大学物理习题册答案完整版1-22

练习 一 一、选择题：

1．C； 2．B； 3．D；4．B、B； 5．B； 6．C； 7．D 二、填空题：

1．23m/s

2．变速曲线运动;变速直线运动;匀速(率)曲线运动 3．x?(y?3)2，8ti?2j，8i 4．an?80m/s2，at?2m/s2 5．at??g/2，??23v2/(3g) 6．102m，东北 三、计算题

1．解: (1)?x?x(2)?x(0)?4m

????xx(2)?x(0)4?0???2m/s ?t22dx?4?t3,v(1)?4?1?3m/s,v(3)??23m/s, (2) v?dtv?(3) a??vv(3)?v(1)?23?3????13m/s2 ?t3?12dv??3t2 加速度不是时间t的线性函数,不可用a?(a1?a2)/2计算. dt(4)a(3)??27m/s2

???22．解: (1)r?(3t?5)i?(0.5t?3t?4)j a?1247?x?5??x?5? (2)y?0.5? ?x?x??3?4???18918?3??3?????? (3) ?r?r(2)?r(1)?3i?4.5j

???????dr?3i?(t?3)j,v(4)?3i?7j (4)v?dtv22?1y?17v?v?v?58m/s??tg?tg ，与轴夹角 xxyvx32x2y2. 3．解:（1）?x?acos?t,y?bsin?t;?2?2?1,质点轨迹是椭圆ab????dr??(?asin?ti?bcos?tj) （2）v?dt????dv?a????2(acos?ti?bsin?tj)???2r??方向恒指向椭圆中心

dt4．解: a?dv/dt,dv?adt?6tdt,

2?v12dv??6tdt,v?3t2

2t2t v?dx/dt,dx?vdt?3tdt,?dx??3t2dt,x?t3?8

0x5．解：v?R??kt2，v(2)?4k?16,k?4,v?4t2

dv?8t,at(1)?8m/s2 dtv(1)?4m/s,at?an(1)?v(1)2/R?16m/s2,a(1)?at(1)2?an(1)2?58m/s2

1

6．解：选地为静系K，火车为动系K?．由题意知：雨滴对地速度vpK的方向偏前30°，火车行驶时，雨滴对火车的相对速度vpK?偏后45°，火车对地速度vK?K=35 m/s，方向水平． 作图可知：

??vpKsin30o?vPK?sin45o?vK?K ; vpKcos30o?vPK?cos45o 由此二式解出：vPK?vK?Ksin30??sin45?cos30cos45???25.6m/s ?vpK?45? 30? vpK?练习 二 一、选择题：

1.B； 2.B； 3.A； 4.D； 5.B； 6.A；7.A；8.C 二、填空题：

?vK?Kk31．0, 2g 2．a?kt, v?v0?1kt2,x?v0t?kt

6m2m?m?3．mv0sin?;向下 4．55i?44j(m/s) 5．1.2m 6．882J

三、计算题 1．解：(1)mvdvdvktmv0??kv2,分离变量并积分?2???dt, 得 v?

0dtm?kv0tmvv0(2) dx?vdt?tmv0mkmv0dt?ln(1?v0t) dt,x??0m?kvtkmm?kv0t0(3) mdvkdvdv??kv2 ,mv??kv2,??dxlnvdtdxvmvv0?xk?k?x??x,v?v0em?v0e

mk2．解：(1)A外?(2) m?ba F外dx??(4x?6x2)dx?(2x2?2x3)10.5?3.25J0.51dv??(4x?6x2)，2vdv??(4x?6x2)

dxdt0.51?v0vdv???(2x?3x2)dx，v2?3.25,v?1.80m/s

mv0

M?m3．解：由动量守恒可得子弹相对砂箱静止时的速度大小为v?211mM2?mv0?12v0 由质点系动能定理得 ?fl?(M?m)???mv0??2M?m22m?M??1mM2111mM2?mv0?f?v0, ?E?mv02?(M?m)?v0 ??222m?M2lm?M?M?m?4．解：炮弹在最高点爆炸前后动量守恒,设另一块的速率?2与水平方向的夹角为?

2mvcos?0?mmmv2cos?,0?v2sin??v1 22221202?10 v1解得:v2?v?4vcos?0, ??tg.

2v0cos?05． 解：由动量守恒

A B m mv0?(m?M)v?(m?2M)v?

2

v?mv0mv0 ,v??m?Mm?2M从子弹和物块A以共同速度开始运动后,对子弹和物块A、B系统的机械能守恒

111M(m?M)v2?(m?2M)v?2?k(?l)2,?l?mv0 222k(m?M)(m?2M)6．解：(1)由动量守恒得 mv?MV?0,

11mv2?MV2 22m2MgR2MgR解得 v?;V?

Mm?Mm?M由动能定理得 mgR?(2) 小球相对木槽的速度

m A R M B m2MgR v??v?V?(1?)M(m?M)v?22m(m?M)g2m2g N?mg?m,N?mg??3mg?RMM练习 三 一、选择题：

1.D； 2. C； 3.C； 4.D； 5.A； 6.C 二、填空题：

1．4(s)，?15(m/s) 2．62.5，5/3(s) 3．mg?三、计算题

1．解：（1）由题意知?A?lmgl2， 4．50ml 2182?nA2??600??20rad/s 6060轮与皮带之间没有滑动 ?ARA??BRB

?A??BRB/RA?0.8??75/30?2?rad/s2

B?A20?RBt???10s ?A2?2?n?2??300A???10rad/s （2）??A6060????A10?201??A?A????rad/s2;

t?606轮与皮带之间没有滑动

ARA1301???????rad/s2 RB67515???02??10?02．解：(1)匀加速转动????40??1.26?1021/s2

t0.52???2??0(20?)2?0?2.5reV ?????5?rad,n?2?2??2?40?1112(2)M?I?,FR?mR?,F?mR???5?0.15?40??47.3N

2221A?M????J??????5?0.152?40??5??111J

2??B???ARA(3)???0??t?40??10?1.26?103rad/s,

v?R??0.15?1.26?103?1.89?102m/s

3

3．解：(D)对右物体m1g?T1?m1a(1),

T2

T2 对右滑轮

1T3 T1RA?T2RA?J1?1?2mR21AA?1?2mARAa T3 T11?T2?2mAa(2);对左物体T3?m2g?ma,(3) mg 对左滑轮

T12RB?T3RB?J2?2?2m211BRB?2?2mBRBa?T2?T3?2mBa(4)

(1)～(4)式相加解得a?m1?m2mm/2?mg

1?2?mAB/24．解：(1)由转动定理M?J?得

??M/J?Fr/J?9.8?0.2/0.5?39.2rad/s2

(2)由牛顿第二定律、转动定理及线量和角量的关系得 mg?T?ma (1) Tr?J? (2) a?r? (3)

F???mg10?J/r??9.810?0.2?0.5/0.2?21.8rad/s2mr 5．解：(1) 各物体受力情况如图。

rT?mg?ma，mg?T??ma?

TT?(2r)?Tr?9mr2?/2 a?r?m,ro ，a??2r?

?由上述方程组解得：

m?,r???2g/(19r)?10.3rad?s?2

TT?(2) 设?为组合轮转过的角度，则 ?T??h/r，?2?2??，?

