金融工程第二版-郑振龙第十二章

第十二章 信用风险和信用衍生工具

到目前为止，我们所专注的产品全部是有保障的现金流。我们假定这些现金流、息票、支付和偿还价值来自一个完全可信赖的来源或以某种承保的方式使得收入是确定的。由于交易所的承保方式，以及另一部分原因是要求存入保证金的缘故，在交易所购买的期权通常被认为是无违约风险的。

在实务中，许多债券并没有这样的保障。也许它们是某一家公司为了扩张而发行的借款借据。在这种情况下, 发行公司可能在付清所有现金流之前就宣布破产。另外，它们也可能是政府为了支付非常规的债务发行的债券。场外市场(OTC)交易的期权可能具有显著的交易对方风险。

在存在违约风险的情况下，如何对金融资产进行估值是本章的重点。估值的方法可以分为两类：一类是围绕着发行公司(或国家)的价值问题展开的建模；另一类是围绕违约风险的建模。稍后我们还将讨论像标准普尔和穆迪等信用评级公司提供的服务。这些信用评级为人们提供了一种对公司相对资信的公开评估。

本章还将介绍在业界广泛使用的信用度量术和崩盘度量术。之后我们将讨论考虑违约风险后的衍生工具定价问题、信用衍生工具及其定价问题。

第一节 围绕公司价值的建模

这种建模方法越来越引起人们的兴趣，因为它们显然比较接近现实。缺点是这类模型的求解通常较复杂，而且在测度它们的参数上存在一定的困难。

在这里我们先介绍这类模型中最流行的一个，其参数较容易度量，然后再介绍一个相似的模型。

一、公司价值为随机变量的模型

运用公司价值对风险进行定价经常从选择公司价值的模型开始。（稍后我们将看到另一种方法）。将公司价值视为是随机的，以便我们能为因违约风险造成的债券价格随机性进行建模。隐藏在对公司估值思路背后的原形来自于Black、Scholes 和 Merton 的期权定价方法。下面我们采用的是 Longstaff 与 Schwartz 的模型。

我们暂时假定发行债券的公司具有价值A,而且A是随机的并服从随机微分方程：

dA??Adt??AdZ.

这个A将是我们的自变量之一。违约通过破产的概念来加以建模。我们将假定一旦公司的价值低于某一临界水平Ab时公司将宣布破产。

让我们考虑最简单的例子:该公司在时间 T 有一笔债务 D 要归还（这是一种无息票债券）。但在此期间如果公司破产了，该债务将无法偿还。为了使事情在开始时尽可能简单, 假定利率是固定已知的。 （一）确定利率的情况

对该公司发行的这种风险债务我们怎样才能给出一个公平的价格? 正如我们经常采用的做法，我们将运用对冲的办法。但是，如果该公司的股票不能交易，那么与该公司的债务相关联的风险是不可能轻易地被对冲的。但鉴于定价目的，我们仍可假定这种风险是可以对冲的。

由于债券价值V是公司价值A和时间的函数，运用伊腾引理（6.10）我们有：

??V?V122?2V??VdV???A???Adt??AdZ 2??A?t2?A??A?由于A和V含有相同的风险源，我们只要用一单位多头V加?V/?A单位空头A，就可

以构成瞬态无风险组合：

??V?由此我们有：

?VA. ?A??V122?2V??Vd??dV?dA????Adt 2??A?A???t2由于风险源相互抵消，?在短时间dt内只能获得无风险报酬，即：d??r?dt。这样

我们就可得到V遵循的偏微分方程：

?V?V122?2VrA???A?rV ?A?t2?A2这个方程的最终条件是V(A,T)?D，表示到期时的债务支付。由于当发行公司的价值达到 Ab 时公司将违约，故我们有边界条件V(Ab,t)?0。另外，由于利率已知，因此公司债券价值小于等于D的现值，这是另一个边界条件V(A,t)?De?r(T?t)。

这样就完成了模型的建立。在这里“破产”的债务没有任何收回是不切合实际的假设，

而且它明显将影响到边界条件。暂时我们还无需为这一问题担忧。实际中它显然在是很重要的, 而且在模型中将债务收回率考虑在内也并不是太困难的事。

（二）随机利率的情况

我们可以在上面的问题中引入一个利率模型使该模型变得更接近现实。总之，要不是存在着信用风险，我们又可以回到较简单的无风险债务定价问题上。我们并不打算在此纠缠于应选择怎样的利率模型问题上，而只是将其表示为：

dr?u(r,t)dt?w(r,t)dZ1.

我们还仍然假定：

dA??Adt??AdZ2.

在两个随机漫步之间存在着一个相关关系?。现在假定债务的价值 V 是一个三个变量的函数，则我们有 V(A, r, t)。

为了得到 V 应满足的方程，我们将一单位风险债券多头，加上?1单位价格为P(r,t)的无风险零息票债券空头和?2单位的空头A组成对冲组合:

??V(A,r,t)??1P(r,t)??2A.

