数学竞赛教案讲义(12)——立体几何

第十二章 立体几何

一、基础知识

公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内．则这条直线在这个平面内，记作：a a．

公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P∈α∩β，则存在唯一的直线m，使得α∩β=m,且P∈m。

公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面． 推论l 直线与直线外一点确定一个平面．

推论2 两条相交直线确定一个平面．

推论3 两条平行直线确定一个平面．

公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行．

定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角．与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离．

定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外．直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外．

定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直． 定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直． 定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行．

定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直．

定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离．

定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线．由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影．所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影．斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角．

结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角．

定理4 (三垂线定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若c b，则c a．逆定理：若c a，则c b．

定理5 直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行 定理6 若直线。与平面α平行，平面β经过直线a且与平面a交于直线6，则a//b． 结论2 若直线。与平面α和平面β都平行，且平面α与平面β相交于b，则a//b．

定理7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等．

定义6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交．没有公共点即平行，否则即相交． 定理8 平面a内有两条相交直线a，b都与平面β平行，则α//β.

定理9 平面α与平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，则a//b．

定义7 (二面角)，经过同一条直线m的两个半平面α,β(包括直线m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作α—m—β，也可记为A—m一B，α—AB—β等．过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则∠APB(≤900)叫做二面角的平面角． 它的取值范围是[0，π]．

特别地，若∠APB＝900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即α β. 定理10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．

定理11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内． 定理12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直． 定义8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．两个互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做长方体．棱长都相等的正四棱柱叫正方体．

定义9 有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥． 定理13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则 V+F-E=2．

定义10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面．球面所围成的几何体叫做球．定长叫做球的半径，定点叫做球心．

定理14 如果球心到平面的距离d小于半径R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直．设截面半径为r，则d2+r2＝R2．过球心的截面圆周叫做球大圆．经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离．

定义11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线．纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度．用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经．

定理15 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

定理16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角．其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于3600．

定理17 （面积公式）若一个球的半径为R，则它的表面积为S球面=4πR2。若一个圆锥的母线长为l，底面半径为r，则它的侧面积S侧=πrl.

定理18 （体积公式）半径为R的球的体积为V球= R；若棱柱（或圆柱）的底面积为s，高h，则它的体积为V=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为s，高为h，则它的体积为V=4331sh. 3

定理19 四面体ABCD中，记∠BDC=α，∠ADC=β，∠ADB=γ，∠BAC=A，∠ABC=B，∠ACB=C。DH 平面ABC于H。

（1）射影定理：SΔABD cosФ=SΔABH，其中二面角D—AB—H为Ф。

（2）正弦定理：sin sin sin . sinAsinBsinC

（3）余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα.

（4）四面体的体积公式V

=1DH SΔABC 31 cos2 cos2 cos2 2cos cos cos 6

1 aa1dsin （其中d是a1, a之间的距离， 是它们的夹角） 6

2SΔABD SΔACD sinθ(其中θ为二面角B—AD—C的平面角)。 3a

二、方法与例题

1．公理的应用。

例1 直线a,b,c都与直线d相交，且a//b,c//b，求证：a,b,c,d共面。

例2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？

2 异面直线的相关问题。

例3 正方体的12条棱互为异面直线的有多少对？

例4 正方体，ABCD—A1B1C1D1棱长为1，求面对角线A1C1与AB1所成的角。

3．平行与垂直的论证。

例5 A，B，C，D是空间四点，且四边形ABCD四个角都是直角，求证：四边形ABCD是矩形。

例6 一个四面体有两个底面上的高线相交。证明：它的另两条高线也相交。

例7 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中点，沿BE将ΔABE折起，并使AC=AD，求证：平面ABE 平面BCDE。

4．直线与平面成角问题。

例8 正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G为BF的中点，将正方形沿EF折成120的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。

例9 OA是平面α的一条斜角，AB α于B，C在α内，且AC OC，∠AOC=α，∠AOB=β，∠BOC=γ。证明：cosα=cosβ cosγ.