T??(2?h/r)1/2?9.08rad?s?1

aABa?mgmg6．解：根据转动定律得 Jd?dt??k? （1）

即dt??Jd?t?0/2Jdk?， ?0dt?????，t?Jkln2

0k?（1）式可写成 J?d?Jd???k?，d???kd?，

??0d????0/2J??d?，??J?0,n???J?0 0k2k2?4?k练习 四 一、选择题：

1.B； 2.D； 3.D； 4.D； 5.A； 6.B； 7.C 二、填空题：

1．16ml2?2，13ml2? 2．??3g3g2l，??l

3．减小，增大，不变，增大 4．不一定，动量 5．3m?2ML

三、计算题

1．解：根据质点和刚体转动的动能定理得

m12gh?Th?2m22v (1) TR??12J?2?14m1R2?2 (2)

4

T1

T1 2mg

Tmgm1 R h m2 ?h?R?,v?R?, ?Th?(1)+(3)式得 v?21m1v2 (3) 4m2gh m1?2m222．解：(1)人和盘系统角动量守恒 J??(J?mR2)??

mRJ,??????????角速度减小. ????22J?MRJ?MR(2)?Ek?1J??2?1(J?mR2)?2

2221J??11mR2J2?2?(J?mR)??J???2 2?22J?mR22?J?mR?

3．解：(1) 设子弹和杆碰撞期间相互作用力为f

t对杆运用角动量定理fldt?I??0?1Ml2? (1)

?03t对子弹运用动量定理?fdt?mv?mv0?ml??mv0 (2)

?0v0fl?f122?(1)+(2)?l整理得 mvl???Ml?ml??(角动量守恒,可直接写出该式), 0?3?M3mv00.03v0??2rad/s

(M?3m)l3l(2)根据机械能守恒得

1?12l2?2?Ml?ml???Mg(1?cos?)?mgl(1?cos?) , 2?32???v?122?2?Ml?ml???43?cos??1???1??0.863,??30.29

(M?2m)2.99?9.84．解：(1)对弹簧、滑轮、地球组成的系统机械能守恒.取重物的初位置为重力势能零点,当重物沿斜面向下位移x时

111?mgxsin370?kx2?mv2?J?2?0 (1)

222物体下滑最远时,v?0,??0,

J k 1?mgxsin37?kx2?0

2037?x?2mgsin370/k?1.18m

(2) ??v/r,当x?1m时,由(1)式可解得:v?0.68m/s

5．解：球、环系统受外力矩为零，角动量守恒。地球、球、环系统(重力)做功，机械能守恒。取B点为重力势能零点。小球在B、C点相对环的速度为vB，vC。 BB点：J0?0?(J0?mR)? (1)

1122 (2) 1J0?0??mgR?J0?2?m??2R2?vB2222AOR?0CJ0?0 ,

vB???J?mR22J0R2?0 2Rg?2J0?mR2C点：1,vc?2mvc?mg(2R)4gR

练习 五 一、选择题：

1.B； 2.D； 3.A； 4.B； 5.C； 6.B 二、填空题：

1．相对性原理:物理规律在一切惯性系中都有相同的数学表达形式; 光速不变原理:任一惯性系中测得的

5

（A）y?2cos(πt?πx?π)；（B）y?2cos(πt?πx?π)；

22022202πππ（C）y?2sin(πt?πx?π)；（D）y?2sin(t?x?)。

220222022??????解：(B)由图可知T?4s,x?0处质点振动方程y0?Acos?t??0??2cos?t?? ?2??T??2O??A(0)x=0处质点在t=0 时振幅矢量.

?2y?x?????x????x?? ??波的表达式y?2cos????t??t???2cos??t?t??2cost???????2??22u2102202????????????2．一个平面简谐波沿x轴正方向传播，波速为u?160m/s，t?0时刻的波形图如图所示，则该波的表达式(SI制)为 ( C )

?y(m)u（A）y?3cos(40πt?πx?π)；（B）y?3cos(40πt?πx?π)；

34242oππππ8x(m)4（C）y?3cos(40πt?x?)；（D）y?3cos(40πt?x?)。

4242?3解:(C)由图可知??8m,u?160m/s,??u/??20(1/s),??2???40?(1/s) O设x?0处质点振动方程为y0?Acos?40?t??0?,?t?0时x?0处质点位移为

???零且向y轴正向运动, 作旋转矢量图知?0??,y0?3cos??40?t??

22??x?????? ?波的表达式y?3cos?40??t???3cos40?t?x?????????A(0)x=0处质点在t=0 时振幅矢量.

?2y42??160?2????

3. 一平面简谐波以速度u沿x轴正方向传播，在t = t＇时波形曲线如图所示．则坐标原点O的振动方程y u 为 ( D ) a u?(A) y?acos[(t?t?)?]；(B) y?acos[2?u(t?t?)??]； O x b2b2u?u?b (C) y?acos[?(t?t?)?]；(D) y?acos[?(t?t?)?]。

b2b2解:(D) 由图可知??2b,??v/??v/2b,??2????v/b

?t?t?时x?0处质点位移为零且向y轴正向运动,?cos?0?0,?sin?0?0,?0???/2

4. 一个平面简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中 ( C )

（A）它的势能转化成动能； （B）它的动能转化成势能； （C）它从相邻的媒质质元获得能量，其能量逐渐增加；

（D）把自己的能量传给相邻的媒质质元，其能量逐渐减小。

解：(C)质元的动能dEk?v2,势能dEP???y/?x?2,质元由最大位移处回到平衡位置过程中,v和?y/?x由

0?到最大值.

5．一平面简谐波在弹性媒质中传播时，在传播方向上某质元在某一时刻处于最大位移处，则它的 ( B )

（A）动能为零，势能最大； （B）动能为零，势能也为零； （C）动能最大，势能也最大；（D）动能最大，势能为零。 解：(B)质元的动能dEk?v2,势能dEP???y/?x?2,质元在最大位移处,v和?y/?x均为0.

6．频率为 100 Hz，传播速度为300 m/s的平面简谐波，波线上距离小于波长的两点振动的相位差为π/3，则此两点相距 ( C ) (A) 2.86 m； (B) 2.19 m； (C) 0.5 m； (D) 0.25 m。

解:(C) 波长??u/??300/100?3m,??2?,x???，3/x?2?/(?/3),x?0.5m 7．在同一媒质中两列频率相同的平面简谐波强度之比是I1:I2?4，则两列波的振幅之比A1:A2为 （A）4； （B）2； （C）16； （D）0.25。 ( B )

21IA2211解：(B)波强I??A?u,??4 22I2A28．在下面几种说法中，正确的是： ( C )

（A）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的； （B）波源振动的速度与波速相同；

（C）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后； （D）在波传播方向上，任一质点的振动位相总是比波源的位相超前。

21

解：(C)在波传播方向上,任一质点的振动位相总是比波源的位相滞后 二、填空题

1． 产生机械波的必要条件是 和 。解：波源,介质.