根据伊藤引理，我们可以得到：

?P???V???Vd?????2?dA????1?dr?A?r?r???? 2222??V?P122?V12?V?V12?P?????1??A?w???wA?w?12?dt22?t?t2?A2?r?r?A2?r???V/?r?V，?2?来消除 dr 项和dA，这样?在短时间dt内只能获得无风

?P/?r?A险报酬，即：d??r?dt。这样我们就可得到V遵循的偏微分方程：

选择?1??P?V?V122?2V12?2V?2V12?2P?V/?r(rA?)???A?w???wA?(rP?w)?rV

?t?A?t2?A22?r2?r?A2?r2?P/?r这个方程的最终条件为V(A,r,t)?D， 表示到期时的债务支付。由于当发行公司的价值达到 Ab 时公司违约，我们有边界条件V(Ab,r,t)?0。另外，由于利率已知，因此公司债券价值小于等于D的现值，这是另一个边界条件V(A,t)?De?r(T?t)。 在公司价值和利率之间的相关关系为零时的这种特殊情况下，上述偏微分方程的解可写作如下形式：

V(A,r,t)?P(r,t;T)H(A,t). （12.1）

其中P(r,t;T)是与债务有相同到期期限的无风零息票债券。H(A,t)满足:

?H122?2H?H??A??A?0 ?t2?A2?A其边界条件为：H(Ab,t)?0, H(A,T)?1, H(A,t)?e?r(T?t), A?Ab。

所有的违约建模问题都变成关于 H 的问题。对这个模型的主要批评是它的变量和参数

很难测度。然而，作为一种现象模型它则是有用的，也许可用来估计同一家企业的不同债务类型的相对价值, 或用来估计具有相同信用等级的不同企业债务的相对价值。

二、用可测的参数和变量建模

现在我们介绍一个用易于测度的量作为输入的模型。我们在这里将专注于利率为确定时的债务定价；因为只要在模型中增加复杂性和运算时间就可以很容易将其扩展成随机利率的模型。我们将对一个经营程序非常简单的公司的债务进行定价: 它出售自己的产品, 支付成本并将所有的利润存入银行。在这个模型中的关键量是公司的收入。这些收入被认为是公司从产品销售中获得的总收入。利润就是经营总收入扣除成本。假定公司的年总收入 E 是随

1

机的：

dE??Edt??EdX。

我们假定公司的年固定成本为 E 。可变成本为 kE 。利润E - E- kE = (1 - k)E - *

E 存入银行赚取一个固定利率 r 。如果我们用 C 表示在银行账户中的现金，那么有：

t*

*

C??[(1?k)E(?)?E*]er(t??)d?.

0这个表达式表示的是公司的累积收入加上银行存款利息。求微分得到 C 应满足的随机微分方程:

dC?[(1?k)E?E*?rC]dt.

我们选择了对企业的收入建模，而不是对公司的价值建模，因为测度前者要容易得多，也许只需查看一下公司的账簿就行了。我们将看到这么做的结果是公司的价值变成了该模型的一个输出。任何时候公司经营状况的好坏将由它的收入和银行账户上的余额决定，也就是

1

当然，我们不需要选择一个对数模型，但传统做法是从对数模型开始。

由 E 和 C 决定。公司股东当然希望(1- k)E>E，然而，即使不是这样（如在交易开始时），公司收入的增长也可能最终使公司盈利。

假如公司有欠债 D 必须在时间 T 偿还。我们作一种简化假设：如果公司在时间 T 时银行账户上有 D ，那么它将会偿付债务。如果它在银行账户中的钱少于 D ，它将用银行账户中的所有款项来还款, 如果它在银行账户上的余额为负数就什么也不偿还。这使得偿还为：

max(min(C, D), 0) (12.2)

如果我们将部分偿还或债务重组结合到模型中去将使该模型更复杂。

债务的价值是关于E, C 和 t 的一个函数。将量 V(E, C, t) 看作是(12.2)式中的期望值的现值。仍然通过伊藤引理和无套利定价法，我们可以求出dV遵循的偏微分方程：

*

?V?V122?2V?VrE??E?[(1?k)E?E*?rC]?rV， 2?E?t2?E?C其最终条件为V(E, C, T) = max(min(C, D), 0)。

实际上，我们可以证明当 C 和 E 都很大时债务价值逼近无风险零息票债券的价值。将这一结论运用在对风险债务的定价上是非常有用: 借款的价值只是简单的 V(E，C，t)。而且，它只需经过简单的修改就能适应更复杂的公司。例如一种可能是公司一旦出现赤字就立刻关闭公司。这可用下列边界条件来加以建模：

V(E, 0, t) = 0。

通过改变最终条件和边界条件用上述模型来为公司估计以及考察不同商业策略对公司价值的影响就是一件非常容易的事情。举例来说, 假设我们将公司的价值取为在未来时间 T0在银行的预期现金的现值。 这样一种有限时间期限的假设是我们在估计潜在增长率快于利率的无限现金流之和的现值的时候通常采用的一种做法。

为了说明这种方法具有的灵活性，我们考虑对有限责任公司债务的估价和对无限责任的合伙公司债务的估价这两种不同问题时将采用的不同边界条件。

（一）有限责任公司

如果公司没有负债，当时间 T0 公司在银行中具有一个负的金额时，则

V(E,C,T0) = max(C, 0)。

（二）合伙企业

如果企业所有者对公司的负债负有无限偿还责任，则当C<0时， V(E,C,T0) = C。

我们不仅可以使用这个模型考察公司的法律责任, 而且可以用它来研究各种不同的操作程序对公司价值的影响。

第二节 围绕违约风险的建模

瞬态违约风险模型是便于使用的一种模型，因此也是最流行的信用风险模型类型。它最简单的形式是发生违约的时间完全是外生确定的。举例来说，我们每个月掷骰子一次，当出现数字 1 时公司将违约。这说明违约具有外生性并且它是随机的。泊松过程（Poisson process）是违约时间的一种典型选择。我们将看到如果泊松过程的密度为常数时（如同我们所举的掷骰子例子的情况），对风险债券的定价等于在债券收益率上增加一个独立于时间的利差。我们还将看到密度本身是一个随机变量的模型。作为该模型的改进我们还将考虑债

