线性代数习题(含答案)

线性代数习题(含答案)

线性代数习题

一、填空题（请将正确答案直接填在横线上，每小题3分，共15分）： 1. 向量 1224 ， 32 21 ，则 2α－3β =__________。 2. 一个含有零向量的向量组必线性 。

3. 设A是一个n阶方阵，则A非奇异的充分必要条件是R（A）=__________。

123

4. 设A 03 2 ，当t = 时，R(A) = 2。

06t

5. 已知A是m × n矩阵，齐次线性方程组AX = 0的基础解系为 1, 2, , s。如R（A）= k，则s =__________；当k =__________时方程只有零解。

二、单项选择题 ( 每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内，每小题3分，共15分）:

1. 设有4维向量组 1 , …, 6，则（ ）。

A R( 1 , …, 6) = 4 C 1 , 2 , 3 , 4必然线性无关

D 1 , …, 6中至少有2个向量能由其余向量线性表示

B R( 1 , …, 6) = 2

3 3 15

1 2 12

则R（A）为 2. 已知A

5 153 223 4

A 1 B 2 C 3 D 4

3. 设 1, 2, , s为n维向量组, 且秩R( 1, 2, , s) r, 则( )。

A 该向量组中任意r个向量线性无关 B 该向量组中任意 r 1个向量线性相关 C 该向量组存在唯一极大无关组 D 该向量组有若干个极大无关组

4. 若X1,X2,X3,X4是方程组AX O的基础解系，则X1 X2 X3 X4 是AX O的（ ）。 A 解向量

B 基础解系

线性代数习题(含答案)

C 通解 D A的行向量

x1 x2 x x 23

5. 线性方程组

x3 x4 x4 x1

a1

a2

有解的充分必要条件是（） a3 a4

A a1 a2 a3 a4 0 B a1 a2 a3 a4 0 C a4 a1 a2 a3 0 D a1 a2 a3 a4 0 三、计算题（每小题8分，共64分）：

0 1 2 1

， 1 的极大线性无关组和

1. 求向量组 1 4， 2 1， 3 44

2 0 3 1

秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。

1 3 2 试问当c为何值时，

2. 设 1 2， 2 1， 3 3，向量组线性相关？c为

3 2 c

何值时向量组线性无关？

3．设向量组 1 1 ,

1

问λ取何值时，

1

2 , 1 1

3 1 , 1

1 . 1

（1）β可由 1, 2, 3线性表示，且表达式唯一？ （2）β可由 1, 2, 3线性表示，但表达式不唯一？ （3）β不能由 1, 2, 3线性表示？

x1 x2 x3 2x4 0

4. 解方程组 2x1 3x2 x3 3x4 0

2x 5x 7x x 0

234 1

x1 x2 2x3 x4 1 2x x x 2x 3 1234

5. 求非齐次线性方程组 的通解，并表示出向量形式。

x1 x3 x4 2 3x1 x2 3x4 5

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x1 x2 2x3 3x4 1 x 3x 6x x 3 1234

6. 设线性方程组为 问k1与k2各取何值时，方程组无解，有唯

3x1 x2 k1x3 15x4 3 x1 5x2 10x3 12x4 k2

一解，有无穷多解；有无穷多解时，求其一般解。

x1 2x2 2x3 0

7. 已知三阶矩阵B ≠ 0且B的每一个列向量都是方程组 2x1 x2 x3 0的解。

3x x x 0

23 1

①求λ的值；②证明B 0。 四、证明题（每小题6分）：

1 0 0

0 1 0

1. 证明下列n个n维列向量必线性无关：e1 ，e2 ， en

0 0 1

2. 设向量组a1，a2，a3线性无关，证明：向量组

a1 a2，a2 a3，a3 a1线性无关。

线性代数阶段测试题（三）参考答案

一、

填空题:

1、 7 2105 2、相关 3、n 4、- 4 5、s n k ，k = n 二、

单项选择题:

1、D 2、D 3、B 4、A 5、C 三、

计算题:

1、 解：通过初等变换

线性代数习题(含答案)

01 2 1 2031

1 2 3 4 4141 4141

2031 01 2 1

31

10

2031 2031 22

01 2 1 012 1 01 2 1 01 2 1 0000 0000

所以这个向量组的极大线性无关组为 1， 2

3= 1—2 2， 4= 1— 2

3

212

132132132

2、解： 1, 2, 2 2－13 0－7 1 071 7(c 5)