2． 一平面简谐波的周期为2.0s，在波的传播路径上有相距为2.0cm的M、N两点，如果N点的位相比

π，那么该波的波长为 ，波速为 。 62?2?解：??2?,x???， ??2?,???x??2?24cm,u??/T?12cm/s ???/6?x??M点位相落后

3． 我们 （填能或不能）利用提高频率的方法来提高波在媒质中的传播速度。

解：不能.波速由媒质的性质决定. 4． 处于原点（x?0）的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为y?Acos(Bt?Cx)，其中A、B、C皆为常数。此波的速度为 ；波的周期为 ；波长为 ；离波源距离为l处的质元振动相位比波源落后 ；此质元的初相位为 。 解：y?Acos(Bt?Cx)?AcosB(t???uT?2?/C,??/2?xx)?Acos?(t?),u?B/C,T?2?/??2?/B, B/cu?l/?,???2?l/??Cl,初相?Cl

xπ)?]，则x?L1处质点的振动方程u4为 ，x??L2处质点的振动和x?L1处质点的振动的位相差为?2??1? 。

5． 一平面简谐波沿x轴正向传播，波动方程为y?Acos[?(t?解：波方程中x用特定值表示后即表示特定质点振动方程y1?Acos[?(t?L1?)?]?Acos?1 u4y2?Acos[?(t?L2??(L2?L1) )?]?Acos?2,?2??1?u4u6．一平面简谐波（机械波）沿x轴正方向传播，波动表达式为y?0.2cos(?t?处媒质质点的振动加速度a的表达式为____________________________。

1?x)(SI制)，则x = -3 m23?2y122,a??0.2?cos(πt?π)??0.2?2sinπt ??0.2?cos(πt?πx)x??322?t2三、计算题

1．一平面简谐波，振动周期T?0.5s，波长? = 10m，振幅A = 0.1m。当 t = 0时，波源振动的位移恰好为正方向的最大值。若坐标原点和波源重合，且波沿x轴正方向传播，求：(1)波源的振动表达式；(2)简谐波的波动表达式；(3) x1 = ? /4处质点，在t2 = T /2时刻的位移和振动速度。 解:由题意可知??2?/T?4?(1/s),u??/T?10/0.5?20m/s

(1) 设波源的振动表达式为y?0.1cos(4?t??0),?t?0,y0?0.1m,?0.1?0.1cos?0,?0?0,y?0.1cos4?t (2) 波动表达式y?0.1cos4?(t?x/20)(SI制)

解：a?(3) 将x1?2.5m,t2?0.25s代入波动表达式得:y?0.1cos4?(0.25?2.5/20)?0.1cos0.5??0 振动速度v??y/?t??0.4?sin4?(t?x/20)

将x1?2.5m,t2?0.25s代入,v??0.4?sin4?(0.25?2.5/20)??0.4?sin0.5???0.4?(m/s)

2．一振幅为0.1m，波长为2 m的平面简谐波。沿x轴正向传播，波速为1m/s。t = 2s时，x=1m处的质点处于平衡位置且向正方向运动。求：(1)原点处质点的振动表达式；(2)波的表达式；(3)在x = 1.5m处质点的振动表达式.

u

解:由题意可知A?0.1m,??2m,u?1m/s, p p0 O 1m x T??/u?2(s),??2?/T??(1/s) x (2)设x=1m处的质点振动表达式y1?Acos(?t??0)?0.1cos(?t??0)

因为t = 2s时，该质点处于平衡位置且向正方向运动

所以0.1cos(2???0)?0,?0.1?sin(2???0)?0,?0???/2,y1?0.1cos(?t??/2)

?x?1??????波的表达式为y?0.1cos????t?????0.1cos???t?x???(SI制)

1?2?2?????t??/2)(SI制) (1) 令x?0得,y?0.1cos((3) 令x?1.5m得,y?0.1cos???t?1.5???/2??0.1cos(?t??)(SI制)

22

b?u5ma3． 一平面简谐波在介质中以速度u?20m/s沿x轴负方向传播，如图所示。已知a点的振动表式为

。 ya?3cos4πt（SI制）

（1）以a为坐标原点写出波动表达式。

（2）以距a点5m处的b点为坐标原点，写出波动表达式。

xx?x解:(1)y?3cos4?(t?)?3cos4?(t?)?3cos(4?t?)(SI制) b p u a

20205O (2)y?3cos[4?(t?5?x)]?3cos(4?t??x??)(SI制)

x 205b p u a 4．某质点作简谐振动，周期为2 s，振幅为0.06 m，t = 0 时刻，质点的位移为

0.03 m,且向正方向运动，求:(1) 该质点的振动表达式；(2) 此振动以速度u=2m/sO x 沿x轴负方向传播时，波的表达式； (3) 该波的波长。

解:(1) 由题意可知A?0.06m,??2?/T??(1/s),

设振动表达式为 y?0.06cos(?t??0),

x x ? t = 0 时刻，质点的位移为0.03 m,且向正方向运动,?cos?0?0.5,?sin?0?0,?0???/3

y?0.06cos(?t??/3)

(2) 波的表达式y?0.06cos[?(t?x/2)??/3]?0.06cos[?(t?x/2)??/3](SI制) (3) 波长??uT?4m

5．一列沿x正向传播的简谐波，已知t1?0和t2?0.25s时的波形

y(m)0.2P如图所示。（假设周期T?0.25s）试求 o（1）P点的振动表达式；（2）此波的波动表式；

?0.2（3）写出o点振动方程并画出o点的振动曲线。

解:由图可知

T?4?0.25?1s,??0.6m,v??/T?0.6m/s,??2?/T?2?(1/s) (1)P点振动表达式yP?Acos(?t??P0)?0.2cos(2?t??/2)(SI制)

t1?0x(m)0.45mt2?0.25sy(m)x?0.3?x?(2) 波动表式y?0.2cos[2?(t?)?]?0.2cos[2?(t?)?](SI制) 0.620.62(3)O点振动方程yO?0.2cos(2?t?Ot(s)?2)(SI制)

?3

2

6．一平面简谐声波，沿直径为0.14m的圆柱形管行进，波的强度为9.0?10W/m，频率为300Hz，波速

为300m/s。问：（1）波的平均能量密度和最大能量密度是多少？（2）每两个相邻的、相位差为2π的同相面间有多少能量？

122?5?3?A?u?wu,w?I/u?9.0?10?3/300?3.0?10?5J?m?3,wmax?2w?6.0?10J?m 21(2)V?s?,,w?wV??d2?w?4.62?10?7J

4解(1)I? 练习 十五 知识点：波的干涉、驻波、多普勒效应 一、选择题

1．如图所示，两列波长为? 的相干波在P点相遇．波在S1点振动的初相是??1，S1到P点的距离是r1；波在S2点的初相是??2，S2到P点的距离是r2，以k代表零或正、负整数，则P点是干涉极大的条件为： ( )

(A) r2?r1?k?； (B) ?2??1?2k?；

(C)

S1S2r1r2P

?2??1?2?(r2?r1)/??2k?； (D) ?2??1?2π(r1?r2)/??2kπ。

r??r??解:(D) y1p?A1cos?2?(t?1)??1??A1cos?1,y2p?A2cos?2?(t?2)??2??A2cos?2

uu????r?rr?r????2??1??2??1?2?21??2??1?2?12?2k?