券的重新评级问题。像标准普尔和穆迪这样的公司根据他们对违约风险的评估为债券进行分类。例如，一个债券可能开始时具有较高的信用等级，但由于发行公司的表现而使其被重新评级。这种对债券的重新评级将造成对债券违约风险的直观认识上和债券市场价格上的重大的影响。我们将在第3节介绍一个风险债券重新评级的简单模型。

一、泊松过程和瞬态违约风险

建立信用风险模型的另一种方法采用了瞬态违约风险q。如果在t时刻公司没有违约，那么在t和t +dt期间的违约概率是qdt。这是泊松过程的一个实例；暂时什么也没发生，然后存在着一种状态的突变。这是我们前面的投掷骰子模型的连续时间形式。

最简单的例子是取q为常数。在这种情况下我们可以很容易地决定T时刻之前的违约风险。我们的做法如下:

设Q(t;T)是给定公司在t时刻没有违约的情况下，在T时刻之前公司不违约的概率。在t时刻公司不违约的前提下，公司在T时刻不违约的概率Q(t;T)等于公司在T-dt时刻不违约的概率Q(t;T -dt)乘以T -dt时刻到T时刻之间不违约的概率（1-qdt）。即：

Q(t;T)?Q(t;T?dt)(1?qdt)

由此可得：

dQ?qQ(t;T)。 dt如果公司从没有违约，那么Q(T; T) = 1。 这个问题的解为：

Q(t;T)?e?q(T?t)

在不考虑违约风险溢酬的情况下，有违约风险的债券价值等于无违约风险的债券价值乘以有违约风险债券不违约的概率，因此

V?e?q(T?t)F (12.3)

其中F是其它特征与风险债券相同的无风险债券的价值。这个债券的到期收益率等于

log(e?q(T?t)F)logF????q

T?tT?t因此，违约风险对收益率的影响是增加了一个价差q。在这个简单的模型中，价差对所

有的到期日是固定不变的。

现在我们将它应用在衍生证券上，包括风险债券。我们将假定即期利率是随机的。为了简化，我们将假定即期利率的扩散过程和违约事件的泊松过程之间不存在相关关系。

构造一个“对冲”的资产组合：

2

??V(r,q,t)??V/?rF(r,t)。

?F/?r在一个短时间内，若该债券不违约（其概率为(1-pdt)），则

?V?V/?r?F12?2V12?V/?r?2Fd??(??w?w)dt （12.4） 22?t?F/?r?t2?r2?F/?r?r另一方面，若该债券违约（其概率为pdt），且违约时的回收率为0，则

2

如果考虑违约风险溢酬λ，则风险债券的收益率将比无风险债券高q +λ。或者换个角度说，我们可以

把q看作包括了违约风险和违约风险溢酬。

d???V?Odt (12.5) 这是风险债券的突然损失造成的，对照而言其他的项很小。 取数学期望并省略dt的高阶项，可得：

?V?V/?r?F12?2V12?V/?r?2Fd??(??w?w?qV)dt。 22?t?F/?r?t2?r2?F/?r?r由于风险源相互抵消，?在短时间dt内只能获得无风险报酬，即：d??r?dt。这

样我们就可得到V遵循的偏微分方程：

?V12?2V?F12?2F?V/?r?w?(rF??w)?(r?q)V (12.6) ?t2?r2?t2?r2?F/?r注意到价差已经被加到贴现项上。

这个模型是最基本的瞬态违约风险模型。它给出了一个无风险债券与一个风险债券之间一种非常简单的关系。在估计中只有一个新的参数q。

要了解这个模型是否是一个市场期望的现实模型，我们简要地来考察一下风险债券的估价。如果上面的模型是一个不错的模型，具有固定的q，那么我们将发现无风险债券利率与风险债券价值之间的一种非常简单的关系。要得到风险债券价值只需下列步骤：

1. 找到风险债券中每个现金流的到期无风险收益率； 2. 对这些收益率都加一个固定价差q；

3. 运用新的收益率计算每个现金流的现值； 4. 把所有现值求和。

相反地，相同过程可用于从风险债券的市场价格确定q值：这将是隐含违约风险。 在这个简单模型中我们假设瞬态违约风险自始至终是不变的。然而，如果我们相信风险债券的市场价格，这个假设是不正确的：市场价格与一个固定的q不一致。这将是一会儿我们将看到建立随机违约风险模型的原因。尽管如此，在某种意义上假设固定q代表了市场的观点(并且实际中这种固定q模型也常被使用)。

二、违约风险的期限结构

假定一家公司发行不同到期日的风险债券。我们可以从这些债券的市场价格推断人们所认为的违约风险是如何取决于时间的。为了使情况尽可能地简单，让我们假定公司发行的是零息票债券并且如果发生一种债券违约所有其他的流通在外的债券也同样构成违约并且没有收回率。

如果违约风险是依赖时间的，q(t)，并且与即期利率不相关，而且不考虑违约风险溢酬，那么风险债券的价值就是：

Fe?t?Tq(?)d?

如果风险债券的市场价值为V*，那么我们可以写作

Fe?t?Tq(?)d??V*

?Tt?F?q(?)d??log?*??V?对其求T的微分，就得到目前市场对违约风险的观点。对于像这样的违约风险率，图12.1给出了一个似乎合理的结构。这张图显示最初违约风险较小，随后上升到最大值，然

后再下降。很明显公司被预期至少能存在更长一点时间，而从长期来看它将要么已经结束要么变得非常成功。如果曲线下面的面积是有限的，那么存在着公司决不会破产的有限概率。

图12.1 依赖于时间的违约风险率的结构。

三、随机的违约风险

为了“改进”违约风险q固定的模型，并使其与市场价格相一致，现在我们考虑一个违约的瞬态概率本身是随机的模型。

我们假定违约风险遵循如下的随机过程：

dq??(r,q,t)dt??(r,q,t)dZ1，

由此可见违约风险受利率的影响。而利率所遵循的随机过程仍然为：

dr?u(r,t)dt?w(r,t)dZ2。

为了对我们的风险零息票债券进行估价，我们构造一个资产组合，它是由一单位价值为V(r,q,t)的风险债券多头，和

?V/?r单位价值为F(r,t)的无风险债券空头组成：

?F/?r??V(r,q,t)??V/?rF(r,t)

