高中数学经典例题及跟踪训练 双曲线中的基本问题

高中数学经典例题及跟踪训练 双曲线中的基本问题

I．题源探究·黄金母题

【例1】双曲线4x?y?64?0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于 ． 【答案】17

2222精彩解读

【试题来源】人教版A版选修2-1P49习题2．3A组T1．

【母题评析】本题考查双曲线的定义，考查考生的简单的计算能力和逻辑推理能力．

【解析】把方程化为标准方程，得

yx??1．a?8，【思路方法】结合双曲线的定义解题． 6416【试题来源】人教版A版选修1-1P61T4． 【母题评析】求圆锥曲线方程问题是教材中例题和练习题都重点、高频出现的问题，也

由双曲线定义可知，点P到两焦点距离的差的绝对值等于16，

?P到另一个焦点的距离等于17．

22【例2】求以椭圆

xy??1的焦点为顶点，以椭圆的是高考常见题，大多利用待定系数法求解，85本题主要借助圆锥曲线间的联系求解 ，主

2顶点为焦点的双曲线的方程．

2要考查对椭圆、双曲线的定义、性质的理解．

【解析】设双曲线的方程为

22xy??1(a?0,b?0)，【思路方法】求双曲线的标准方程先定“形”22ab再定“参”．

因为

xy??1，a2?8?5?3,c2?8，所求双曲线的85x2y2?1 方程为?38II．考场精彩·真题回放

【例1】【2017高考天津卷】已知双曲线

【命题意图】这类题主要考查双曲线的定义、标准方程及其简单几何性质等．

x2y2?2?1(a?0,b?0)的左焦点为F，离心率为2．若【考试方向】高考对这部分的考查主要集中2ab在以下几个方面：（1）根据双曲线的定义

经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ）

求双曲线的标准方程（选择、填空，解答题第一问，常与双曲线性质、其它圆锥曲线和直线等综合考察）；（2）双曲线性质的初

x2y2x2y2??1 B．??1A．4488

步运用（选择、填空、解答题第一问）；（3）求双曲线中距离、周长或者面积等；（4）求直线与双曲线相交时弦长、中点轨迹（解

C．

xyxy??1??1D．4884

2222答题第二问）；（5）确定双曲线中的弦长、式子的定值问题，确定与双曲线有关的曲线经过的定点问题（解答题第二问）；（6）

【答案】B 【

解

析

】

由

题

意

得

求双曲线中的弦长（或其它量）的最值或者范围（解答题第二问）．

4x2y2 【难点中心】 故选B．a?b,??1,?c?4,a?b?22,???1，

?c8821．利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考

y2【例2】【2017高考北京卷】若双曲线x??1的离心率常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是

m依据题目的条件列出关于a,b,c的方程，解

为3，则实数m=_________．

方程组求出a,b，另外求双曲线方程要注意

【答案】2

巧设双曲线：（1）双曲线过两点可设为c 【解析】a?1,b?m,??1?m?3，解得m?2．

ax2y222（2）与2?2?1【例3】【2017高考山东卷】在平面直角坐标系xOy中，双mx?ny?1(mn?0)；

ab22x2y2曲线2?2?1?a?0,b?0?的右支与焦点为F的抛物线共渐近线的双曲线可设为

abx2?2px?p?0?交于A,B两点，若AF?BF?4OF，则该

双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】y??x2y2???(??0)；（3）等轴双曲线可a2b2设为x?y??(??0)等，均为待定系数法求标准方程．

222x 2【解析】AF?BF?yA?ppp?yB??4?,?yA?yB?p． 2．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独222特的一种性质，也是考查的重点内容．对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．

3．求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式e??x2y2?2?2?1,?a2y2?2ab2y?a2b2?0,b?a?x2?2px, ?2pb22pb2?yA?yB?2,?2?p,?a?2b,aa故所求渐近线方程为y??2x． 2【例4】【2017高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双x2曲线?y2?1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，

3c； ab，c的②只需要根据一个条件得到关于a，齐次式，结合b?c－a转化为a,c的齐

222Q，其焦点是F1,F2，则四边形F1PF2Q的面积是 ．

【答案】23 次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或解方程(不a2转化为关于e的方程(不等式)，

等式)即可得e（e的取值范围）． 4．双曲线的焦点到渐近线的距离是b；双曲线的顶点到渐近线的距离是

ab． c5．涉及直线与双曲线的位置关系的问题，只要联立直线与双曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量．等于“中点弦问题”，可以利用“点差法”处理．

III．理论基础·解题原理

考点一 双曲线的定义

在平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于常数，大于0且小于F1F2的点的轨迹叫做双曲线，两个定点叫做双曲线的焦点．两焦点的距离叫做双曲线的焦距．

考点二 双曲线的标准方程

x2y2y2x2（1）焦点在x轴上：2?2?1?a?0,b?0?；（2）焦点在y轴上：2?2?1?a?0,b?0?．

abab考点三 双曲线的几何性质 标准方程 x2y2?2?1?a?0,b?0? 2aby2x2?2?1?a?0,b?0? 2ab图 形 性质 范 围 对称性 x?a,y?R 关于原点、x轴、y轴对称 y?a,x?R 顶 点 焦 点 轴长与焦距 渐近线方程 A1??a,0?,A2?a,0? A1?0,?a?,A2?0,a? F1??c,0?,F2?c,0? F1?0,?c?,F2?0,c? 实轴长A1A2?2a，虚轴长B1B2?2b，焦距F1F2?2c y??bx ae?c，e??1,??? ay??ax b离心率 a,b,c关系 a2?b2?c2?c?a?0,c?b?0? IV．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度较小，往往以椭圆、抛物线、双曲线为载体，考查圆锥曲线的定义、性质等基本知识．

