统计学课后习题答案（基本是很完整的）

第1章 绪论

1．什么是统计学?怎样理解统计学与统计数据的关系?

2．试举出日常生活或工作中统计数据及其规律性的例子。 3．．一家大型油漆零售商收到了客户关于油漆罐分量不足的许多抱怨。因此，他们开始检查供货商的集装箱，有问题的将其退回。最近的一个集装箱装的是2 440加仑的油漆罐。这家零售商抽查了50罐油漆，每一罐的质量精确到4位小数。装满的油漆罐应为4.536 kg。要求：

(1)描述总体；

(2)描述研究变量；

(3)描述样本； (4)描述推断。

答：(1)总体：最近的一个集装箱内的全部油漆；

(2)研究变量：装满的油漆罐的质量；

(3)样本：最近的一个集装箱内的50罐油漆；

(4)推断：50罐油漆的质量应为4.536×50＝226.8 kg。 4．“可乐战”是描述市场上“可口可乐”与“百事可乐”激烈竞争的一个流行术语。这场战役因影视明星、运动员的参与以及消费者对品尝试验优先权的抱怨而颇具特色。假定作为百事可乐营销战役的一部分，选择了1000名消费者进行匿名性质的品尝试验(即在品尝试验中，两个品牌不做外观标记)，请每一名被测试者说出A品牌或B品牌中哪个口味更好。要求：

(1)描述总体；

(2)描述研究变量； (3)描述样本； (4)一描述推断。

答：(1)总体：市场上的“可口可乐”与“百事可乐”

(2)研究变量：更好口味的品牌名称； (3)样本：1000名消费者品尝的两个品牌 (4)推断：两个品牌中哪个口味更好。

第2章 统计数据的描述——练习题

●1.为评价家电行业售后服务的质量，随机抽取了由100家庭构成的一个样本。服务质量的等级分别表示为：A.好；B.较好；C.一般；D.差；E.较差。调查结果如下：

B E C C A D C B A E

D A B C D B B

A D A B A E A

C B C C C C C

B C D E B C D

C C E D C A E

D A A B D D A

E E B C E C B E C

C D D C C B D D C

E C D B E A D C B

E B C C B E C B C

A D B C C A C B C E D B (1) 指出上面的数据属于什么类型； (2) 用Excel制作一张频数分布表；

1

(3) 绘制一张条形图，反映评价等级的分布。 解：（1）由于表2.21中的数据为服务质量的等级，可以进行优劣等级比较，但不能计算差异大小，属于顺序数据。

（2）频数分布表如下：

服务质量等级评价的频数分布 服务质量等级

A B C D E 合计

家庭数（频数）

14 21 32 18 15 100

频率% 14 21 32 18 15 100

（3）条形图的制作：将上表(包含总标题，去掉合计栏)复制到Excel表中，点击：图表向导→条形图→选择子图表类型→完成(见Excel练习题2.1)。即得到如下的条形图：

EDCBA02040服务质量等级评价的频数分布 频率%服务质量等级评价的频数分布 家庭数（频数）

●2.某行业管理局所属40个企业2002年的产品销售收入数据如下（单位：万元）：

152 124 129 116 100 103 92 95 127 104 105 119 114 115 87 103 118 142 135 125 117 108 105 110 107 137 120 136 117 108 97 88 123 115 119 138 112 146 113 126

(1)根据上面的数据进行适当的分组，编制频数分布表，并计算出累积频数和累积频率； (2)如果按规定：销售收入在125万元以上为先进企业，115万～125万元为良好企业，105万～115万元为一般企业，105万元以下为落后企业，按先进企业、良好企业、一般企业、落后企业进行分组。 解：（1）要求对销售收入的数据进行分组，

全部数据中，最大的为152，最小的为87，知数据全距为152－87=65； 为便于计算和分析，确定将数据分为6组，各组组距为10，组限以整10划分； 为使数据的分布满足穷尽和互斥的要求，注意到，按上面的分组方式，最小值87可能落在最小组之下，最大值152可能落在最大组之上，将最小组和最大组设计成开口形式；

按照“上限不在组内”的原则，用划记法统计各组内数据的个数——企业数，也可以用Excel进行排序统计(见Excel练习题2.2)，将结果填入表内，得到频数分布表如下表中的左两列；

将各组企业数除以企业总数40，得到各组频率，填入表中第三列； 在向上的数轴中标出频数的分布，由下至上逐组计算企业数的向上累积及频率的

2

向上累积，由上至下逐组计算企业数的向下累积及频率的向下累积。

整理得到频数分布表如下：

40个企业按产品销售收入分组表 按销售收入分组 企业数 频率 向上累积 （万元） （个） （%） 企业数 频率 100以下 100～110 110～120 120～130 130～140 140以上 合计 5 9 12 7 4 3 40 12.5 22.5 30.0 17.5 10.0 7.5 100.0 5 14 26 33 37 40 — 12.5 35.0 65.0 82.5 92.5 100.0 — 向下累积 企业数 40 35 26 14 7 3 — 频率 100.0 87.5 65.0 35.0 17.5 7.5 — （2）按题目要求分组并进行统计，得到分组表如下： 某管理局下属40个企分组表

按销售收入分组（万元） 企业数（个）

先进企业 11

良好企业 一般企业 落后企业 合计

11 9 9 40

频率（%） 27.5 27.5 22.5 22.5 100.0

● 3.某百货公司连续40天的商品销售额如下（单位：万元）：

41 25 29 47 38 34 30 38 43 46 36 45 37 37 36 45 43 33

40

44

35 28 46 34 30 37 44 26 38 44 42 36 37 37 49 39 42 32 36 35 根据上面的数据进行适当的分组，编制频数分布表，并绘制直方图。 解：全部数据中，最大的为49，最小的为25，知数据全距为49－25=24；