?F/?r在接下来的小时间段dt中，风险债券可能违约也可能无违约，违约概率qdt。

首先，假定风险债券无违约，其概率为(1-qdt)。在这种情况下，dt期间的资产组合价值变动为：

??V12?2V?2V12?2V?F?V/?r12?V/?r?2F??Vd????w??w?????wdt?dq222??r?r?q2?q?t?F/?r2?F/?r?r??q??t2 （12.7） 其中?为dZ1和dZ2的相关系数。

另一方面，如果债券违约，其概率为qdt，则资产组合价值变动为：

d???V?Odt （12.8）

这是风险债券的突然损失造成的，对比照而言其他项都很小。 取数学期望并省略dt的高阶项，可得：

?V12?2V?2V12?2V?F12?2F?V/?r?V?w??w????(?w)???(r?q)V222?t2?r?r?q2?q?t2?r?F/?r?q

(12.9)

如果债券为零息票债券，偿还本金为D，则这个方程具有的最终条件是V(r, q, t) = D。 方程(12.9)显示即期利率r与违约风险q之间的类似关系。该方程对这两个变量是非常对称的，唯一的不同是在每个变量对模型的选择上。尤其是，等式右边包含了以r贴现并且还要以q贴现。这两个变量在信用风险方程中扮演着类似的角色。

检查这个结果，回到固定q的简单情况。在新结构中这种情况与 γ = δ = 0 等效。(12.9)的解很容易知道是

V?e?q(T?t)F(r,t)

这跟前面的推断一样。如果γ和δ与r相互独立，相关系数ρ为零，我们可以将（12.9）的解写作：

V(r,q,t) = F(r,t)H(q,t) （12.10） 其中H满足

?H12?2H?H ?????qH。

?t2?q2?q其最终条件为H(q,T)?1

在这种特殊但重要的情况下，违约风险从债券定价中分离出来。

四、具有正回收率的模型

在违约发生后，通常存在着一些支付，并非全部金额都损失。在由穆迪公司根据历史数据制作的表12.1中显示了按照债务的优先级得到的回收率均值和标准差。这些数字强调回收率比率本身是非常不确定的这样一种事实。我们可以如何为正的回收率建立模型呢？

表12.1 回收比率。

类别 优先担保债券 优先无担保债券 优先次级债券 次级债券 初级次级债券 资料来源：穆迪公司

均值(%) 53.80 51.13 38.52 32.74 17.09 标准差(%) 26.86 25.45 23.81 20.18 10.90

假定对于违约发生我们知道我们将获得一个G数量金额。这将改变偏微分方程。要了解这一点我们回到方程(12.9)的推导上。如果不存在违约我们仍然有方程(12.7)。但是违约使方程(12.8)变成：

d???V?G?Odt

我们损失了债券但是得到G。取数学期望结果是：

?V12?2V?2V12?2V?F12?2F?V/?r?V?w2??w????(?w)???(r?q)V?qG 22?t2?r?r?q2?q?t2?r?F/?r?q现在你面临的困难是如何估计G，或者作为另一个随机变量为它建立模型。

五、对冲违约风险

在上面我们运用了无风险债券对冲即期利率的随机变动。我们是否可以在该组合中再引入另一个风险债券或多个风险债券来帮助对冲违约风险呢？

要这么做我们必须假定在一个债券上的违约自然而然地意味着在其他债券上的违约。 考虑对冲组合：

??V??F??1V1

其中V和V1是两种风险债券。

?V?V1?V/?q??r?r?V1/?q?V/?q选择?1?来消除违约风险，选择??来消除利率风险，通

?F/?r?V1/?q过与上面相似得分析我们可以得到：

?V?V1?F12?2V?2V1?2F12?2V?2V1??1???w(2??12??2)??(2??12)?t?t?t2?r?r?r2?q?q??w?(

?V?V1??1)?(r?1?q)V1?r?F?qG1?(r?q)V?qG?r?q?r?q第三节 信用度量术(CreditMetrics)

22

信用度量术是由JP Morgan公司和其他一些合作机构（美国银行、KMV、瑞士联合银行等）

于1997年推出的，旨在提供一种进行在险价值（VaR）度量的框架，用于诸如贷款和私募债券等非交易性资产的估计和风险计算。与第11章介绍的风险度量术类似，信用度量术寻求回答的问题是：“如果下一年是坏年份，在贷款（债券）和贷款组合（债券组合）上最多损失会有多少？”

由于贷款和私募债券不能公开交易，无法直接获得贷款的市场价值以及贷款在所关注期间内的波动率。但是，可以利用（1）贷款人的信用评级；（2）下一年信用评级发生变化的概率（转移矩阵）；（3）违约贷款的回收率；（4）债券市场的信用风险差价和收益率。这些能为非交易性贷款和债券计算出它们的价值和波动率，并计算出非交易贷款和债券及其组合的VaR。

一、信用评级

存在着许多对个别公司或国家编辑数据和估计违约可能性的信用评级机构。 他们中最著名的是标准普尔和穆迪公司。这些机构对公司指定一个信用评级或等级作为对他们信誉的一种估计。标准普尔的企业等级为AAA、AA、A、BBB、BB、B、CCC和违约。穆迪公司采用Aaa、Aa、A、Baa、Ba、B、Caa、Ca、C的等级。 这两个公司同样也具有在这些主要的分类之内的再细分等级（liner grades）。表12.2描述了穆迪公司的等级。