??2．两个相干波源的相位相同，它们发出的波叠加后，在下列哪条线上总是加强的？ ( )

（A）两波源连线的垂直平分线上； （B）以两波源连线为直径的圆周上； （C）以两波源为焦点的任意一条椭圆上；（D）以两波源为焦点的任意一条双曲线上。

23

解: (A)????20??10?2?r2?r1?3．平面简谐波x?4sin(5πt?3πy)与下面哪列波干涉可形成驻波？ ( )

（A）y?4sin2π(2.5t?1.5x)； （B）y?4sin2π(2.5t?1.5x)； （C）x?4sin2π(2.5t?1.5y)； （D）x?4sin2π(2.5t?1.5y)。

解:(D)波方程x?4sin(5?t?3?y)中,x为各质点相对平衡位置的位移,y为质点平衡位置的坐标.

4．在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 ( ) (A) 振幅相同，相位相同； (B) 振幅不同，相位相同；

(C) 振幅相同，相位不同； (D) 振幅不同，相位不同。 解: (B) 相邻波节间各质点的振动振幅不同，相位相同。

5. 在波长为? 的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为 ( ) (A) ??/4； (B) ??/2； (C) 3??/4； (D) ??。 解: (B) 两个相邻波腹（波节）之间的距离为??/2。

6?. 一机车汽笛频率为750 Hz，机车以时速90公里远离静止的观察者．观察者听到的声音的频率是（设空气中声速为340 m/s）． ( ) (A) 810 Hz； (B) 699 Hz； (C) 805 Hz； (D) 695 Hz。 解: (B)???,对相干波源,?20??10,在垂直平线上r2?r1,???0.

u?uu340?????750?699Hz ??(u?u源）Tu?u源340?257?. 设声波在媒质中的传播速度为u，声源的频率为vS，若声源S不动，而接收器R相对于媒质以速度?R沿S、R连线向着声源S运动，则接收器R接收到的信号频率为： ( )

uu??Ru??RvS。 vS； （C）vS； （D）

u??Ruuu?u?v观u?v观解: (B)观察者收到的信号频率=测得的波速与波长的比值??????

??uTu（A）vS； （B）

二、填空题

1．设S1和S2为两相干波源，相距0.25?，S1的相位比S2的相位超前0.5?。若两波在S1与S2连线方向上的强度相同均为I0，且不随距离变化。则S1与S2连线上在S1外侧各点合成波的强度为＿＿＿＿＿，在S2外侧各点合成波的强度为_______________。

r?r0.25?解: S1外侧????20??10?2?21??0.5??2????,波的强度为零

2．简谐驻波中，在同一个波节两侧距该波节的距离相同的两个媒质元的振动相位差为________。解: ?

?23． 一驻波表式为y?4?10cos2πxcos400t（SI制），在x?1/6(m)处的一质元的振幅为 ，振动速度的表式为 。

解: A?4?10?2cos?2??1/6??2?10?2m,x?1/6m处质点振动方程为y?2?10?2cos400t,质点速度的表式v??8sin400t(SI制).

4． （a）一列平面简谐波沿x正方向传播，波长为?。若在x?0.5?处质点的振动方程为y?Acos?t，则该平面简谐波的表式为 。

（b）如果在上述波的波线上x?L（L?0.5?）处放一垂直波线的波密介质反射面，且假设反射波的振幅衰减为A?，则反射波的表式为 （x?L）。 解: (a)y?Acos??t??r?r?0.25?S2外侧????20??10?2?21??0.5??2??0，波的强度为4I0

???x??/2?? u??x???2?x????Acos??t????? ??Acos??t?u2u???????x ?/2 P x ?L??/2L?x?2?x4?L???????Acos????t??

uu??????5．一驻波方程为y?Acos2πxcos100πt(SI制)，位于x1?3/8m的质元与位于x2?5/8m处的质元的振

(b)y?A?cos???t?????动位相差为 。

24

解: yx1?Acos3?2cos100?t??Acos100?t, 425?2cos100?t??Acos100?t；位相差为0 x282?

6. 一汽笛发出频率为700Hz的声音，并且以15m/s的速度接近悬崖。由正前方反射回来的声波的波长为（已知空气中的声速为330m/s） 。 解:???(u?u源）T?(u?u源）/??315/700?0.45m

y?Acos三、计算题

1．波速为u?0.20m?s?1的两列平面简谐相干波在P点处相遇，两个波源S1和S2的振动表式分别为

。已知PS1?0.40m，PS2?0.50m，求： y10?0.1cos2?t（SI制）和y20?0.1cos(2?t?π)（SI制）

（1）两列波的波函数；（2）两列波传播到P点的位相差；（3）干涉后P点的振动是加强还是减弱，以及P

点合振幅。

解:（1）设r1为空间某点到波源S1的距离, r2为空间某点到波源S1的距离,则

， y1?0.1cos2?(t?r1/0.2)?0.1cos(2?t?10?r1)（SI制）

y2?0.1cos[2?(t?r2/0.2)??]?0.1cos(2?t?10?r2??)（SI制） （2）在两波相遇处????20??10?2?r2?r1（3）???0,P点的振动加强，合振幅为0.2m 2. 在弹性媒质中有一沿x轴正向传播的平面波，其表达式为y?0.01cos(4t?πx?π/2) (SI制)。若在x = 5.00 m处发生固定端反射，设反射波的强度不变，试写出反射波的表达式。 解: 入射波引起分界面处质点的振动方程

y?0.01cos(4t?5π?π/2)?0.01cos(4t?5.5π)

设反射波的表达式为y?0.01cos(4t?πx??0)

反射波引起分界面处质点的振动方程y?0.01cos(4t?5???0),反射波比入射波在分界面处引起质点的分振动相位落后?

4t?5???0?(4t?5.5?)??? ?0??11.5?

????2?0.50?0.40?0

0.2y?0.01cos(4t?πx?11.5?)?0.01cos(4t?πx??/2)

xt3．设入射波的表达式为 y1?Acos2?(?)，在x = 0处发生反射，反射点为一固定端。设反射时无

?T能量损失，求：(1) 反射波的表达式；(2) 合成的驻波的表达式；(3) 波腹和波节的位置。 解: （1）入射波引起分界面处(x=0)质点的振动方程y10?Acos2πt/T

反射波比入射波在x=0处引起质点的分振动相位落后? 反射波引起x=0处质点的振动方程y20?Acos?2πt/T???

??tx??????

??T???x???t???（2）y?y1?y2?2Acos?2???cos?2???

??2??T2?s2π?反射波的表达式为 y2?Aco?（3）波节x?k??2k?0,1,2?；波腹x?(2k?1)?4k?0,1,2?