为便于计算和分析，确定将数据分为5组，各组组距为5，组限以整5的倍数划分；

为使数据的分布满足穷尽和互斥的要求，注意到，按上面的分组方式，最小值24已落在最小组之中，最大值49已落在最大组之中，故将各组均设计成闭口形式；

按照“上限不在组内”的原则，用划记法或用Excel统计各组内数据的个数——天数，(见Excel练习题2.3)并填入表内，得到频数分布表如下表中的左两列；

将各组天数除以总天数40，得到各组频率，填入表中第三列；

得到频数分布表如下：

某百货公司日商品销售额分组表

按销售额分组（万元）

25～30 30～35 35～40 40～45 45～50

频数（天）

4 6 15 9 6

频率（%） 10.0 15.0 37.5 22.5 15.0

3

合计 40 100.0

直方图：将上表(包含总标题，去掉合计栏)复制到Excel表中，点击：图表向导→柱形图→选择子图表类型→完成。即得到如下的直方图：(见Excel练习题2.3)

40302010025303540

●４.为了确定灯泡的使用寿命（小时），在一批灯泡中随机抽取100只进行测试，所得结果如下：

700 716 728 719 685 709 691 684 705 718

706 708 668 706 694 688 701 693

715 729 710 692 690 689 671 697

712 694 693 691 736 683 718 664

722 681 697 747 689 685 707 681

691 695 674 699 696 702 683 721

708 685 658 682 651 741 717 720

690 706 698 698 673 698 733 677

692 661 666 700 749 713 712 679

707 735 696 710 708 676 683 695

701 665 698 722 727 702 692 691

713 699 725 726 704 729 703 696 717 688 (1)利用计算机对上面的数据进行排序；

(2)以组距为10进行等距分组，整理成频数分布表，并绘制直方图； (3)绘制茎叶图，并与直方图作比较。 解：（1）排序：将全部数据复制到Excel中，并移动到同一列，点击：数据→排序→确定，即完成数据排序的工作。(见Excel练习题2.4)

（2）按题目要求，利用已排序的Excel表数据进行分组及统计，得到频数分布表如下： (见Excel练习题2.4)

100只灯泡使用寿命非频数分布

按使用寿命分组（小时） 灯泡个数（只）

650~660 660~670 670~680 680~690 690~700 700~710 710~720 720~730 730~740 740~750

45某百货公司日商品销售额分组表 频数（天）某百货公司日商品销售额分组表 频率（%）30354045～～～～～50频率（%）

2 5 6 14 26 18 13 10 3 3

4

2 5 6 14 26 18 13 10 3 3

合计 100 100

制作直方图：将上表(包含总标题，去掉合计栏)复制到Excel表中，选择全表后，点击：图表向导→柱形图→选择子图表类型→完成。即得到如下的直方图：

(见Excel练习题2.4)

302520151050

（3）制作茎叶图：以十位以上数作为茎，填入表格的首列，将百、十位数相同的数据的个位数按由小到大的顺序填入相应行中，即成为叶，

得到茎叶图如下：

65 1 8 66 1 4 5 6 8 67 1 3 4 6 7 9 68 1 1 2 3 3 3 4 5 5 5 8 8 9 9 676600~696800~717000~737200~74065100只灯泡使用寿命非频数分布灯泡个数100只灯泡使用寿命非频数分布频率（%）0~ 69 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 6 7 7 8 8 8 8 9 9 70 0 0 1 1 2 2 3 4 5 6 6 6 7 7 8 8 8 9 71 0 0 2 2 3 3 5 6 7 7 8 8 9 72 0 1 2 2 5 6 7 8 9 9 73 3 5 6 74 1 4 7 将直方图与茎叶图对比，可见两图十分相似。 ●５.下面是北方某城市1～2月份各天气温的记录数据：

-3 2 -4 -7 -11 -1 7 8

-14 -6 -8 -14 -3

-18 -8 -6 -22 2

-15 -12 -15 -13 -4

-9 -16 -11 -9 -4

-6 -19 -12 -6 -16

-1 -15 -19 0 -1

0 -22 -25 -1 7

5 -25 -24 5 5

9 -4 -24 -18 -4 -6

-6 -9 -19 -17 -9 -5

-7 -3 -21 -24 -3

(1) 指出上面的数据属于什么类型; (2) 对上面的数据进行适当的分组；

(3) 绘制直方图，说明该城市气温分布的特点。 解：（1）由于各天气温的记录数据属于数值型数据，它们可以比较高低，且0不表示没有，因此是定距数据。

（2）分组如下：

由于全部数据中，最大的为9，最小的为－25，知数据全距为9－(－25)=34；

5

合计

2

120 1614666.668

表格中(x－426.67)f的计算方法： 方法一：将表格复制到Excel表中，点击第三列的顶行单元格后，在输入栏中输入：=(a3－426.67)* (a3－426.67)*b3，回车，得到该行的计算结果；

点选结果所在单元格，并将鼠标移动到该单元格的右下方，当鼠标变成黑“＋”字时，压下左键并拉动鼠标到该列最后一组数据对应的单元格处放开，则各组数据的(x－426.67)f计算完毕；

于是得标准差：(见Excel练习题2.11)

s =22

?(x?i?x)ff?1=1614666.668120?1=116.48（万元）。

点击第三列的合计单元格后，点击菜单栏中的“∑”号，回车，即获得第三列数据的和。 方法二：将各组组中值x复制到Excel的A列中，并按各组次数f在同列中复制，使该

列中共有f个x，120个数据生成后，点选A列的最末空格，再点击菜单栏中“∑”符号右边的小三角“▼”，选择“其它函数”→选择函数“STDEV” →“确定”，在出现的函数参数窗口中的Number1右边的空栏中输入：A1:A30，→“确定”，即在A列最末空格中出现数值：116.4845，即为这120个数据的标准差。(见Excel练习题2.11)

于是得标准差：

s =116.4845（万元）。

●12.为研究少年儿童的成长发育状况，某研究所的一位调查人员在某城市抽取100名7～17岁的少年儿童作为样本，另一位调查人员则抽取了1000名7~17岁的少年儿童作为样本。请回答下面的问题，并解释其原因。