双曲线问题借助定义PF1?PF2?2a，结合试题所给其它条件解题，特别是在焦三角形中，经常利用三角形的边角关系（正弦定理、余弦定理、有时利用勾股定理、面积公式）解题，注意

PF1?PF2,PF1?PF2之间的联系，灵活应用定义解题．

双曲线是圆锥曲线中最重要的一类曲线，在高考中出现的次数也最多，主要考查双曲线的定义、性质、方程，在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题． 【易错指导】

1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x2与y2的正负．

x2y22．注意双曲线的范围，在设双曲线2?2?1?a?0,b?0?上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这

ab往往在求与点P有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．

3．学习中，要注意双曲线几何性质的挖掘：

（1）双曲线中有两条对称轴，“四点”（两个焦点、两个顶点），要注意它们之间的位置关系（如焦点在长轴上等）以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为

b22b22e??等．

cax2y2（2）设双曲线2?2?1?a?0,b?0?上任意一点P(x，y)，则当y＝0时，|OP|有最小值a，这时，

abP在实轴端点处．

（3）双曲线上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c，0)，F2(c，0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．

（4）双曲线的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中c是斜边，c2＝a2＋b2． 4．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．

5．在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．

V．举一反三·触类旁通

考向一 双曲线的定义与焦点三角形

y24?1的两个焦点为F1,F2,P为双曲线右支上一点．若PF1?PF2，则【例1】已知双曲线x?2432△PF1F2的面积为

A．48 B．24 C．12 D．6

（ ）

反思提炼：双曲线定义的应用规律

1．求方程：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c的值，从而求出

a2,b2的值，写出双曲线方程；

2．解焦点三角形有关问题：利用双曲线上点M与两焦点的距离差的绝对值MF1?MF2?2a（其中

2a?F1F2）与正弦定理、余弦定理，运用“整体代入法”解决焦点三角形问题．

【跟踪练习】

已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1,F2，点A在C上．若F1A?2F2A，则

cos?AF2F1?( )

A．

2211 B． C． D．

4334

【答案】A

【解析】由e?c?2得c?2a，如图，由双曲线的定义得F1A?F2A?2a． a又F1A?4a,F2A?2a,?cos?AF2F11A?2F2A，故F考向二 双曲线的标准方程

?4a???2a???4a??2?4a?2a222?1． 4x2y2【例2】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点为F，离心率为2．若经过F和P(0,4)两点

ab的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B．??1 C．??1 D．??1A．44884884

【答案】B

反思提炼：

1．求双曲线的标准方程关键在于确定a,b的值，通过条件找出a,b,c之间的关系，再结合

c2?a2?b2，解出a,b,c的值．

2．求双曲线方程还要注意巧设双曲线：

22（1）若已知双曲线过两点方程可设为Ax?By?1(AB?0)或Ax?By?1?AB?0?；

22（2）若已知等轴双曲线方程可设为x?y??(??0)；

22x2y2x2y2（3）与双曲线2?2?1有公共渐近线的双曲线方程可设为2?2?????0?；

ababx2y2bb（4）若已知双曲线的渐近线方程为y?x或y??x，则可设双曲线方程为2?2?????0?；

abaaxyx2y2?2?1?b2?k?a2； （5）与双曲线2?2?1共焦点的双曲线方程可设为2a?kb?kab22??x2y2x2y222（6）与椭圆2?2?1?a?b?0?有共同焦点的双曲线方程可设为2??1b???a??．

aba????b2【跟踪练习】

1．已知直线l过点A??1,0?且与圆B:x?y?2x?0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过

22点D，其一条渐近线平行于l，则E的方程为（ ）

【解析】由e?c?2得c?2a，如图，由双曲线的定义得F1A?F2A?2a． a又F1A?4a,F2A?2a,?cos?AF2F11A?2F2A，故F考向二 双曲线的标准方程

?4a???2a???4a??2?4a?2a222?1． 4x2y2【例2】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点为F，离心率为2．若经过F和P(0,4)两点

ab的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 （ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B．??1 C．??1 D．??1A．44884884

【答案】B

反思提炼：

1．求双曲线的标准方程关键在于确定a,b的值，通过条件找出a,b,c之间的关系，再结合

c2?a2?b2，解出a,b,c的值．

2．求双曲线方程还要注意巧设双曲线：

22（1）若已知双曲线过两点方程可设为Ax?By?1(AB?0)或Ax?By?1?AB?0?；

22（2）若已知等轴双曲线方程可设为x?y??(??0)；

22x2y2x2y2（3）与双曲线2?2?1有公共渐近线的双曲线方程可设为2?2?????0?；

ababx2y2bb（4）若已知双曲线的渐近线方程为y?x或y??x，则可设双曲线方程为2?2?????0?；

abaaxyx2y2?2?1?b2?k?a2； （5）与双曲线2?2?1共焦点的双曲线方程可设为2a?kb?kab22??x2y2x2y222（6）与椭圆2?2?1?a?b?0?有共同焦点的双曲线方程可设为2??1b???a??．

aba????b2【跟踪练习】

1．已知直线l过点A??1,0?且与圆B:x?y?2x?0相切于点D，以坐标轴为对称轴的双曲线E过

22点D，其一条渐近线平行于l，则E的方程为（ ）

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