4?． 一声源的频率为1080Hz，相对于地以30m/s的速率向右运动。在其右方有一反射面相对于地以

65m/s的速率向左运动。设空气中的声速为331m/s。求

（1）声源前方空气中声波的波长； （2）每秒钟到达反射面的波数； （3）反射波的速率。

/??301/1080?0.279m 解:（1）???(u?u源）T?(u?u源） （2）???u?v观u?331?65???1080?1421Hz ??(u?v源)T331?30 （3）反射波的速率为331m/s。 5?． 如图所示，试计算：

25

（1）波源S频率为2040Hz，以速度?S向一反射面接近，观察者在A点听得拍音的频率为?v?3Hz，求波源移动的速度大小?S。设声速为340m/s。

（2）若（1）中波源没有运动，而反射面以速度??0.20m/s向观察者A接近。观察者在A点所听得的拍音频率为?v?4Hz，求波源的频率。 解: （1）?1????u?u340???2040 ??(u?vs)T340?vSSAu?u340?2???????2040

??(u?vs)T340?vS2?340?vs340340????2??1??2040??2040??2040?3

340?vS340?vS3402?vs2u?u?v340?0.2???? ??(u?v)T340?0.2反射面 vS?0.25m/s

（2）?1?2040,?2????????2??1?340.2?????4,??3398Hz 339.8练习 十六 知识点：相干光、双缝干涉、光程与光程差、薄膜干涉、迈克耳孙干涉仪

一、选择题

1． 如图所示，用波长??600nm的单色光做杨氏双缝实验，在光屏P处产生第5级明纹极大，现将折射率n?1.5的薄透明玻璃片盖在其中一条缝上，此时P处变成中央明纹极大的位置，则此玻璃片厚度为 （ ）

（A）5.0?10cm； （B）6.0?10cm；

?4?4PS1S2o（C）7.0?10?4cm； （D）8.0?10?4cm。

解: (B)空气中第五级干涉明条纹满足:??r2?r1?5?;薄透明玻璃片盖在其中一条缝时中央明纹满

5?5?600?10?9足:r2?r1?(n?1)e?0 ; e???6.0?10?6m?6.0?10?4cm

n?11.5?12． 在双缝干涉实验中，为使屏上的干涉条纹间距变大，可以采取的办法是 （ ）

（A）使屏靠近双缝； （B）使两缝的间距变小；

（C）把两个缝的宽度稍微调窄； （D）改用波长较小的单色光源。 解: (B)双缝干涉条纹的间距为?x?D?,d?,?x? d3．如图所示，在双缝干涉实验中，若单色光源S到两缝S1、S2距离相等，则观察屏上中央明纹中心位于

图中O处，现将光源S向下移动到示意图中的S?位置，则 （ ）

（A）中央明条纹向下移动，且条纹间距不变； S1S（B）中央明条纹向上移动，且条纹间距增大； OS2?S（C）中央明条纹向下移动，且条纹间距增大；

（D）中央明条纹向上移动，且条纹间距不变。

xd解: (D)设光源S?到两狭缝S1、S2的距离分别为rs1、rs2,则干涉明纹应满足?(rS1?rS2)?k?,对中央明

D纹k?0,代入上式可知x?0?中央明纹在O点上方;由干涉明纹公式易得两相邻明纹间距仍然为?x?D?/d 4． 用单色光垂直照射牛顿环装置，设其平凸透镜可以在垂直的方向上移动，在透镜离开平玻璃的过程中，可以观察到这些环状干涉条纹 （ ）

（A）向右平移； （B）向中心收缩； （C）向外扩张； （D）向左平移。 解: (B)干涉明纹满足2e??2?k?,e?,原来k级明纹所在位置将被更高级明纹占据,第k级明纹位置向中

心移动.

5． 如图所示，波长为?的平行单色光垂直入射在折射率为n2的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉。若薄膜厚度为e，而且n1?n2?n3，则两束反射光在相遇点的位相差为（ ）

（A）4πn2e/?； （B）2πn2e/?；

26

n1?en2n3（C）π?4πn2e/?； （D）?π?4πn2e/?。

解:(A)两束反射光在反射面均没有半波损失,两束反射光的光程差为??2n2e,光程差为?时相位差为2?,比例关系式为

2n2e???? 2?6． 两个直径相差甚微的圆柱体夹在两块平板玻璃之间构成空气劈尖，如图所示，L单色光垂直照射，可看到等厚干涉条纹，如果将两个圆柱之间的距离L拉大，则L范围内的干涉条纹（ ）

（A）数目增加，间距不变； （B）数目增加，间距变小； （C）数目不变，间距变大； （D）数目减小，间距变大。 解:(C) 空气劈尖干涉明纹满足2e??2?k?,相邻明纹(或暗纹)所对应的薄膜厚度之差

lsin??ek?1?ek??/2,因Lsin?等于两圆柱直径之差,是不变量,干涉条纹数目不变;相邻明纹(或暗

纹)间距离为l??/(2sin?),L?,??,sin??,l?.

7． 用劈尖干涉法可检测工件表面缺陷，当波长为?的单色平行光垂直入射时，若观察到的干涉条纹如图所示，每一条纹弯曲部分的顶点恰好与其左边条纹的直线部分的连线相切，则工件表面与条纹弯曲处对应的部分 （ ）

(A)凸起，且高度为? / 4；(B)凸起，且高度为? / 2； (C)凹陷，且深度为? / 2；(D)凹陷，且深度为? / 4。 解:(C),相邻明纹(或暗纹)所对应的薄膜厚度之差 lsin??ek?1?ek??/2,

平玻璃 空气劈尖 工件 8．在迈克尔逊干涉仪的一条光路中，放入一厚度为d，折射率为n的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了 （ ）

(A)2(n?1)d； (B)2nd； (C)(n?1)d； (D)nd。解:(A)一来一回,光程改变了2(n?1)d 二、填空题

1． 在双缝干涉实验中，双缝间距为d，双缝到屏的距离为D (D>>d)，测得中央零级明纹中心与第五级明纹中心的距离为x，则入射光的波长为__________。解:根据双缝干涉明纹条件得

xdxd ?5?,??D5D2． 双缝干涉实验中，若双缝间距由d变为d?，使屏上原第10级明纹中心变为第5级明纹中心，则

d?:d ；若在其中一缝后加一透明媒质薄片，使原光线光程增加2.5?，则此时屏中心处为第 级 纹。

xd?xd??10?,?5?,d?:d?1:2;2.5??(2k?1)?2级暗纹 D2D3． 用??600nm的单色光垂直照射牛顿环装置时，第4级暗纹对应的空气膜厚度为_________?m

k?4?600?10?9??解:根据牛顿环干涉暗纹条件2e??(2k?1),得e???1.2?10?6m?1.2?m

解:根据双缝干涉明纹条件得

22224． 在牛顿环实验中，平凸透镜的曲率半径为3.00m，当用某种单色光照射时，测得第k个暗纹半径为4.24mm，第k?10个暗纹半径为6.00mm，则所用单色光的波长为___________nm。

解:根据牛顿环干涉暗纹条件2e??22?3?3因此rk?kR??4.24?10m,rk?10?(k?10)R??6?10m,??600nm

?(2k?1)?222和几何关系R?r?(R?e),得暗纹半径rk?kR?.