（1）哪一位调查研究人员在其所抽取的样本中得到的少年儿童的平均身高较大？或者

这两组样本的平均身高相同？

（2）哪一位调查研究人员在其所抽取的样本中得到的少年儿童身高的标准差较大？或

者这两组样本的标准差相同？

（3）哪一位调查研究人员有可能得到这1100名少年儿童的最高者或最低者？或者对

两位调查研究人员来说，这种机会是相同的？

解：（1）（2）两位调查人员所得到的平均身高和标准差应该差不多相同，因为均值和标准差的大小基本上不受样本大小的影响。

（3）具有较大样本的调查人员有更大的机会取到最高或最低者，因为样本越大，变化的范围就可能越大。

●13.一项关于大学生体重状况的研究发现，男生的平均体重为60公斤，标准差为5公斤；女生的平均体重为50公斤，标准差为5公斤。请回答下面的问题： （1）是男生的体重差异大还是女生的体重差异大？为什么？ （2）以磅为单位（1公斤＝2.2磅），求体重的平均数和标准差。

（3）粗略地估计一下，男生中有百分之几的人体重在55公斤到65公斤之间？ （4）粗略地估计一下，女生中有百分之几的人体重在40公斤到60公斤之间？ 解：（1）由于两组的平均体重不相等，应通过比较离散系数确定体重差异较大的组：

因为女生的离散系数为 V=

sx＝

550＝0.1

男生体重的离散系数为 V=

sx＝

560＝0.08

11

对比可知女生的体重差异较大。

（2） 男生：x=

60公斤2.2公斤50公斤2.2公斤＝27.27（磅），s =

5公斤2.2公斤5公斤=2.27（磅）；

女生：x= （3）68%；

（4）95%。

=22.73（磅），s =

2.2公斤=2.27（磅）；

● 14.对10名成年人和10名幼儿的身高（厘米）进行抽样调查，结果如下：

成年组 166 169 172 177 180 170 172 174 168 173 幼儿组 68 69 68 70 71 73 72 73 74 75

（1）要比较成年组和幼儿组的身高差异，你会采用什么样的指标测度值？为什么？

（2）比较分析哪一组的身高差异大？ 解：（1）应采用离散系数，因为成年人和幼儿的身高处于不同的水平，采用标准差比较不合适。离散系数消除了不同组数据水平高低的影响，采用离散系数就较为合理。

（2）利用Excel进行计算，得成年组身高的平均数为172.1，标准差为4.202，从而得：

成年组身高的离散系数：vs?4.2172.12.49771.3?0.024；

又得幼儿组身高的平均数为71.3，标准差为2.497，从而得：

幼儿组身高的离散系数：vs??0.035；

由于幼儿组身高的离散系数大于成年组身高的离散系数，说明幼儿组身高的离散程度相对较大。

15.一种产品需要人工组装，现有三种可供选择的组装方法。为检验哪种方法更好，随机抽取15个工人，让他们分别用三种方法组装。下面是15个工人分别用三种方法在相同的时间内组装的产品数量（单位：个）：

方法A 方法B 方法C

164 167 168 165 170 165 164 168 164 162 163 166 167 166 165

129 130 129 130 131 130 129 127 128 128 127 128 128 125 132

125 126 126 127 126 128 127 126 127 127 125 126 116 126 125

（1） 你准备采用什么方法来评价组装方法的优劣？

12

（2） 如果让你选择一种方法，你会作出怎样的选择？试说明理由。 解：(1)下表给计算出这三种组装方法的一些主要描述统计量：

方法A 平均 中位数 众数 标准偏差 极差 最小值 最大值 165.6 165 164 2.13 8 162 170 方法B 平均 中位数 众数 标准偏差 极差 最小值 最大值 128.73 129 128 1.75 7 125 132 方法C 平均 中位数 众数 标准偏差 极差 最小值 最大值 125.53 126 126 2.77 12 116 128 评价优劣应根据离散系数，据上得： 方法A的离散系数VA=方法B的离散系数VB=方法C的离散系数VC=

2.13165.61.75=0.0129， =0.0136， =0.0221；

128.732.77125.53 对比可见，方法A的离散系数最低，说明方法A最优。

(2)我会选择方法A，因为方法A的平均产量最高而离散系数最低，说明方法A的产量高且稳定，有推广意义。

16.在金融证券领域，一项投资的的预期收益率的变化通常用该项投资的风险来衡量。预期收益率的变化越小，投资风险越低，预期收益率的变化越大，投资风险就越高。下面的两个直方图，分别反映了200种商业类股票和200种高科技类股票的收益率分布。在股票市场上，高收益率往往伴随着高风险。但投资于哪类股票，往往与投资者的类型有一定关系。

（1）你认为该用什么样的统计测度值来反映投资的风险？

（2）如果选择风险小的股票进行投资，应该选择商业类股票还是高科技类股票？

（3）如果你进行股票投资，你会选择商业类股票还是高科技类股票？

-30 0 30 60 -30 0 30 60 收 益 率 收 益 率

(a)商业类股票 (b) 高科技类股票

解：（1）方差或标准差；（2）商业类股票；（3）（略）。

17.下图给出了2000年美国人口年龄的金字塔，其绘制方法及其数字说明与【例2.10】相同，试对该图反映的人口、政治、社会、经济状况进行分析。

频数

50 频数

50 25 25 0 0 13

2000年美国人口年龄结构金字塔95-99(01-05)90-94(06-10)85-89(11-15)80-84(16-20)75-79(21-25)70-74(26-30)65-69(31-35)60-64(36-40)55-59(41-45)50-54(46-50)45-49(51-55)40-44(56-60)35-39(61-65)30-34(66-70)25-29(71-75)20-24(76-80)15-19(81-85)10-14(86-90)5-9(91-95)0-4(96-00)-20-10010女男年龄20

人数（百万）第3章 概率与概率分布——练习题(全免)

1 .某技术小组有12人，他们的性别和职称如下，现要产生一名幸运者。试求这位幸运者分别是以下几种可能的概率：（1）女性；（2）工程师；（3）女工程师，（4）女性或工程师。并说明几个计算结果之间有何关系？