5．二面角问题。

例10设S为平面ABC外一点，∠ASB=45，∠CSB=60，二面角A—SB—C为直角二面角，求∠ASC的余弦值。

例11 已知直角ΔABC的两条直角边AC=2，BC=3，P为斜边AB上一点，沿CP将此三角形折成直二面角A—CP—B，当AB=7时，求二面角P—AC—B的大小。

6．距离问题。

例12 正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，求对角线AC与BC1的距离。

000

例13在三棱维S—ABC中，底面是边长为42的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面，E，D分别是BC，AB的中点，求CD与SE间的距离。

[分析] 取BD中点F，则EF//CD，从而CD//平面SEF，要求CD与SE间的距离就转化为求点C到平面SEF间的距离。

7．凸多面体的欧拉公式。

例14 一个凸多面体有32个面，每个面或是三角形或是五边形，对于V个顶点每个顶点均有T个三角形面和P个五边形面相交，求100P+10T+V。

8．与球有关的问题。

例15 圆柱直径为4R，高为22R，问圆柱内最多能装半径为R的球多少个？

9．四面体中的问题。

例16 已知三棱锥S—ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是ΔSBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于300，SA=23。求三棱锥S—ABC的体积。

例17 设d是任意四面体的相对棱间距离的最小值，h是四面体的最小高的长，求证：2d>h.

注：在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法，请读者在解题中认真总结。

三、基础训练题

1．正三角形ABC的边长为4，到A，B，C的距离都是1的平面有__________个.

2．空间中有四个点E，F，G，H，命题甲：E，F，G，H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的__________条件。

3．动点P从棱长为a的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则点P运动的最大距离为__________。

4．正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是面ADD1A1、面ABCD的中心，G为棱CC1中点，直线C1E，GF与AB所成的角分别是α，β。则α+β=__________。

5．若a,b为两条异面直线，过空间一点O与a,b都平行的平面有__________个。

6．CD是直角ΔABC斜边AB上的高，BD=2AD，将ΔACD绕CD旋转使二面角A—CD—B为60，则异面直线AC与BD所成的角为__________。

7．已知PA 平面ABC，AB是⊙O的直径，C是圆周上一点且AC=

的大小为__________。

8．平面α上有一个ΔABC，∠ABC=105，AC=2(6 001AB，则二面角A—PC—B22)，平面α两侧各有一点S，T，使得SA=SB=SC=41，TA=TB=TC=5，则ST=_____________.

9．在三棱锥S—ABC中，SA 底面ABC，二面角A—SB—C为直二面角，若∠BSC=45，SB=a，0

则经过A，B，C，S的球的半径为_____________.

10．空间某点到棱长为1的正四面体顶点距离之和的最小值为_____________.

11．异面直线a,b满足a//α,b//β,b//α,a//β，求证：α//β。

12．四面体SABC中，SA，SB，SC两两垂直，S0，S1，S2，S3分别表示ΔABC，ΔSBC，ΔSCA，ΔSAB的面积，求证：S0 S1 S2 S3.

13．正三棱柱ABC—A1B1C1中，E在棱BB1上，截面A1EC 侧面AA1C1C，（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求二面角EC-A1-B1C1的平面角。

四、高考水平训练题

1．三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1B1的中点，N为B1C与BC1的交点，平面AMN交B1C1于P，则2222B1P=_____________. PC1

2.空间四边形ABCD中，AD=1，BC=3，且AD BC，BD=

的角为_____________.

3．平面α 平面β，α β=直线AB，点C∈α，点D∈β，∠BAC=45，∠BAD=60，且CD AB，003，AC=，则AC与BD所成22

则直线AB与平面ACD所成的角为_____________.

4．单位正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角A—BD1—B1大小为_____________.

5．如图12-13所示，平行四边形ABCD的顶点A在二面角α—MN—β的棱MN上，点B，C，D都在α上，且AB=2AD，∠DAN=45，∠BAD=60，若◇ABCD在半平面β上射影为为菜，则二面角α—MN—β=_____________.

6．已知异面直线a,b成角为θ，点M，A在a上，点N，B在b上，MN为公垂线，且MN=d，MA=m，NB=n。则AB的长度为_____________.

