辈影响，以X记父辈身高，Y记子辈身高。 虽然子辈身高一般受父辈影响，但同样身高的父亲，其子身高并不一致，因此， X和Y之间存在一种相关关系。 一般而言，父辈身高者，其子辈身高也高，依此推论，祖祖辈辈遗传下来，身 高必然向两极分化，而事实上并非如此，显然有一种力量将身高拉向中心，即子辈 的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。

虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论，并不具有普遍性，但从它 所描述的关于X为自变量，Y为不确定的因变量这种变量间的关系看，和我们现在的 回归含义是相同的。不过，现代回归分析虽然沿用了“回归”一词，但内容已有很大变化，它是一种应用 于许多领域的广泛的分析研究方法，在经济理论

研究和实证研究中也发挥着重要作用。

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回归分析的内容与步骤：回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。其主要内容和步骤是，首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量； 其次，设法找出合适的数学方程式(即回归模型)描述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验； 统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量。

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案例1:女大学生的身高与体重例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。

1 2 3 4 5 6 7 8 编号 身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170 体重/kg 48 57 50 54 64 61 43 59求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 解：1、选取身高为自变量x,体重为因变量y,作散点图： 2、由散点图知道身高和体重有比较好的 线性相关关系，因此可以用线性回归方程 刻画它们之间的关系。 产生随机误差项e 3、从散点图还看到，样本点散布在某一条 的原因是什么？ 直线的附近，而不是在一条直线上，所以 不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。

思考P3

我们可以用下面的线性回归模型来表示： y=bx+a+e,其中a和b为模型的未知参数， e称为随机误差。

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思考P4 产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般):1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x,可能 还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lkfi.html