5． 在垂直照射的劈尖干涉实验中，当劈尖的夹角变大时，干涉条纹将向 方向移动，相邻条纹间的距离将变 。

解:劈尖干涉中光程差??2e??/2,??原来k级明纹所在位置将被更高级明纹占据,第k级明纹位置向劈尖棱边移动;相邻条纹间距离l??2sin?,??,l变小

6． 波长为?的平行单色光垂直照射到折射率为n的劈形膜上，相邻的两明纹所对应的薄膜厚度之差是____。 解: 劈形膜干涉明纹满足2ne??/2?k?,相邻明纹所对应的薄膜厚度之差ek?1?ek??/(2n)

7． 在迈克尔逊干涉仪实验中，可移动反射镜M移动0.620mm的过程中，观察到干涉条纹移动了2300条，

2d2?0.62?10?3m???5.39?10?7m?539nm 则所用光的波长为________nm。解:.d?N,??2N2300三、计算题

1．在双缝干涉实验中，波长?＝550 nm的单色平行光垂直入射到缝间距d＝2310-4 m的双缝上，屏到双缝的距离D＝2 m．求：(1) 相邻明纹的间距及中央

27

PS1S2现零级，原？级 o明纹两侧的第5级明纹中心的间距；(2) 用一厚度为e＝6.6310m(6.6310m)、折射率为n＝1.58的玻璃

-9

片覆盖其中一缝后，零级明纹将移到原来的第几级明纹处？(1 nm = 10 m) 1．解：(1)相邻明纹的间距为：?x＝D? / d＝5.50mm

中央明纹两侧的第5级明纹中心的间距为：?x5＝10D? / d＝55.0mm (2) 设不盖玻璃片时第k级明纹和覆盖玻璃片后零级明纹重合于x

不盖玻璃片时第k级明纹应满足：r2?r1＝k????覆盖玻璃片后零级明纹应满足: r2?r1 －[(n－1)e]＝0, 所以: (n－1)e = k? ,

k＝(n－1) e / ??????36.6310-6 /( 550310-9)＝6.96≈7 ,零级明纹移到原第7级明纹处 2． 在双缝干涉实验装置中，屏幕到双缝的距离D远大于双缝之间的距离d，对于钠黄光（??589.3nm），产生的干涉条纹，相邻两明条纹的角距离（即相邻两明条纹对双缝中心处的张角）为0.20?。 （1）对于什么波长的光，这个双缝装置所得相邻两条纹的角距离比用钠黄

x光测得的角距离大10%？

（2）假想将此装置浸入水中（水的折射率n?1.33），用钠黄光垂直照射时，?x??相邻两明条纹的角距离有多大？ d2．解：(1) 由明纹条件 ? =dsin?=k?? , 又sin??????因此 ?? =?k+1??k= ? / d

角距离正比于?，???增大10％，?也应增大10％． 故?＇＝?（1＋10%）＝648.2 nm D(2) 整个干涉装置浸入水中时 ndsin?=k??????相邻两明条纹角距离变为 ??＇＝?/ (nd) = ????n＝0.15°

3?．折射率为1.52的照相机镜头的表面上涂有一层厚度均匀的折射率为1.38的MgF2增透膜，如果此膜只适用于波长为550nm的光，则此膜的最小厚度为多少？若所涂MgF2为增反膜，则此膜的最小厚度为多少？ 3．解：要起到增透效果,反射光的光程差应满足干涉相消（设MgF2的厚度为e），即 δ＝2 n 2 e＝(2 k＋1)?????

-9-8

?????????则增透膜的最小厚度：k?????emin＝??? n 2＝550310/(431.38) ＝9.96310m 要起到增反效果反射光的光程差应满足干涉相长，即 δ＝2 n 2 e＝k??

-9-7

?????????则增反膜的最小厚度：k?????emin＝??? n 2＝550310/(231.38) ＝1.99310m

?4

4． 放在空气中一劈尖的折射率为1.4，劈尖的夹角为10rad，在某一单色光的垂直照射下，可测得两条相邻明纹的间距为0.25cm，试求：(1)此单色光在空气中的波长；(2)如果此劈尖长为3.5cm，总共可产生多少条明纹？

4．解：(1) 反射光的光程差为：δ＝2 n d＋???＝k?????明条纹

l?d相邻明纹的间隔为： l ＝? d/sinθ≈?/2 n θ ，

?-4-2

所以： ?＝2 n θl＝231.431030.25310＝700nm

dkdk?1(2) 劈尖的最大厚度为： emax＝0.035310-4＝3.5310-6m

可产生的明条纹数最大级数： kmax＝(2 n 2 emax＋??????＝14.5 ，所以总共产生的明纹条数为14条。 5． 用波长为589.3nm的光做牛顿环实验，测得某一明环半径为1.0mm，其外第四个明环的半径为3.0mm，求实验中所用的平凸透镜的凸面曲率半径。 5．解：牛顿环第k级明环的半径为： rk?-5 -6

(2k?1)R?/2

第k＋4级明环的半径为： rk?4?[2(k?4)?1]R?/2

rk2?4?rk29.0?10?6?1.0?10?6 则平凸透镜的凸面曲率半径为： R＝＝＝3.39m ?94?589.3?104??

6．柱面平凹透镜A，曲率半径为R，放在平玻璃片B上，如图所示。现用波长为?的平行单色光自上方垂直往下照射，观察A和B间空气薄膜的反射光的干涉条纹。设空气膜的最大厚度d?2?。（1）求明条纹极大位置与凹透镜中心线的距离r；（2）共能看到多少条明条纹；（3）若将玻璃片B向下平移，条纹

如何移动？

6．解：(1) 光程差 δ＝2 e＋???＝k?????明条纹，δ＝2 e＋???＝（2k+1/2）???? 明条纹极大位置处的空气膜厚度为：e?(k?)明条纹极大位置与凹透镜中心线的距离:

?d1? 22rRAB9222R?[R?(d?e)]?2R(d?e)?(d?e)?2R(d?e)?R?(?k) r＝2(2) 因为0?e?2?，所以明条纹的最大级次：kmax＝4,共能看到k＝1,2,3,4八条明条纹。

(3) 由光程差可知当玻璃片B向下平移时，各处空气的厚度增大，条纹将向外移动。

28

练习 十七 知识点：惠更斯-菲涅耳原理 单缝夫琅禾费衍射 光学仪器的分辨本领 光栅衍射 一、选择题

1．在单缝衍射实验中，缝宽a?0.2mm，透镜焦距f?0.4m，入射光波长??500nm，则在距离中央亮纹中心位置2mm处是亮纹还是暗纹？从这个位置看上去可以把单缝分为几个半波带？( )

(A) 亮纹，3个半波带； (B) 亮纹，4个半波带； (C) 暗纹，3个半波带； (D) 暗纹，4个半波带。

ax0.4?10?6解: (D)asin??atg????10?6m?1000nm,asin?/(?/2)?1000nm/250nm?4

f0.42．在夫琅和费单缝衍射实验中，对于给定的入射单色光，当缝宽度变小时，除中央亮纹的中心位置不变

外，各级衍射条纹 ( )

(A) 对应的衍射角变小； (B) 对应的衍射角变大； (C) 对应的衍射角也不变； (D) 光强也不变。 解: (B)根据明纹条件asin??(2k?1)?2可知,k、?不变,a减小?增大.