7．已知正三棱锥S—ABC侧棱长为4，∠ASB=45，过点A作截面与侧棱SB，SC分别交于M，N，则截面ΔAMN周长的最小值为_____________.

8．l1与l2为两条异面直线，l1上两点A，B到l2的距离分别为a,b，二面角A—l2—B大小为θ，则l1与l2之间的距离为_____________.

9．在半径为R的球O上一点P引三条两两垂直的弦PA，PB，PC，则PA+PB+PC=_____________.

10．过ΔABC的顶点向平面α引垂线AA1，BB1，CC1，点A1，B1，C1∈α，则∠BAC与∠B1A1C1的大小关系是_____________. 222000

11．三棱锥A—BCD中∠ACB=∠ADB=90，∠ABC=60，∠BAD=45，二面角A—CD—B为直角二面角。（1）求直线AC与平面ABD所成的角；（2）若M为BC中点，E为BD中点，求AM与CE所成的角；（3）二面角M—AE—B的大小。

12．四棱锥P—ABCD底面是边长为4的正方形，PD 底面ABCD，PD=6，M，N分别是PB，AB的中点，（1）求二面角M—DN—C的大小；（2）求异面直线CD与MN的距离。

13．三棱锥S—ABC中，侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，M为ΔABC的重心，D为AB中点，作与SC平行的直线DP，证明：（1）DP与SM相交；（2）设DP与SM的交点为D'，则D'为三棱锥S—ABC外接球球心。

五、联赛一试水平训练题

1．现有边长分别为3，4，5的三角形两个，边长分别为4，5，41的三角形四个，边长分别为00052，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_________个四面体。 6

m，那么mn=_________。 n

2．一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数3．已知三个平面α，β，γ每两个平面之间的夹角都是 0 ，且2

=a, b, c，命题甲：

的_________条件。 3；命题乙：a,b,c相交于一点。则甲是乙

4．棱锥M—ABCD的底面是正方形，且MA AB，如果ΔAMD的面积为1，则能放入这个棱锥的最大球的半径为_________.

5．将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱长为2，则最远两个顶点间距离为_________。

6．空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交的直线有_________条。

7．一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体棱长为a，这个球的体积为_________。

8．由曲线x=4y,x=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1，满足x+y≤16,x+(y-2)≥4,x+(y+2)≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则22222222V1 _________。 V2

9．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆围上的点，B是底面圆内的点，

O为底面圆圆心，AB OB，垂足为B，OH PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥C—HPC体积最大时，OB=_________。

10．,,是三个互相垂直的单位向量，π是过点O的一个平面，A',B',C'分别是A，B，C在π上的射影，对任意的平面π，由OA' OB' OC'构成的集合为_________。

11．设空间被分为5个不交的非空集合，证明：一定有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点。

12．在四面体ABCD中，∠BDC=90，D到平面ABC的垂线的垂足S是ΔABC的垂心，试证：(AB+BC+CA)≤6(AD+BD+CD)，并说明等号成立时是一个什么四面体？

13．过正四面体ABCD的高AH作一平面，与四面体的三个侧面交于三条直线，这三条直线与四面体的底面夹角为α，β，γ，求tanα+tanβ+tanγ之值。

六、联赛二试水平训练题

1．能否在棱长为1的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为1的正四面体？

2．P，Q是正四面体A—BCD内任意两点，求证：cos PAQ 222222202221. 2

3．P，A，B，C，D是空间五个不同的点，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ，这里θ为已知锐角，试确定∠APC+∠BPD的最大值和最小值。

4．空间是否存在有限点集M，使得对M中的任意两点A，B，可以在M中另取两点C，D，使直线AB和CD互相平行但不重合。

5．四面体ABCD的四条高AA1，BB1，CC1，DD1相交于H点（A1，B1，C1，D1分别为垂足）。三条高上的内点A2，B2，C2满足AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。证明：H，A2，B2，C2，D1在同一个球面上。

6．设平面α，β，γ，δ与四面体ABCD的外接球面分别切于点A，B，C，D。证明：如果平面α与β的交线与直线CD共面，则γ与δ的交线与直线AB共面。

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