信用评级机构不断地搜集有关个别公司的数据，并将视信息而定按照规定的标准对一家

公司进行评级或重新评级。等级的改变被称为迁移，并对该公司发行的债券价格具有重大的影响。迁移到一个更高的等级将提高债券的价值和减少它的收益率，因为被认为违约的可能性减少了。

很明显在信用评级情形下风险债券的模型建立存在着两个阶段。首先，我们必须对公司从一个等级迁移到另一个等级建立模型，其次我们必须在债券定价中考虑这种迁移。

表12.2 穆迪公司评级的含义 等级 信誉 Aaa Aa A Baa Ba B Caa Ca C 最优质债券。 高质量债券。 具有许多有利的投资特征。 既无高度的保护也没有安全性的不足。 暂时安全性适当。 具有投机性元素。 信誉不佳。 高度投机性债券。 最低等级类债券。 风险程度 风险程度最小。利息支付受大量稳定的保证金保护。 保证金保护比Aaa低。 本金和利息的安全性适当。将来可能易受损害。 缺乏显著的投资特征。具有投机性特征。 将来的保障不足。 缺乏合意的投资特征。 可能违约或者本金或利息存在危险。 经常违约。 极其缺乏达到任何实际投资地位的机会。

二、信用评级变动

许多信用评级机构（如标准普尔公司、穆迪公司或KMV公司）会定期公布相应的信用转换矩阵。这些矩阵是对过去的评级公司发生信用等级变化的统计资料。表12.3中展示了一个例子。

表12.3 转换矩阵的一个例子 AAA AA A BBB BB B CCC 违约 AAA AA A BBB BB B CCC 违约 0.90829 0.08272 0.00736 0.00065 0.00066 0.00014 0.00006 0.00012 0.00665 0.90890 0.07692 0.00583 0.00064 0.00066 0.00029 0.00011 0.00092 0.02420 0.91305 0.05228 0.00678 0.00227 0.00009 0.00041 0.00042 0.00320 0.05878 0.87459 0.04964 0.01078 0.00110 0.00149 0.00039 0.00126 0.00644 0.07710 0.81159 0.08397 0.00970 0.00955 0.00044 0.00211 0.00361 0.00718 0.07961 0.80767 0.04992 0.04946 0.00127 0.00122 0.00423 0.01195 0.02690 0.11711 0.64479 0.19253 0 0 0 0 0 0 0 1 假设公司XYZ当前被标准普尔公司评为A级。它将仍然被评为A级的概率多大？现在它将被评为AA级甚至是AAA级，或者是违约级的概率多少？我们可以用一个一年时间期限的转换矩阵来表示这些概率。对该表的理解为，现在这家公司是被评为A级。在一年的时间中它将具有不同信用等级的概率可以从该表中对应信用等级为A的那行不同的列元素中得到。因此，评级为AAA的概率是0.092%、AA的概率是2.42%、A的概率是91.305%，等等。最大概率是没有迁移。该表可以被解释成是所有公司从一个等级向另一个等级迁移的概率表，也可以是公司XYZ从A等级之外的其他不同等级开始的迁移概率表，公司即使为违约等级年终也必须以某一等级结束。因此，每行的所有概率值之和必须为一。另外，一旦一家公司是处

于违约等级，它无法离开该状态。因此，最后一行必须是除最后代表从违约到违约的概率数字1之外所有其他元素都必须等于零。

这个表或者矩阵代表了在一个有限时间期限的概率。

三、信用风险数据集

CreditMetrics数据集可从http://www.jpmorgan.com免费得到。在这个网站还详细描述了信用风险度量术的方法论。其数据集由四种数据类型构成：收益率曲线、价差、转换矩阵和相关系数。

（一）收益率曲线

CreditMetrics收益率曲线数据集由主要货币的无风险到期收益率构成。 图12.2显示了这些无风险收益率的一个例子。 数据集中包括1年、2年、3年、5年、7年、10年和30年到期的收益率。

图12.2 无风险收益率曲线和两条风险收益率曲线

（二）价差

对于每一个信用评级，数据集提供对于各个到期日超过无风险收益率的价差。图12.2显示了一个典型的美国无风险收益率曲线，以及AA债券的收益率和BBB债券的收益率曲线。 例如，3年的AA债券超过3年无风险债券收益率的价差是0.54%。我们看到债券的风险越大收益率越高；无论在那里BBB债券的收益率都比AA债券的高，而AA债券的收益率比无风险收益率高。这种风险债券较高的收益率是对将来没有获得息票或本金的可能性的补偿。

（三）转换矩阵

在CreditMetrics框架中，转换矩阵为一年时间各信用等级变动的概率。例如，从AA升级为AAA的概率为5.5%。CreditMetrics数据集的时间期限是一年。除非时间期限非常长，典型的情况是债券保留在它的最初等级的概率最大，让我们假定在这个例子中停留在AA级的概率为87%。

（四）相关关系

在无风险收益率、价差和转换矩阵中，对于CreditMetrics方法存在着足够信息来推导单个债券的将来可能价值的分布。我们将在下一节介绍如何这么做。然而，当我们开始考察一个风险债券投资组合的行为时，我们必须考虑一个债券的重新评级或者违约与另一个债券的重新评级或违约之间是否存在着任何相互关系。换句话说，由不同的公司或政府发行的债

券是否在某种意义上是相关的？这正是CreditMetrics相关关系数据集流行起来的原因。 这个数据集给出了许多国家主要指数之间的相关关系。

每个发行债券的公司可以将它的股票收益率分解成与这些指数相关的部分和一个这家公司特有的部分。 通过将所有的债券发行人与这些指数相关联，我们可以确定在我们的投资组合中公司之间的相关关系。

