24.1.2垂直与弦的直径教学设计

《垂直与弦的直径》

西安市阎良区振兴初级中学

林 娜

垂直与弦的直径

一、教学分析

(一） 教学内容分析

1. 教材：义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册（人民教育出版社） 2. 本课教学内容的地位、作用，知识的前后联系

《垂直与弦的直径》是新人教版九年级数学上册第二十四章第一单元第二节课的内容。本节是《圆》这一章的重要内容，也是本章的基础。它揭示了垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系，是圆的轴对称性的具体化；也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据；同时也为进行圆的有关计算和作图提供了方法和依据；由垂径定理的得出，使学生的认识从感性到理性，从具体到抽象，有助于培养学生思维的严谨性。同时，通过本节课的教学，对学生渗透类比、转化、数形结合、方程、建模等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。所以它在教材中处于非常重要的位置。

3. 本课教学内容的特点，重点分析体现新课程理念的特点

本节课主要介绍垂直于弦的直径和这条弦及这条弦所对的弧之间的内在关系。为使学生感受、理解知识的产生和发展过程，培养学生的逻辑思维，我将通过：（1）学生自己亲手操作折圆的实验（2）引导学生观察、猜想、实验、归纳、类比等方法探究得垂径定理（3）通过多媒体演示使学生对轴对称图形有直观的认识。 我认为这环环相扣、层层深入、循序渐进的活动过程，符合新课程标准理念和学生建构知识的规律，有利于激发学生的学习情趣。 （二） 教学对象分析

1. 学生所在地区、学校及班级的特色

我授课的班级是西安市阎良区振兴中学九年级一班，作为九年级的学生，在认识图形方面已经积累一些经验，已经具有一定的观察、猜想、实验、归纳、类比等研究图形的能力；班级学生具有个性活泼，思维活跃，对各种事物充满好奇，学习情绪易于调动，学习积极性高的特点，但学生的逻辑思维能力个体差异较大，并且班级中已出现分化现象。 2. 学生的年龄特点和认知特点

班级学生的年龄大多在15岁到17岁间。 他们已具备了一定的独立分析、解决问题的能力，表现欲望较为强烈，喜好发表个人见解并且具有一定的合作交流、共同探讨的意识与经验，因此在课程内容的安排中，适当地创设一些具有一定思维深度的问题，加强学生在学习过程

中自主探索与合作交流的紧密结合，促使学生在探究的过程中，更多地获得成功的体验，感受学习思考的乐趣。

3. 学生已有的与本课相联系的知识与技能、问题解决的方法，以及生活经验

通过学习，对《垂直与弦的直径》有了认识更加深刻的理解，丰富了学生的数学活动经验和体验，促进了学生良好数学观的养成。 4. 分析学习本课存在的困难点

由于学生的观察、分析能力相对比较差，缺乏经验，因此要让他们积极主动参与，勤于动手，积累经验.采用小组合作，让学生互相合作，共同探索，完成任务。 （三）教学环境分析

根据教学内容、学生实际情况以及学校的实际情况，我选择多媒体教室环境。 理由是：

1. 多媒体教室有计算机能够处理和呈现多种媒体形式； 2. 多媒体教室有音响设备可以播放与放大声音信号；

3. 多媒体教室有投影机和电动屏幕可以能够放大显示视觉信息； 4. 多媒体教室有控制器可以控制各种设备的集成装置。 二、 教学目标 (一） 知识目标

(1)使学生理解圆的轴对称性；

(2)掌握垂径定理；

(3)学会运用垂径定理，解决有关的证明和计算。 （二）能力目标

经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，培养学生动手能力、观察能力、分析能力及联想能力。 （三）数学思考

经历将已学知识应用到未学知识的探索过程，发展学生的数学思维。 （四）情感目标

在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识。 三 、重点、难点的定位

教学重点：垂径定理及其推论的发现、记忆与证明，及其应用

教学难点：对垂径定理题设与结论的区分，垂径定理及其推论的证明、运用。

四 、教学方法：实验观察，自主探究，合作交流 五、 课前准备：圆形纸张、圆规、直尺、多媒体课件 六 、教学过程设计: (一)创设情境导入新课

师：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？让我们带着这个问题一同走进今天的课堂。

[设计意图：]富有挑战性的问题，激发了学生的学习兴趣，促进了数学思考。 (二)集体学习目标：

师：有了目标，才有了前进的方向有请郭永超同学为大家读目标 生：知识目标：(1)使学生理解圆的轴对称性； (2)掌握垂径定理；

(3)学会运用垂径定理，解决有关的证明和计算。 能力目标：培养学生动手能力、观察能力、分析能力及联想能力。

数学思考：经历将已学知识应用到未学知识的探索过程，发展学生的数学思维。 情感目标：通过联系、发展、对立与统一的思考方法对学生进行辩证唯物主义观点及美育教育。 学习重点、难点

重点：垂径定理及其应用 ；

难点：对垂径定理题设与结论的区分及相关的证明。

[设计意图：] .设计目标教学课堂提供了系统完整的反馈矫正机制，它既为提高课堂教学效率提供了有效手段，也为加强课堂教学管理提供了有效机制。 （三）合作交流探究新知 活动1 ：