序号 性别 1 男 2 男 3 男 4 女 5 男 6 男 7 女 8 男 9 女 10 女 11 男 12 男 职称 工程师 技术员 技术员 技术员 技术员 工程师 工程师 技术员 技术员 工程师 技术员 技术员 解:设A＝女性，B＝工程师，AB＝女工程师，A+B＝女性或工程师 （1）P(A)＝4/12＝1/3 （2）P(B)＝4/12＝1/3 （3）P(AB)＝2/12＝1/6

（4）P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1/3＋1/3－1/6＝1/2

2. 某种零件加工必须依次经过三道工序，从已往大量的生产记录得知，第一、二、三道工序的次品率分别为0.2，0.1，0.1，并且每道工序是否产生次品与其它工序无关。试求这种零件的次品率。

解:求这种零件的次品率，等于计算“任取一个零件为次品”（记为A）的概率P(A)。 考虑逆事件A?“任取一个零件为正品”，表示通过三道工序都合格。据题意，有：

P(A)?(1?0.2)(1?0.1)(1?0.1)?0.648

14

于是 P(A)?1?P(A)?1?0.648?0.352

3. 已知参加某项考试的全部人员合格的占80％，在合格人员中成绩优秀只占15％。试求任一参考人员成绩优秀的概率。

解:设A表示“合格”，B表示“优秀”。由于B＝AB，于是

P(B)＝P(A)P(B|A)＝0.8×0.15＝0.12

4. 某项飞碟射击比赛规定一个碟靶有两次命中机会（即允许在第一次脱靶后进行第二次射击）。某射击选手第一发命中的可能性是80％，第二发命中的可能性为50％。求该选手两发都脱靶的概率。

解:设A＝第1发命中。B＝命中碟靶。求命中概率是一个全概率的计算问题。再利用对立事件的概率即可求得脱靶的概率。

P(B)＝P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) ＝0.8×1＋0.2×0.5＝0.9 脱靶的概率＝1－0.9＝0.1

或（解法二）：P(脱靶)＝P(第1次脱靶)×P(第2次脱靶)＝0.2×0.5＝0.1

5.已知某地区男子寿命超过55岁的概率为84％，超过70岁以上的概率为63%。试求任一刚过55岁生日的男子将会活到70岁以上的概率为多少？ 解: 设A＝活到55岁，B＝活到70岁。所求概率为：

P(B|A)＝P(AB)P(A)＝P(B)P(A)＝0.630.84＝0.75

6.某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95％的占四成，优质率维持在原来水平（即80%）的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策？

解:这是一个计算后验概率的问题。

设A＝优质率达95％，A＝优质率为80％，B＝试验所生产的5件全部优质。 P(A)＝0.4，P(A)＝0.6，P(B|A)=0.955， P(B|A)=0.85，所求概率为：

P(A|B)＝P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)＝0.309510.50612＝0.6115

决策者会倾向于采用新的生产管理流程。

7. 某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25％、30％和45％。这三个企业产品的次品率分别为4％、5％、3％。如果从这些产品中随机抽出一件，试问：（1）抽出次品的概率是多少？（2）若发现抽出的产品是次品，问该产品来自丙厂的概率是多少？

解:令A1、A2、A3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B表示次品。由题意得：P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.30， P(A3)＝0.45；P(B|A1)＝0.04，P(B|A2)＝0.05，P(B|A3)＝0.03；因此，所求概率分别为：

（1）P(B)＝P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?P(A3)P(B|A3)

15

＝0.25×0.04＋0.30×0.05＋0.45×0.03＝0.0385 （2）P(A3|B)＝0.45?0.030.25?0.04＋0.30?0.05＋0.45?0.03＝0.01350.0385＝0.3506

8.某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布及其期望值和方差、标准差。

解:据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p＝24/(24+36)＝0.4。

设途中遇到红灯的次数＝X，因此，X～B(3，0.4)。其概率分布如下表： xi 0 1 2 3 P(X= xi) 0.216 0.432 0.288 0.064 期望值（均值）＝1.2（次），方差＝0.72，标准差＝0.8485（次） 9. 一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人，据测算被保险人一年中的死亡率为万分之5。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该项保险中（这里不考虑保险公司的其它费用）：

（1）至少获利50万元的概率； （2）亏本的概率；

（3）支付保险金额的均值和标准差。

解:设被保险人死亡数＝X，X～B(20000，0.0005)。

（1）收入＝20000×50（元）＝100万元。要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人。所求概率为：P(X ≤10)＝0.58304。 （2）当被保险人死亡数超过20人时，保险公司就要亏本。所求概率为： P(X>20)＝1－P(X≤20)＝1－0.99842＝0.00158 （3）支付保险金额的均值＝50000×E(X) ＝50000×20000×0.0005（元）＝50（万元） 支付保险金额的标准差＝50000×σ(X)

＝50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2＝158074（元） 10.对上述练习题3.09的资料，试问：

（1）可否利用泊松分布来近似计算？ （2）可否利用正态分布来近似计算？

（3）假如投保人只有5000人，可利用哪种分布来近似计算？

解: （1）可以。当n很大而p很小时，二项分布可以利用泊松分布来近似计算。本例中，λ= np=20000×0.0005=10，即有X～P(10)。计算结果与二项分布所得结果几乎完全一致。

（2）也可以。尽管p很小，但由于n非常大，np和np(1-p)都大于5，二项分布也可以利用正态分布来近似计算。

本例中，np=20000×0.0005=10，np(1-p)=20000×0.0005×(1-0.0005)=9.995， 即有X ～N(10,9.995)。相应的概率为： P(X ≤10.5)＝0.51995，P(X≤20.5)＝0.853262。

可见误差比较大（这是由于P太小，二项分布偏斜太严重）。

【注】由于二项分布是离散型分布，而正态分布是连续性分布，所以，用正态分布来近似计算二项分布的概率时，通常在二项分布的变量值基础上加减0.5作为正态分布对应的区间点，这就是所谓的“连续性校正”。