四、信用风险度量术

CreditMetrics的度量术是有关计算在将来某一时间(时间期限)风险投资组合可能的价值和估计这种价值出现的概率。让我们只考虑当前评级为AA级的单一风险债券。假定该债券为零息票的，到期期限为三年，而我们想要知道这个投资在一年时间的可能状况。对于一个三年的无风险债券到期收益率可能是6.12%，该工具的到期收益率为6.12%加上三年AA债券级的价差0.54%。所以，总的收益率是6.66%，确定一个价格是0.819。

因为三个原因中的其中之一，债券的价值将从在现在起的一年时间中波动：时间的推移、利率的发展和债券重新评级的可能。让依次来讨论这三点。

图12.3 一年后债券价值的概率分布

首先，由于时间的推移三年期债券将在一年后变成两年期债券。其次，在一年时间后两年期债券的收益率将会是多少？在CreditMetrics所做的假设是现在的远期利率在该时间期限内没有变化。根据现在的收益率我们可以计算现在和一年之间适用的远期利率，一年与两年之间适用的远期利率，两年和三年之间适用的远期利率，等等。用一年至三年的远期利率我们可以计算在一年之后债券的价值，假设它是0.882。最后，没有理由保证到时债券的信用等级仍然保留在AA级？从转换矩阵中我们知道债券仍保留为AA级的概率是87%。所以，存在着一个87%的概率债券的价值仍将是0.882。应用有关的远期利率以及适用的价差，我们可以类似地算出如果在一年后债券被评级为AAA、A、BBB、BB、B、CCC以及违约等另外七种发生信用等级变化情况下的价值，它们中的每一个在转换矩阵中都给定了其发生的概率。图12.3中显示了债券价值可能的一个概率分布。

这是一个高度偏斜的分布曲线，它告诉我们对这个特定债券我们要确定风险必须知道的所有一切，如债券的预期价值。

五、风险债券的投资组合

我们已经知道如何对单个风险债券应用CreditMetrics的方法论，但将这种概念应用到风险债券的投资组合显然要困难得多，因为它要求知道不同债券之间相互系数的知识。

假定我们有一个由两个债券组成的投资组合。一个是由ABC公司发行的当前被评为AA级的债券，另一个是由XYZ公司发行的目前为BBB级的债券。利用上面的方法，我们可以计算在我们的时间期限的这两个债券在各个可能状况中的价值。如果我们假定每个债券可能处于八

2

种状况中的其中一种状况(AAA、AA、?、CCC、违约)，在这个时间期限存在着8= 64种可能的联合状态。要计算我们的投资组合的期望值和标准差，我们必须知道每个联合状态发生的概率。这正是相关关系进入的地方。

要确定任何将来的特定联合状态的概率，可以分两步来实现： 1. 计算债券之间的相关关系； 2. 计算任意一种联合状态的概率。

六、风险矩阵模型的输出

CreditMetrics是一种与违约问题有关的风险度量方法。根据CreditMetrics的方法论，人们可以计算在所需时间期限中风险投资组合的风险，用标准差衡量。由于对信用风险暴露的投资组合收益率的违约风险分布的偏斜度很高，如同图12.3所示一样。该分布决不是一种正态分布。因此，来自简单投资组合理论的概念就必须小心加以运用。虽然，以古典观念来看它可能不是一个很好的绝对风险度量，但是标准差却是不同金融工具之间或投资组合之间相对风险的一个不错的指标。

第四节 崩盘度量术(CrashMetrics)

CrashMetrics是一种评估在万一发生金融市场极端变动情况下投资组合的表现。 它不是JP Morgan业绩度量家族的成员。其研究重点是金融工具的投资组合是如何在最糟糕情况的场景下并在几乎没有任何关于市场变动大小或它的时间方面的假设前提下被估价的。唯一的假设是关于市场变动方面的，“崩盘”在规模上受到限制，而且，崩盘的次数在其它方面也受到限制。有关崩盘的规模和时间的概率分布上则没有任何假设。

用于日常投资组合保护措施的更简单的方法是关心当我们没有监视或者无法进行套期保值时可能发生的市场极端变动。这种方法是我们在这里要阐明的方法。采用这种方法存在许多好处，例如它简洁并且容易推广，它不明显地依赖于令人讨厌的参数，如波动率和相关系数。

一、单个股票的崩盘度量术

为了介绍概念，让我们考虑由单一基本标的资产的期权组成的投资组合。虽然我们也可以谈论货币、商品或利率产品，在这里我们考虑它是一个股票。该投资组合价值的变动可以

3

由基本标的资产变动的泰勒序列展开式来加以近似：

12d???dS???dS? (12.11)

2只要我们不是太接近于期权的到期时间和期权的执行价，这种近似是很不错的。比如说，投资组合隔夜后可能发生的最坏情况是什么？在图12.4我们看到一条d?与dS变动关系的

3

为了与Delta(?)相区别，我们这里用dX来表示X的变动。

曲线。请注意当dS= 0，d??0。如果Gamma是正的，投资组合变动(12.11)最小值出现在

??2dS??，最糟糕情况下的投资组合变动为d?worst??。允许基本标的随意变动情况

?2?下这是最糟的情况。如果gamma很小或是负的，最糟情况将是下降为零或上升为无穷大，这

两种情况都不太现实。

由于这个原因我们可能要想把基本标的变动限制在?dS?dS?dS。现在投资组合的下跌是受到限制的。

??