LC3．在如图所示的夫琅和费单缝衍射实验装置中，S为单缝，L为凸透镜，C为放在的焦平面处的屏。当把单缝垂直于凸透镜光轴稍微向上平移时，屏幕上的衍射图样 ( )

S(A) 向上平移； (B) 向下平移；

(C) 不动； (D) 条纹间距变大。

解: (C)单缝微微平移时,光线仍然是垂直狭缝入射,根据平行光经透镜会聚时的等光程性,可知衍射图样不变. 4．如果单缝夫琅禾费衍射的第一级暗纹发生在衍射角为θ?30°的方位上．所用单色光波长为?=500 nm，则单缝宽度为 ( )

-5-?-6-7

(A) 2.5310 m； (B) 1.0310 m； (C) 1.0310 m； (D) 2.5310。 解: (C)，根据暗纹条件asin??k?，a??/sin30??1000nm

5．波长为600nm的单色光垂直入射到光栅常数为2.5?10?3mm的光栅上，光栅的刻痕与缝宽相等，则光谱上呈现的全部级数为 ( )

(A) 0、±1、±2、±3、±4； (B) 0、±1、±3； (C) ±1、±3； (D) 0、±2、±4。

解：(B)干涉主明纹条件(a?b)sin??k?,因sin??1,根据题中数据算得k?4.再根据单缝衍射暗纹条件

a?bk??2k?,k??1,2?k?2,4缺级. a6．某元素的特征光谱中含有波长分别为?1?450nm和?2?750nm的光谱线，在光栅光谱中，这两种波

asin??k??,可得缺级的级数k?长的谱线有重叠现象，重叠处的谱线?2主极大的级数将是 ( )

(A) 2、3、4、5…； (B) 2、5、8、11…； (C) 2、4、6、8…； (D) 3、6、9、12…。

解：(D)根据干涉主明纹条件得(a?b)sin??k1?1,(a?b)sin??k2?2,

450k13?k1,k1?5,10,15??k2?3,6,9?

?275057．一衍射光栅对某波长的垂直入射光在屏幕上只能出现零级和一级主极大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该 ( )

(A) 换一个光栅常数较大的光栅； (B) 换一个光栅常数较小的光栅； (C) 将光栅向靠近屏幕的方向移动； (D) 将光栅向远离屏幕的方向移动。 解：(A)干涉主明纹条件(a?b)sin??k?,sin??1,?不变时,a?b?,k?

8．光栅平面、透镜均与屏幕平行。则当入射的平行单色光从垂直与光栅平面变为斜入射时，能观察到的光谱线的最高级数k ( )

(A) 变小； (B) 变大； (C) 不变； (D) 无法确定。

解：(B)倾斜入射时,干涉主明纹条件(a?b)(sin??sin??)??k?,考虑到(sin??sin??)的绝对值可大于

解得k2?k1?1?1?k变大 二、填空题

1． 惠更斯引入_________的概念提出了惠更斯原理，菲涅耳再用_________的思想补充了惠更斯原理，发展成了惠更斯——菲涅耳原理。解:子波, 子波的相干叠加

2． 在单缝夫琅和费衍射中，若单缝两边缘点A、B发出的单色平行光到空间某点P的光程差为1.5?，

29

则A、B间可分为_________个半波带，P点处为_________（填明或暗）条纹。若光程差为2?，则A、B间可分为_________个半波带，P点处为_________（填明或暗）条纹。

解:狭缝两边缘衍射线之间的光程差为半波长的偶数倍时形成暗条纹,奇数倍时形成明条纹.?3,明;4,暗

3． 在单缝夫琅和费衍射实验中，设第1级暗纹的衍射角很小。若钠黄光(?1?589nm)为入射光，中央明纹宽度为4.0mm；若以蓝紫光(?2?442nm)为入射光，则中央明纹宽度为________mm。

???x2.中央明纹宽度?x?2x1?2D1,?x??2x2?2D2，?x??2?x?3mm

?2aaaD4． 波长为480nm的平行光垂直照射到宽为0.4mm的单缝上，单缝后面的凸透镜焦距为60cm，当单缝两边缘点A、B射向P点的两条光线在P点的相位差为π时，P点离中央明纹中心的距离等于________。

解:sin????2???,狭缝两边缘衍射线之间的光程差为半波长时?asin??

22f?0.6?480?10?9?x因此sin????3.60?10?4m?0.36mm ?,x??32a2?0.4?102af5． 迎面驶来的汽车两盏前灯相距1.2m，则当汽车距离为_________时，人眼睛才能分辨这两盏前灯。假设人的眼瞳直径为0.5mm，而入射光波长为550.0nm。

?550?10?9解：人眼的最小分辨角?R?1.22?1.22??1.342?10?3rad ?3d0.5?10??l/s?1.2/s?1.342?10?3,s?894m 6．为测定一个光栅的光栅常数，用波长为632.8nm的光垂直照射光栅，测得第1级主极大的衍射角为18?，则光栅常数d?________，第2级主极大的衍射角??______。 解：干涉主明纹条件(a?b)sin??k?,

d?a?b??/sin??632.8?10?9/sin180?2.296?10?6m?2.296?10?3mm

k?2?632.8?10?90? sin????0.618??38.17?6d2.296?10解:相位差??光程差

7．某单色光垂直入射到一个每毫米有800条刻线的光栅上，如果第一级谱线的衍射角为30°，则入射光

的波长应为_________________。

解：干涉主明纹条件(a?b)sin??k?，??dsin??(1/800)?(1/2)?6.25?10?4mm?625nm 8．用白光（400-760nm）垂直照射光栅常数为2.0?10cm的光栅，则第1级光谱对透镜中心的张角

?44.0?10?7m0为 。解：干涉主明纹条件dsin??k?,sin?1??1/d?,; ??11.54?0.21?62.0?10m7.6?10?7m0??22.33,,????2??1?22.330?11.540?10.790 sin?2??2/d??0.381?62.0?10m三、计算题

1．波长??500nm(1nm=10-9m)的单色光垂直照射到宽度a?0.25 mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹．今测得屏幕上中央明条纹一侧第三级暗条纹和另一侧第三级暗条纹之间的距离为d?12 mm，求凸透镜的焦距f。 1．解：由单缝衍射的暗纹条件：asin??k?， 第k级暗纹的位置：xk?ftan??fsin??kf? af? aSLC 中央明条纹两侧第三级暗条纹之间的距离为:d?2x3?6da12?10?3?0.25?10?3??1m 凸透镜的焦距f f?6?6?500?10?92．在复色光照射下的单缝衍射图样中，其中某一未知波长光的第3级明纹极大位置恰与波长为??600nm光的第2级明纹极大位置重合，求这种光波的波长。

2．解：设未知光的波长为?，由单缝衍射的明纹条件：asin??(2k?1)'?2

3?．在通常亮度下，人眼瞳孔直径约为3 mm，若视觉感受最灵敏的光波长为550 nm (1 nm = 10-9 m)，试问：

30

600?10?95'?9?(2?2?1)由题意可知：asin??(2?3?1)，所以???600?10?428.6nm 227?'