（3）由于p＝0.0005，假如n=5000，则np＝2.5<5，二项分布呈明显的偏态，用正态分

16

布来计算就会出现非常大的误差。此时宜用泊松分布去近似。

11.某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品。试求该企业生产的电池的：（1）合格率是多少？（2）电池寿命在200左右多大的范围内的概率不小于0.9。 解:（1）P(X?150)?P(Z?150?20030)＝P(Z??1.6667)＝0.04779

合格率为1-0.04779＝0.95221或95.221％。

(2) 设所求值为K，满足电池寿命在200±K小时范围内的概率不小于0.9，即有：

P(|X?200|?K)?P{|Z|＝|X?200|30?K30}?0.9

即：P{Z?K30}?0.95，K/30≥1.64485,故K≥49.3456。

12.某商场某销售区域有6种商品。假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。求：（1）在同一时刻需用咨询的商品种数的最可能值是多少？（2）若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少？

解:设X ＝同一时刻需用咨询服务的商品种数，由题意有X～B(6,0.2)

（1）X的最可能值为：X0＝[(n+1)p]＝[7×0.2]＝1 （取整数）

2（2）P(X?2)?1?P(X?2)?1?＝1-0.9011＝0.0989

?C60.2k?0kk0.86?k

第4章 抽样与抽样分布——练习题(全免)

1. 一个具有n?64个观察值的随机样本抽自于均值等于20、标准差等于16的总体。

⑴ 给出x的抽样分布（重复抽样）的均值和标准差

⑵ 描述x的抽样分布的形状。你的回答依赖于样本容量吗？ ⑶ 计算标准正态z统计量对应于x?15.5的值。 ⑷ 计算标准正态z统计量对应于x?23的值。 解: 已知 n=64，为大样本，μ=20，σ=16， ⑴在重复抽样情况下，x的抽样分布的均值为

a. 20, 2 b. 近似正态 c. -2.25 d. 1.50

2 . 参考练习4.1求概率。

⑴x<16； ⑵x>23； ⑶x>25； ⑷.x落在16和22之间； ⑸x<14。

解: a. 0.0228 b. 0.0668 c. 0.0062 d. 0.8185 e. 0.0013

3. 一个具有n?100个观察值的随机样本选自于??30、??16的总体。试求下列概率的近似值：

解: a. 0.8944 b. 0.0228 c. 0.1292 d. 0.9699

17

4. 一个具有n?900个观察值的随机样本选自于??100和??10的总体。

⑴ 你预计x的最大值和最小值是什么？ ⑵ 你认为x至多偏离?多么远？

⑶ 为了回答b你必须要知道?吗？请解释。 解:a. 101, 99 b. 1 c. 不必

5. 考虑一个包含x的值等于0，1，2，…，97，98，99的总体。假设x的取值的可能性是相同的。则运用计算机对下面的每一个n值产生500个随机样本，并对于每一个样本计算x。对于每一个样本容量，构造x的500个值的相对频率直方图。当n值增加时在直方图上会发生什么变化？存在什么相似性？这里n?2,n?5,n?10,n?30和n?50。

解:趋向正态

6. 美国汽车联合会（AAA）是一个拥有90个俱乐部的非营利联盟，它对其成员提供旅行、

金融、保险以及与汽车相关的各项服务。1999年5月，AAA通过对会员调查得知一个4口之家出游中平均每日餐饮和住宿费用大约是213美元（《旅行新闻》Travel News，1999年5月11日）。假设这个花费的标准差是15美元，并且AAA所报道的平均每日消费是总体均值。又假设选取49个4口之家，并对其在1999年6月期间的旅行费用进行记录。 ⑴ 描述x（样本家庭平均每日餐饮和住宿的消费）的抽样分布。特别说明x服从怎样

的分布以及x的均值和方差是什么？证明你的回答；

⑵ 对于样本家庭来说平均每日消费大于213美元的概率是什么？大于217美元的概率

呢？在209美元和217美元之间的概率呢？

解： a. 正态分布, 213, 4.5918 b. 0.5, 0.031, 0.938

7. 技术人员对奶粉装袋过程进行了质量检验。每袋的平均重量标准为??406克、标准差

为??10.1克。监控这一过程的技术人者每天随机地抽取36袋，并对每袋重量进行测量。现考虑这36袋奶粉所组成样本的平均重量x。

（1）描述x的抽样分布，并给出?x和?x的值，以及概率分布的形状；

（3） 假设某一天技术人员观察到x?400.8，这是否意味着装袋过程出

现问题了呢，为什么？

解： a. 406, 1.68, 正态分布 b. 0.001 c. 是，因为小概率出现了

8. 在本章的统计实践中，某投资者考虑将1000美元投资于n?5种不同的股票。每一种股

票月收益率的均值为??10%，标准差??4%。对于这五种股票的投资组合，投资

?3.2，它是n5投资者所面临风险的一个度量。 ⑴ 假如投资者将1000美元仅投资于这5种股票的其中3种，则这个投资者所面对的

风险将会增加还是减少？请解释；

⑵ 假设将1000美元投资在另外10种收益率与上述的完全一样的股票，试度量其风险，

并与只投资5种股票的情形进行比较。

解：a. 增加 b. 减少

9. 某制造商为击剑运动员生产安全夹克，这些夹克是以剑锋刺入其中时所需的最小力量（以

牛顿为单位）来定级的。如果生产工艺操作正确，则他生产的夹克级别应平均840牛顿，标准差15牛顿。国际击剑管理组织（FIE）希望这些夹克的最低级别不小于800牛顿。为了检查其生产过程是否正常，某检验人员从生产过程中抽取了50个夹克作为一个随机样本进行定级，并计算x，即该样本中夹克级别的均值。她假设这个过程的标准差是固定的，但是担心级别均值可能已经发生变化。 ⑴ 如果该生产过程仍旧正常，则x的样本分布为何？ ⑵ 假设这个检验人员所抽取样本的级别均值为830牛顿，则如果生产过程正常的话，

18

者每月的收益率是r??ri。投资者的每月收益率的方差是?2r??2样本均值x≤830牛顿的概率是多少？ ⑶ 在检验人员假定生产过程的标准差固定不变时，你对b部分有关当前生产过程的现