图12.4 针对基本标的变动的投资组合变动规模

图12.5 在最优对冲之后dS变动造成的投资组合变动大小

二、投资组合优化

在找到了一种能发现可能发生的最糟情况是什么的技术后，很自然要问如何使最糟情况不那么糟。这可以通过最优静态对冲来实现。假定存在着一种可利用来对冲我们投资组合的合约。该合约具有一个Delta和一个Gamma，以?和?表示。

*

*假设在我们的原始头寸中加入数量为?的对冲合约。现在我们的投资组合具有崩盘的一阶风险暴露为dS(????*)，二阶风险暴露为

12dS(????*)。 2具有适当静态套期保值的投资组合现在价值总变化为：

2* d??dS(????*)?1 2dS(????)一般而言，?的最优选择为使??S??S??S中最糟糕情况下该表达式的值尽可能地大。关于最优?的选择如图12.5所示，注意现在它已不再通过(0,0)点。

三、多资产/单指数模型

一家银行的投资组合含有许多的基本标的，而不只是一个基本标的。CrashMetrics将如何处理它们？是通过一个指数或者基准来实现的。

通过将任何一个资产的极端变动的大小与象S&P500这样的一个或几个基准联系起来，我们可以度量资产和期权的投资组合的表现。这些变动的相对大小是通过每个资产相对基准的崩盘系数来度量的。如果基准变动了x%，那么第 i 个资产变动了kix%。用S&P500股价指数作为基准，对该指数的成分股估计ki，其结果可以从http://www.wilmott.com网站免费下载。请注意基准不必是一个包含资产的指数，而可以是任何代表性的值。与RiskMetrics和CreditMetrics数据集不同的是，CrashMetrics数据集不必经常更新，因为极端市场变动的情况很少。

图12.6反映了迪斯尼股票收益率与标准普尔500指数收益率之间的关系。图中细线的斜率为CAPM中的?。图上显示具有零截距的曲线拟合了标准普尔500指数最大的20次上升和下降，用粗线表示。

在图12.7中的是香港恒生旅馆集团收益率与恒生股价指数收益率。重要的是注意在这里崩盘系数不同于相对于指数的资产?。不只是数字不同，而且可以认为崩盘系数比?更稳定。此外，对于指数的大幅变动股票和指数甚至比正常情况条件更密切相关。换句话说，当存在崩盘情况时所有的股票一起大跌。

??

图12.7 迪斯尼收益率与标准普尔500指数收益率

在单一指数多资产模型中我们可以把投资组合价值的变动写作

d????idSi?i?1N12???dSdSijii?1j?iNNj (12.12)

图12.8 香港恒生旅馆集团收益率与恒生证券指数收益率

我们假定当存在着一个极端变动时，每个资产的百分比变动可以与基准的变动百分率x相关联：

dSi?kixSi

这将(12.12)式简化为 d??x??kS?iiii?1N12x2???kkSSijijii?1j?iNNj2?xD?1xG 2注意这里是怎样包括了一阶和二阶的崩盘风险暴露的。一阶系数D是崩盘Delta而二阶系数G

是崩盘Gamma。

现在我们用下面的限制条件限制基准的变动： ?x?x?x

投资组合变动最坏的情况发生在该区间的端点或区间内部的点上： x????D G在这种最糟糕的情况下投资组合变动为： d?worstD2??

2G而且，我们也可以计算在这种最糟糕情况点上的崩盘Delta和Gamma。 上面所描述的单一资产模型中的所有观念都可以引入到多资产模型中，我们只是在确定我们的投资组合可能发生的最糟糕情况时运用了 x 来代替dS。

四、多指数模型

以同样的方式，CAPM模型可以容纳多个指数，所以我们可以有一个多指数的CrashMetrics模型。我们将跳过大多数的细节，其应用过程是简单的。

我们将每个资产的极端收益率按照下列方式拟合到指数的极端收益率里： ?Si?jk?ixj j?1n其中n个指数通过j上下标来表示。

股票和期权投资组合的价值变动现在是所有的xj的二次方程式。此时我们必须决定在什么指数收益率范围内我们要寻找最糟糕情况。只考虑两个指数的情况，因为它容易画图。 一种可能是允许x1和x2相互独立的，并在给定的范围内取任意的值。这将相当于在图12.9中的矩形内寻找二次方程函数的最小值。请注意在这里两个指数之间不存在相关关系。幸好这个难以度量的参数是无关的。但是，如果你相信一个指数的崩盘规模与另一个指数的崩盘规模之间存在着某种相互关系，你可能想要缩小你探索最糟情况的区域。图中给出了一个这样的例子。

图12.9 两指数模型中人们感兴趣的区域

五、崩盘矩阵的简单扩展

现在我们想简要地概述CrashMetrics扩展到其他情况以及捕获其他的市场效应的方式。由于CrashMetrics基本形式的简洁，许多额外的特征能够相当直接地结合到该形式中。

首先，我们没有叙述CrashMetrics的方法论可以怎样应用到利率产品上。这不困难，只须运用一个收益率(或几个收益率)作为基准并把产品价值变动通过久期和凸性与收益率变动联系起来。其余的读者可以推测将如何完成。

一个特别有趣的课题是在一次崩盘之后参数将会是怎样。在崩盘之后通常存在着波动率上升的现象。波动率增加可以通过把Vega项加入到模型中来解决，这个Vega项还取决于崩盘的规模。这在概念上是很明了的，但需要分析崩盘发生前后的期权价格数据。如果你在崩盘期间拥有普通期权多头，你将从这种波动率增加中得到好处。