动手做：请学生将课前制作的圆形纸片沿任意一条直径所在直线对折， 重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？

动脑想：结合轴对称图形的定义，在活动中总结出圆是轴对 称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

[设计意图：] 将教学内容重新整合，把圆轴对称性的学习变成了操作性强，又具有趣味性的问题，激发了学生的求知欲望，调动了学生学习的积极性.顺利得到圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 活动2：

思考：AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． 仔细观察：在对折过程中，你发现了什么？

（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？ 得结论：（1）这个图形是轴对称图形．它的对称轴是直径CD 所在的直线。（2）点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC与弧 BC重合，弧AD与弧BD重合，得出“AE=BE、弧AC等于弧BC、 弧AD等于弧BD”的结论。（板书） 并通过几何证明得AE=BE。教

师循序渐进地将一个个的问题抛出，引导学生一步步地进行思考和总结，师 生一起总结得垂径定理并板书。

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

[设计意图：] 引导学生通过实验--观察--分析--猜想，主动地探索垂径定理的知识。这一过程突出知识地产生过程，教会学生动眼看、动手做、动脑想、动口说，主动参与到教学活动中，这样做有利于发挥学生的主动性，发展他们的创造性，为达到本课的教学目标奠定了坚实的基础。

〔想一想〕下面图形是否可以使用垂径定理

[设计意图：] 在这个环节里我 设计六组练习题，目的在于让学生充分认识垂径定理应符合的条件及由此得到的结论。培养了学生的感知能力。

A E C O B D

如上图，若直径CD平分弦AB则

直径CD是否垂直且平分弦所对的两条弧？如何证明？

你能用一句话总结这个结论吗？（即推论：平分弦的直径也垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）

如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？

[设计意图：] 教师提出问题，引导学生进行思考和讨论。学生小组讨论，发现垂径定理的推论。通过尝试实现文字语言与符号语言间的相互转化，表达定理及推论间的逻辑关系。教师提醒学生此中的弦一定不能是直径。初步理解得“知二推三”口诀的含义。 〔练习〕

1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 . 2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是 . 3．半径为2cm的圆中，过半径OD中点C且 垂直于OD的弦AB的长是 . 课堂反应：学生非常安静，目不转睛地盯着黑板，陷入沉思，接着就小声议论。

[设计意图：] 课堂中通过学生自评、互评，可以使学生理清知识脉络，形成知识体系；全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，这不仅有利于培养学生的自信心，也为教师全面了解学生的学习状况、改进教学、实施因材施教提供了重要依据。 〔解决开始抛出的实际问题〕

师：通过探究练习我们已经积累了一定的经验，让我们共同完成赵州桥问题。大家都知道数学来源于生活，又服务与生活。要解决实际问题，首先要将实际问题转化为数学问题，也就是建模。思考如何将这个实际问题转化成数学问题。

[设计意图：] 在引题中，老师把新课引入的实际问题，在结束前引导学生运用所学知识加以解决，注重培养学生解决实际问题的能力。首尾呼应，形成一个课堂教学的整体。 （反思：创设问题情境主要在于下面几点理由：①采取从学生最熟悉的实际问题情境入手的方式，贴近学生的生活实际，让学生认识到数学来源于生活，又服务于生活，进一步感悟到把实际问题抽象成数学问题的训练，从而激发学生的求知欲。②所有新知识的学习都以对相关具体问题情境的探索作为开始，它们是学生了解与学习这些新知识的有效方法，同时也活

跃了课堂气氛，激发学生的学习兴趣。在最后交流归纳时，他们感觉到，自己在活动中“研究”的成果，对最终形成规范、正确的结论是有贡献的，从而激发他们更加注意学习方式和“研究”方式．这也是对他们从事科学研究的情感态度的培养。学生勤于动手、乐于探究，发展学生实践应用能力和创新精神成为可行。） 小结升华与作业

师生共同回顾学习内容，有助于学生将知识系统化，条理化，帮助学生全面理解、掌握所学知识，同时可说明弦的中点、弧的中点都集中在垂直于弦的直径上，对学生进行数学美育教育。通过作业及时巩固知识，达到课堂内容的延伸，调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质。 (五) 板书设计： 24.1.2垂直与弦的直径

1. 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴． 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 3. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 4. 巩固练习 5. 小结及拓展

6. 作业：教材P88，必做题：8、9 选做题：12

教案设计说明

《数学课程标准》提出：“实践活动是培养学生进行主动探索与合作交流的重要途径．”、“教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题，了解数学在现实生活中的作用，体会学习数学的重要性。”这两段话，正体现了新教材的重要变化——关注学生的生活世界，学习内容更加贴近实际，同时强调了数学教学让学生动手实践的重要意义和作用。

现实性的生活内容，能够赋予数学足够的活力和灵性。对许多学生来说，实际问题都是学生很感兴趣的内容，因此，也具有现实性，让学生感知学习数学可以让生活增添许多乐趣，同时也让学生感知到数学就在我们身边，学生学习的数学应当是生活中的数学，是学生“自己身边的数学”。这样，数学来源于生活，又必须回归于生活，学生就能在学习中学得轻松愉快，整个课堂显得生动活泼。

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