状有何看法（即夹克级别均值是否仍为840牛顿）？

⑷ 现在假设该生产过程的均值没有变化，但是过程的标准差从15牛顿增加到了45牛

顿。在这种情况下x的抽样分布是什么？当x具有这种分布时，则x≤830牛顿的概率是多少？

解： a. 正态 b. 约等于0 c. 不正常 d. 正态, 0.06

10. 在任何生产过程中，产品质量的波动都是不可避免的。产品质量的变化可被分成两类：

由于特殊原因所引起的变化（例如，某一特定的机器），以及由于共同的原因所引起的变化（例如，产品的设计很差）。

一个去除了质量变化的所有特殊原因的生产过程被称为是稳定的或者是在统计控制中的。剩余的变化只是简单的随机变化。假如随机变化太大，则管理部门不能接受，但只要消除变化的共同原因，便可减少变化（Deming,1982,1986;De Vor, Chang,和Sutherland,1992）。

通常的做法是将产品质量的特征绘制到控制图上，然后观察这些数值随时间如何变动。例如，为了控制肥皂中碱的数量，可以每小时从生产线中随机地抽选n?5块试验肥皂作为样本，并测量其碱的数量，不同时间的样本含碱量的均值x描绘在下图中。假设这个过程是在统计控制中的，则x的分布将具有过程的均值?，标准差具有过程

的标准差除以样本容量的平方根，?。下面的控制图中水平线表示过程均值，n两条线称为控制极限度，位于?的上下3?x的位置。假如x落在界限的外面，则有充

x??分的理由说明目前存在变化的特殊原因，这个过程一定是失控的。

当生产过程是在统计控制中时，肥皂试验样本中碱的百分比将服从??2%和

??1%的近似的正态分布。

⑴ 假设n?4,则上下控制极限应距离?多么远？ ⑵ 假如这个过程是在控制中，则x落在控制极限之外的概率是多少？

⑶ 假设抽取样本之前，过程均值移动到??3%，则由样本得出这个过程失控的（正

确的）结论的概率是多少？

解：a. 0.015 b. 0.0026 c. 0.1587 4.11. 参考练习4.10。肥皂公司决定设置比练习4.10中所述的3?x这一限度更为严格的控制

极限。特别地，当加工过程在控制中时，公司愿意接受x落在控制极限外面的概率是

0.10。 ⑴ 若公司仍想将控制极限度设在与均值的上下距离相等之处，并且仍计划在每小时的

样本中使用n?4个观察值，则控制极限应该设定在哪里？

?现在是3%⑵ 假设a部分中的控制极限已付诸实施，但是公司不知道，（而不是2%）。若n?4，则x落在控制极限外面的概率是多少？若n?9呢？

解： a. (0.012, 0.028) b. 0.6553, 0.7278

4.12. 参考练习4.11。为了改进控制图的敏感性，有时将警戒线与控制极限一起画在图上。

19

警戒限一般被设定为??1.96?x。假如有两个连续的数据点落在警戒限之外，则这个过程一定是失控的（蒙哥马利，1991年）。 ⑴ 假设肥皂加工过程是在控制中（即，它遵循??2%和??1%的正态分布），则x的下一个值落在警戒限之外的概率是什么？ ⑵ 假设肥皂加工过程是在控制中，则你预料到画在控制图上的x的这40个值中有多

少个点落在上控制极限以上？ ⑶ 假设肥皂加工过程是在控制中，则x的两个未来数值落在下警戒线以下的概率是多

少？

解： a. 0.05 b. 1 c. 0.000625

第5章 参数估计

●1. 从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本，样本均值为25。

（1） 样本均值的抽样标准差σx等于多少？

（2） 在95%的置信水平下，允许误差是多少？

解：已知总体标准差σ=5，样本容量n=40，为大样本，样本均值x=25， （1）样本均值的抽样标准差σx=σn=540/2=0.7906

（2）已知置信水平1－α=95%，得 Zα于是，允许误差是E =Zασ/2=1.96，

=1.96×0.7906=1.5496。 n●2.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。

（3） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （4） 在95%的置信水平下，求允许误差；

（5） 如果样本均值为120元，求总体均值95%的置信区间。 解：（1）已假定总体标准差为σ=15元， 则样本均值的抽样标准误差为 σx=σn=1549=2.1429

（2）已知置信水平1－α=95%，得 Zα于是，允许误差是E =Zασ/2/2=1.96，

=1.96×2.1429=4.2000。 n（3）已知样本均值为x=120元，置信水平1－α=95%，得 Zα 这时总体均值的置信区间为 x?Zασ/2/2=1.96，

=120±4.2=n124.2115.8

可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。

20

●3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）：

3.3

3.1

6.2

5.8

2.3

4.1

5.4

4.5

3.2

4.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.3

2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5

求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。 解：⑴计算样本均值x：将上表数据复制到Excel表中，并整理成一列，点击最后数据下面空格，选择自动求平均值，回车，得到x=3.316667，

⑵计算样本方差s：删除Excel表中的平均值，点击自动求值→其它函数→STDEV→选定计算数据列→确定→确定，得到s=1.6093

也可以利用Excel进行列表计算：选定整理成一列的第一行数据的邻列的单元格，输入“＝(a7-3.316667)^2”，回车，即得到各数据的离差平方，在最下行求总和，得到：