6．气缸内有2 mol氦气，初始温度为27℃，体积为20 L(升)，先将氦气等压膨p胀，直至体积加倍，然后绝热膨涨，直至回复初温为止．把氦气视为理想气体。21试求：在p―V图上大致画出气体的状态变化过程； 绝热线(2) 在这过程中氦气吸热多少？ 3等温线(3) 氦气的内能变化多少？(4) 氦气所作的总功是多少？

OV解：(1) 如图

V1V2M5?，T2?2T1?600K,Q12?Cp(T2?T1)?2??8.31?300?12465J T1T2Mmol2绝热过程Q23?0, 因此Q?Q12?Q23?12465J

(3) 因始末状态温度相同, ?E?0

(4) 根据热力学第一定律Q??E?A得 A?Q?12456J

(2) 等压过程

练习 二十二 知识点：循环过程、卡诺循环、热机效率、热力学第二定律、熵 一、选择题

1． 理想气体卡诺循环过程的两条绝热线下的面积大小（图中阴影部分）分别为和S2，则两者的大小关系为： （ ）

（A）S1>S2； （B）S1

pS1

S1S2V解：(C)绝热过程A???E,内能改变相同,功相等,功的大小等于曲线下的面积. o2． “理想气体与单一热源接触作等温膨胀时，吸收的热量全部用来对外作功。”对此说法，有如下几种评论，哪个是正确的？ （ ）

（A）不违反热力学第一定律，但违反热力学第二定律； （B）不违反热力学第二定律，但违反热力学第一定律； （C）不违反热力学第一定律，也不违反热力学第二定律； （D）违反热力学第一定律，也违反热力学第二定律。

解(C)热力学第一定律说明任何过程能量守恒,热力学第二定律说明并非能量守恒的过程都能实现.热力学第二定律的开尔文表述中强调的是不可能制成一种循环动作的热机?

3． 一热机由温度为727℃的高温热源吸热，向温度为527℃的低温热源放热，若热机在最大可能效率下工作、且吸热为2000焦耳，热机作功约为 （ ）

（A）400J； （B）1450J； （C）1600J； （D）2000J； （E）2760J。

解 (A)A?1?T2?1?800?0.2,A?0.2Q?400J

QT110004． 在功与热的转变过程中，下面的那些叙述是正确的？ （ ）

（A）能制成一种循环动作的热机，只从一个热源吸取热量，使之完全变为有用功；

（B）其他循环的热机效率不可能达到可逆卡诺机的效率，因此可逆卡诺机的效率最高； （C）热量不可能从低温物体传到高温物体；

（D）绝热过程对外作正功，则系统的内能必减少。解 (D)Q?A??E

5． 1mol单原子理想气体从初态（p1、V1、T1）准静态绝热压缩至体积为V2其熵 （ ）

（A）增大； （B）减小； （C）不变； （D）不能确定。 解 (C)准静态绝热过程是可逆的,可逆的绝热过程是等熵过程.

6?． 一定量的理想气体向真空作自由膨胀，体积由V1增至V2，此过程中气体的 （ ）

（A）内能不变，熵增加； （B）内能不变，熵减少； （C）内能不变，熵不变； （D）内能增加，熵增加。

解(A)自由膨胀过程是不可逆的,对可逆过程才能把dQ/T理解为熵的变化.自由膨胀过程中内能不变,温度不变,熵是状态的单值函数,可设想一等温过程求自由膨胀过程中的熵变. 二、填空题

p1． 一卡诺热机（可逆的），低温热源为27℃，热机效率为40%，其高温热源pc温度为________K。今欲将该热机效率提高到50%，且低温热源保持不变，则

pa高温热源的温度增加________K。500K，100K a2． 有v摩尔理想气体，作如图所示的循环过程acba，其中acb为半圆弧，ba

为等压过程，pc=2pa，在此循环过程中气体净吸收热量为Q=_______vCp oVa(Tb?Ta)。（填：>、<或=）。

41

?

cbVVb解：?.由功的大小与p?V图上曲线下的面积关系讨论

Qacba?Aacba?2pa(Vb?Va)?pa(Vb?Va)?pa(Vb?Va),Qab??CV(Tb?Ta)?pa(Vb?Va)

3?．使4mol的理想气体，在T=400K的等温状态下，准静态地从体积V膨胀到2V，则此过程中，气体的熵增加是__________，若此气体膨胀是绝热状态下进行的，则气体的熵增加是________。解:23J/K，0 4?．从统计意义来解释：不可逆过程实质是一个____________________的转变过程。一切实际过程都向着______________________的方向进行。解:概率，概率大的状态

5．热力学第二定律的两种表述：开尔文表述： 。克劳修斯表述： 。

解:开尔文表述:不可能制成一种循环动作的热机,只从一个热源吸取热量,使之完全变为有用的功，而其他物体不发生任何变化．克劳修斯叙述:热量不可能自动从低温物体传向高温物体.

6?．熵是 的量度。解:熵是分子无序性或混乱性的量度. 三、计算题

1．一卡诺循环热机，高温热源温度是 400 K．每一循环从此热源吸进 100 J热量并向一低温热源放出80 J热量。求：(1) 低温热源温度；(2) 这循环的热机效率。 解：(1)

T80Q80Q1T1?400?320K, (2) ??1?2?1??0.2?20% ?,T2?2T1?Q1100Q2T2T1`1002． 如图所示，有一定量的理想气体，从初状态a(p1,V1)开始，经过一个等体过程达到压强为p1/4的b态，

再经过一个等压过程达到状态c，最后经等温过程而完成一个循环。求该循环过程中系统对外作的功A和所吸的热量Q。 pap1p1Vc,Vc?4V1 4pp3p1Aab?0，Abc?1?Vc?Vb??1?4V1?V1??p1V1

4b444omVaV1V1 Aca?RTln?p1V1ln??p1V1ln4

MmolVc4V13A?Aab?Abc?Aca?p1V1?p1V1ln4??0.636p1V1， Q?A??0.636p1V1

4解：对等温过程ca有 p1V1?cV3．一定量的理想气体经历如图所示的循环过程，A→B和C→D是等压过程，B→C和D→A是绝热过程。已知：TC＝ 300 K，TB＝ 400 K。试求：此循环的效率。

解：由绝热方程得：paTa??1????1????1???pdTd，pbTb?pcTc

TTT?TdTc又 pa?pb，pc?pd，∴ a?d 或 c?

TbTcTb?TaTb??1?? p A B D O C V

mmCp(Tb?T)a CD过程放热 Q2?Cp(Tc?T)d MMQT?TdT?1?c?25%循环效率为 ??1?2?1?c

Q1Tb?TaTbAB过程吸热 Q1?4．两台卡诺热机联合运行，即以第一台卡诺热机的低温热源作为第二台卡诺热机的高温热源。试证明它

们各自的效率?1及?2和该联合机的总效率?有如下的关系：???1+（1-?1）?2

解：循环为卡诺循环?1?ATA1T?1?2,?2?2?1?3

Q2T2Q1T1T2A1TAT??1??1,3?2?1??2,3??1??1??1??2? T1Q1T2Q2T1AT???1?3?1??1??1??1??2???1??1??1??2

Q1T1T1Q11T2Q2Q2A15．1kg0℃的冰，在0℃时完全熔化成水。已知冰在0℃时的熔化热??334J/g。求冰

经过熔化过程的熵变，并计算从冰到水微观状态数增大到几倍。

?

2Q3T3A2解：冰在0C时等温熔化，可以设想它和一个0C的恒温热源接触而进行可逆的吸热过程，因而

00 42

25?dQQm?103?334??S??????1.22?103,又?S?kln(2)。所以2?103.84?10

TTT273?1?16?．1mol的理想气体由初态(T1,V1)经某一过程到达末态(T2,V2)，求熵变。设气体的CV为常量。 解：?S?

?212dE?PdV2CdT2dVTVdQ????V?R??CVln2?Rln2 111VTTTT1V1 43

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