32c0 7c 600c 5

所以当 1, 2, 2 0即c = 5时，向量组线性相关，

当 1, 2, 2 0即c 5时，向量组线性无关。 3、解：因为

11111111

1 1 ( 1) 1 ( 1)0 10 ( 1)( 1)2 11 11 00 1

所以（1）当λ≠ -1且λ≠ 1 时，β可由 1, 2, 3线性表示，且表达式唯一；

（2）当λ= 1 时，R( 1, 2, 3) R( 1, 2, 3, ) 1 3，β可由 1, 2, 3线性表示，

但表达式不唯一；

（3）当λ= -1或λ= 1 时，β不能由 1, 2, 3线性表示。

4、解：经初等变换得

2 1043 1112 111 A 23 13 01-3 1 01 3-1

25 71 03-9 3 0000

所以R(A) 2, 方程组有解。

线性代数习题(含答案)

而

x3 1 0 x1＝－4x3－3x4

，分别取 , ，

x4 0 1 x2＝3x3 x4

－4 －3

3 ， ＝ 1 . 得基础解系为 1＝ 2 1 0 0 1

－4 －3 3 1

故方程组的通解为：k1 ＋，其中k1，k2为任意常数。 k2 10

0 1

5．解：经初等变换得

1-12

2-11

(AB)=

10-1

3-10

1213

1 1 121

3 01 30

2 01-30

5 02 60

1 1 1 2

1-12

01 3

000

000

1000

1 1

1 0

0 0

0 0

0－11－300001000

2 1 0 0

所以R(A) R(AB) 2, 方程组有解。

而

x1 x3 x4 x3 1 0

，分别取 ,

x4 0 1 x2 3x3

1 1

30 得基础解系为 1＝， 2＝ 1 0 0 1

1

2 x1 x3 x4 2

而方程组 的一个特解为U ,

1 x2 x3 1

2

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1 －1 1

3 0 2

所以方程组通解为 k1 1＋k 2 r=k1 +k2 + 其中k1，k2为任意常数。

1 10

0 1 2

6. 解：将方程组的增广矩阵做初等变换得

231 112 11

136134 02(AB)

3 1 k1153 0 4 6 k1 1 5 1012k 122 0 631

22 60

9k2 1

231 1 11

012-11 0

0-4-6-k160 0

9k2-1 0 0-6-121231

12-11

02-k124

003k2+5

2－k1＝0

所以，当 即

k＋5 6 2

k1＝2

时，方程组无解； k 1 2

当2－k1 0 即k1 2 时，方程组有唯一解；

2－k1＝0 k1＝2

当 即 时，方程组有无穷解。

k＋5＝6k＝1 2 2

1

0

此时(AB)

0 0 1 0

0 0

11000100

232-102030200

1 1 1 0 4 0 6 0

1100232-10100

1 1 1 0 2 0 0 0

11002200

0-5

03

12

00

0-8

03

12 00

所以R(A) R(AB) 3, 方程组有解。

x1=0

－2

而齐次方程组 x2= 2x3,取x3 1，得基础解系为 ＝ 1 x= 40

0

0

线性代数习题(含答案)

x1＝－8

非齐次方程组 x2＋2x3＝3 的一个特解为 U

x＝2 4

－8 1 1 2

0 －8 －2 1

所以，方程组的通解为k1 ＋a＝k1 其中k1为任意常数。 ＋

1 1 0 2

2 12 2 12

7.解： ① 经初等变换化为 2-1 0-5 4 ，

31 1 0 55

12 2

因为B的列向量是方程组的解，所以0－5 4 0，

5

0 5

4 5 1 秩R=2

② 因为R=2，所以方程组的基础解系只有2个向量，3个解必线性相关，而B的列向量都是方程组的解。所以B的列向量线性相关。所以｜B｜= 0。

四、证明题： 1、 证明：利用反证法

假设e1，e2，…..，en线性相关，则存在k1，k2，…，kn不全为零，使得： k1e1+k2e2+…+knen=0

1

0

即k1 . +k2

. 0 0 0 k1 1 0 k2 . +…….+ k . = . =0

n

. . . 0 1 kn

故k1=k2=……=kn=0，这与假设矛盾，所以原命题成立， e1，e2，…..，en线性无关。

2、证明：

线性代数习题(含答案)

设k1( 1 ) 2 k( 22 ) 3k( 3 3) 01，即(k1 k3) 1 (k k) 3 031k) 2 2(k 2因为 1， 2， 线性无关，3 k1 k3 0

则 k1 k2 0

k k 0

23 101

所以110＝2 0，

011即k1，k2，k3 有唯一零解

故 1 2， 2 3， 3 1线性无关.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ljg1.html