（x?i-）x=90.65

2再对总和除以n-1=35后，求平方根，即为样本方差的值

s=（x?i-x）2n?1=90.6535=1.6093。

⑶计算样本均值的抽样标准误差： 已知样本容量 n=36，为大样本， 得样本均值的抽样标准误差为 σx=sn=1.609336=0.2682

⑷分别按三个置信水平计算总体均值的置信区间：

① 置信水平为90%时：

由双侧正态分布的置信水平1－α=90%，通过2β－1=0.9换算为单侧正态分布的置信水平β=0.95，查单侧正态分布表得 Zα 计算得此时总体均值的置信区间为

x?Zαs/2/2=1.64，

=3.3167±1.64×0.2682=

3.75652.8769n

可知，当置信水平为90%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.87，3.76）小时；

② 置信水平为95%时：

由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得 Zα 计算得此时总体均值的置信区间为

x?Zαs/2/2=1.96，

=3.3167±1.96×0.2682=

3.84232.7910n

21

可知，当置信水平为95%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.79，3.84）小时；

③ 置信水平为99%时：

若双侧正态分布的置信水平1－α=99%，通过2β－1=0.99换算为单侧正态分布的置信水平β=0.995，查单侧正态分布表得 Zα 计算得此时总体均值的置信区间为

x?Zαs/2/2=2.58，

=3.3167±2.58×0.2682=

4.00872.6247

n 可知，当置信水平为99%时，该校大学生平均上网时间的置信区间为（2.62，4.01）小时。

4. 从一个正态总体中随机抽取容量为8 的样本，各样本值分别为：10,8,12,15,6,13,5,11。求总体均值95%的置信区间。 解：（7.1,12.9）。

5.某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样本，他们到单位的距离（公里）分别是：

10 3 14 8 6 9 12 11 7 5 10 15 9 16 13 2 求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。 解：（7.18,11.57）。

●6. 在一项家电市场调查中，随机抽取了200个居民户，调查他们是否拥有某一品牌的电视机。其中拥有该品牌电视机的家庭占23%。求总体比率的置信区间，置信水平分别为90%和95%。

解：已知样本容量n =200，为大样本，拥有该品牌电视机的家庭比率p =23%，

拥有该品牌电视机的家庭比率的抽样标准误差为

σp=

p(1?p)n=0.23?0.77200=2.98% ⑴双侧置信水平为90%时，通过2β－1=0.90换算为单侧正态分布的置信水平β=0.95，查单侧正态分布表得 Zα=1.64，

p(1?p)/2/2 此时的置信区间为 p?Zαn=23%±1.64×2.98%=

27.89.11%

可知，当置信水平为90%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为

（18.11%，27.89%）。

⑵双侧置信水平为95%时，得 Zα 此时的置信区间为 p?Zα/2=1.96，

28.8408.1592%p(1?p)/2n=23%±1.96×2.98%=

可知，当置信水平为95%时，拥有该品牌电视机的家庭总体比率的置信区间为

；（17.16%，28.84%）。

22

●7.某居民小区共有居民500户，小区管理者准备采取一项新的供水设施，想了解居民是否赞成。采取重复抽样方法随机抽取了50户，其中有32户赞成，18户反对。 （1）求总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间，置信水平为95%；

（2）如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取多少户进行调查？ 解： 已知总体单位数N=500，重复抽样，样本容量n =50，为大样本，

样本中，赞成的人数为n1=32，得到赞成的比率为 p =

p(1?p)nn1n=

3250=64%

（1）赞成比率的抽样标准误差为 =0.64?0.3650/2=6.788%

由双侧正态分布的置信水平1－α=95%，得 Zα=1.96，

计算得此时总体户数中赞成该项改革的户数比率的置信区间为 p?Zα77.304%p(1?p)= 64%±1.96×6.788%=

50.696%n/2可知，置信水平为95%时，总体中赞成该项改革的户数比率的置信区间为

（50.70%,77.30%）。

（2）如预计赞成的比率能达到80%，即 p=80%， 由

p(1?p)=6.788%，即n0.8?0.2n=6.788% 得样本容量为 n =

0.8?0.2(6.788%)2= 34.72 取整为35，

即可得，如果小区管理者预计赞成的比率能达到80%，应抽取35户进行调查。

8.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：

来自总体1的样本

n1?14 x1?53.2

s1?96.8

2来自总体2的样本

n2?7 x2?43.4

s2?102.0

2（1） 求?1??290%的置信区间；

（2） 求?1??295%的置信区间。 解：（1.86,17.74）；（0.19,19.41）。

9.从两个正态总体中分别抽取两个独立的随机样本，它们的均值和标准差如下表：

来自总体1的样本 来自总体2的样本

x1?25

s1?16

2x2?23

s2?20

2（1）设n1?n2?100，求?1??295%的置信区间；

23

（2）设n1?n2?10，?1??2，求?1??295%的置信区间； （3）设n1?n2?10，?1??2，求?1??295%的置信区间； （4）设n1?10,n2?20，?1??2，求?1??295%的置信区间；

（5）设n1?10,n2?20，?1??2，求?1??295%的置信区间。 解：（1）2±1.176；（2）2±3.986；（3）2±3.986；（4）2±3.587；（5）2±3.364。 10.下表是由4对观察值组成的随机样本：

配对号 来自总体A的样本 来自总体B的样本

1 2 3 4

2 5 10 8

0 7 6 5

22222222（1）计算A与B各对观察值之差，再利用得出的差值计算d和sd；

（2）设?1和?2分别为总体A和总体B的均值，构造?d(?1??2)95%的置信区间。 解：（1）d?1.75，sd?2.63；（2）1.75±4.27。

11.从两个总体中各抽取一个n1?n2?250的独立随机样本，来自总体1的样本比率为p1?40%，来自总体2的样本比率为p2?30%。

（1）构造?1??290%的置信区间；

（2）构造?1??295%的置信区间。 解：（1）10%±6.98%；（2）10%±8.32%。

12.生产工序的方差是共需质量的一个重要度量。当方差较大时，需要对共需进行改进以减小方差。下面是两部机器生产的袋茶重量（克）的数据： 机器1 3.45 3.20 3.22 3.50 2.95 3.16 3.20 3.22 2.98 3.75 3.38 3.45 3.48 3.18 2机器2 3.90 3.70 3.28 3.35 3.20 3.12 3.25 223.22 3.38 3.30 3.30 3.34 3.28 3.30 3.28 3.19 3.20 3.29 3.35 3.16 3.34 3.35 3.30 3.05 3.33 3.27 3.28 3.25 构造两个总体方差比?1?95%的置信区间。

解：（4.06,14.35）。

●13.根据以往的生产数据，某种产品的废品率为2%。如果要求95%的置信区间，若要求允许误差不超过4%，应抽取多大的样本？

解：已知总体比率?=2%=0.02，由置信水平1-α=95%，得置信度Zα/2=1.96，允许误差E≤ 4%

即由允许误差公式 E=Zα/2σpn整理得到样本容量n的计算公式：

24

n=(Zα/2σPE)=(2Zα/2π(1-π)E)=

2Z2α/2π(1-π)2E≥

1.96?0.02?0.980.0422=47.0596

由于计算结果大于47，故为保证使“≥”成立，至少应取48个单位的样本。

●14.某超市想要估计每个顾客平均每次购物花费的金额。根据过去的经验，标准差大约为120元，现要求以95%的置信水平估计每个购物金额的置信区间，并要求允许误差不超过20元，应抽取多少个顾客作为样本？

解：已知总体标准差?x=120，由置信水平1-α=95%，得置信度Zα/2=1.96，允许误差E≤ 20

即由允许误差公式 E=Zα/2Zα/2σxEσxn整理得到样本容量n的计算公式：

n=()≥(21.96?12020)=138.2976

2由于计算结果大于47，故为保证使“≥”成立，至少应取139个顾客作为样本。 15.假定两个总体的标准差分别为：?1?12，?2?15，若要求误差范围不超过5，相应的置信水平为95%，假定n1?n2，估计两个总体均值之差?1??2时所需的样本容量为多大？ 解： 57。

16.假定n1?n2，允许误差E?0.05，相应的置信水平为95%，估计两个总体比率之差

?1??2时所需的样本容量为多大？

解： 769。

第6章 假设检验——练习题(全免)

6.1 研究者想要寻找证据予以支持的假设是“新型弦线的平均抗拉强度相对于以前提高了”，

所以原假设与备择假设应为：H0:??1035，H1:??1035。

H0:??0.04，6.2 ?＝“某一品种的小鸡因为同类相残而导致的死亡率”， H1:??0.04。

6.3 H0:??65，H1:??65。

6.4 （1）第一类错误是该供应商提供的这批炸土豆片的平均重量的确大于等于60克，但

检验结果却提供证据支持店方倾向于认为其重量少于60克；

（2）第二类错误是该供应商提供的这批炸土豆片的平均重量其实少于60克，但检验

结果却没有提供足够的证据支持店方发现这一点，从而拒收这批产品； （3）连锁店的顾客们自然看重第二类错误，而供应商更看重第一类错误。 6.5 （1）检验统计量z?x??s/n，在大样本情形下近似服从标准正态分布；

（2）如果z?z0.05，就拒绝H0；

（3）检验统计量z＝2.94>1.645，所以应该拒绝H0。

25

6.6 z＝3.11，拒绝H0。 6.7 z＝1.93，不拒绝H0。 6.8 z＝7.48，拒绝H0。 6.9 ?2＝206.22，拒绝H0。 6.10 z＝-5.145，拒绝H0。 6.11 t＝1.36，不拒绝H0。 6.12 z＝-4.05，拒绝H0。 6.13 F＝8.28，拒绝H0。 6.14 （1）检验结果如下：

t-检验: 双样本等方差假设

变量 1

变量 2

平均 100.7

109.9

方差 24.11578947

33.35789474

观测值 20

20

合并方差 28.73684211

假设平均差 0 df 38

t Stat -5.427106029 P(T<=t) 单尾 1.73712E-06 t 单尾临界 1.685953066 P(T<=t) 双尾 3.47424E-06 t 双尾临界

2.024394234

t-检验: 双样本异方差假设

变量 1

变量 2

平均 100.7

109.9

方差 24.11578947

33.35789474

观测值 20 20

假设平均差 0 df 37

t Stat -5.427106029 P(T<=t) 单尾 1.87355E-06 t 单尾临界 1.687094482 P(T<=t) 双尾 3.74709E-06 t 双尾临界

2.026190487

26

（2）方差检验结果如下：

F-检验 双样本方差分析

平均 方差 观测值 df F

P(F<=f) 单尾 F 单尾临界

变量 1

100.7

24.11578947

20 19

0.722940991 0.243109655 0.395811384

变量 2

109.9

33.35789474

20 19

第7章 方差分析与试验设计——练习题(全免)

7.1 F?4.6574?F0.01?8.0215(或P?value?0.0409???0.01)，不能拒绝原假设。 7.2 F?17.0684?F0.05?3.8853(或P?value?0.0003???0.05)，拒绝原假设。

xA?xB?44.4?30?14.4?LSD?5.85，拒绝原假设； xA?xC?44.4?42.6?1.8?LSD?5.85，不能拒绝原假设； xB?xC?30?42.6?12.6?LSD?5.85，拒绝原假设。

7.3 方差分析表中所缺的数值如下表： 差异源 SS df MS 组间 组内 总计 420 3836 4256 2 27 29 210 142.07 — F 1.478 — — P-value 0.245946 — — F crit 3.354131 — — F?1.478?F0.05?3.554131(或P?value?0.245946???0.05)，不能拒绝原假

设。

7.4 有5种不同品种的种子和4种不同的施肥方案，在20快同样面积的土地上，分别采用5种种子和4种施肥方案搭配进行试验，取得的收获量数据如下表：

F种子?7.2397?F0.05?3.2592(或P?value?0.0033???0.05)，拒绝原假设。 F施肥方案?9.2047?F0.05?3.4903(或P?value?0.0019???0.05)，拒绝原假设。

7.5 F地区?0.0727?F0.05?6.9443(或P?value?0.9311???0.05)，不能拒绝原假

设。F包装方法?3.1273?F0.05?6.9443(或P?value?0.1522???0.05)，不能拒绝原假设。

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7.6 F广告方案?10.75?F0.05?5.1432(或P?value?0.0104???0.05)，拒绝原假设。

F广告媒体?3?F0.05?5.9874(或P?value?0.1340???0.05)，不能拒绝原假设。

F交互作用?1.75?F0.05?5.1432(或P?value?0.2519???0.05)，不能拒绝原假

设。

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