最后，通常的经验告诉我们崩盘不久后股票将出现反弹，因此实际的价格下跌并非如人们认为的那样糟。典型情况下快速损失的20%在不久以后就会恢复，通常在出现非常大幅的下跌后面跟着就会有那么一日大幅的上升。但这决不是一种硬性的规则。将这种动态效应合并到相对静态的CrashMetrics中是一件有趣的工作。(在预期出现崩盘和反弹情况下购买一

个向下敲入障碍看涨期权是非常有效的)。

第五节 考虑到违约风险后的衍生工具定价

债券市场上对信用风险的调整可作为计算衍生证券违约损失的预期成本的基础。为了简化我们的讨论，在这里采用了独立性假设。即在无违约世界中影响衍生证券价值的变量与影响对方发生违约可能性和影响违约事件中收回率的变量之间是相互独立的。并且假设公司零息票收益率曲线应该是针对这样的一些债券，即在违约情况下，该债券的信用等级与期权的信用等级相同。

一、债券的信用风险

从前面的分析中我们知道

V(x,r,t)?F(r,t)H(x,t)

其中x是与违约相关的一个变量，在以公司价值估价风险债券时其为公司价值A；而在以违约风险估价风险债券时其为违约风险q。V(x,r,t)为风险债券价格；而F(r,t)为与风险债券具有相同期限的无风险债券价格（通常用国债代替）。按照我们惯用的符号表示法，用 y表示风险债券的到期收益率，用 r 表示无风险债券的到期收益率。假设风险债券与无风险债券都是采用贴现销售的到期本息为1元的零息票债券，则有：

F(r,T)?De?r(T?t)

并且

V(x,r,T)?De?y(T?t)

得到

e?y(T?t)H(x,t)??r(T?t)?e?(y?r)(T?t)

e一般地，y?r，因此V(x,r,t)?F(r,t)。我们可以推断，如果不考虑对预期违约损失要求额外的补偿，那么风险债券的较低价格应该恰好补偿债券持有人的预期违约损失。这意味着当前风险债券的预期违约损失价值等于F(r,t)?V(x,r,t)，所以预期的风险债券的违约损失与无风险债券价值的比例为：

F(r,t)?V(x,r,t)?1?H(x,t)?1?e?(y?r)(T?t)

F(r,t)

二、期权价格的信用风险调整

考虑由与风险债券具有相同信用评级公司发行的期限为T的欧式期权。设：f*为考虑了违约风险的期权的价值；f为类似的无违约风险的期权的价值。这两个变量之间的关系为：

f*?fV(x,r,t)?fH(x,t)?fe?(y?r)(T?t)

F(r,t)由于我们假设在违约事件中债券的等级与衍生证券相同，当违约发生时，债券的违约风险与无风险价值的比例与期权的违约风险与无风险价值的比例相同。

另外我们还假设违约损失独立于无违约世界中决定期权和债券价值的那些市场变量的行为。因此，对于所有这些实际市场变量而言，预期的有违约风险价值与无违约风险价值的比例都是相同的，期权和债券也一定是相同的。

信用风险的调整准则说明了当我们贴现衍生证券时应该采用“有风险”的贴现率y 而不是无风险的贴现率r。因此，在对风险衍生证券进行贴现时，我们应该采用有风险利率替代无风险利率，但在确定风险中性世界中的期望收益率时，我们还是应该采用无风险利率进行贴现。

违约风险对美式期权价格相应的影响小于对类似欧式期权价格的影响。因为提前执行缩短了美式期权的寿命，从而也减少了违约损失。具有违约风险的美式期权肯定要比类似的无违约风险的美式期权提前执行。

三、既可能是资产也可能是负债衍生证券的信用风险调整

对于互换和远期合约这些可能既是资产也可能是负债的衍生证券信用风险的影响又会是怎样？为简化起见，假设违约只出现在t1，t2，t3，?.，tn这些时刻。设从t到ti之间预期的有违约风险价值与无违约风险价值的比例H(ti)为：

H(ti)?e?(y?r)(ti?t)

定义ui为ti时刻预期违约损失与无违约价值之间的比例。因为违约只能发生在t1，t2，t3，?.，tn时刻，所以：

u1?1?H(t1) u2?H(t2)?H(t1)

?un?H(tn)?H(tn?1)定义vi为在ti时刻结清暴露的衍生证券在t时刻的价值，即该衍生证券在ti时刻的损益状况为max(f,0)。独立性假设意味着ti时刻的预期违约损失的现值等于在ti时刻的预期暴露的现值乘以在该时刻的预期损失比例，这就是uivi。全部的预期损失则确定为：

u3?H(t3)?H(t2)f?f*??uivi

i?1n以上是以离散时间发生违约事件为假设得出的公式。如果允许违约在任何时刻都可能发生，则对应的连续时间公式为：

f?f*??u(t)v(t)dt （12.13）

0T其中

u(t)??H(x,t) ?t并且v(t)为在t时刻衍生证券损益暴露的价值。可以证明：

u(t)?e?(y?r)t?(t)

其中?(t)是由y零息票收益率曲线计算的t年期瞬时远期利率的变化值。

第六节 信用衍生证券

随着信用风险定价技术的发展，对于任何损益状况的分布的估计已成为可能，从而推动了大量信用衍生证券的出现。所谓信用衍生证券就是与信用风险相关联的衍生证券，其类型主要有两类：一类是与违约事件相关联的信用衍生证券；另一类是与信用变化相关联的衍生证券。后者并不需要违约事件的发生，而前者则需要违约事件的发生。

一、违约触发的衍生工具

最基本的信用衍生证券是那些在发行公司或发行国家的违约事件中将获得收益的类型。从技术角度上来看，违约的定义是任何不遵从合约规定的行为。因此，息票哪怕只是迟支付了一天也会被认为是一种违约事件。

(一)违约互换

在违约互换中交易中的A方将在规定的时间内向交易中的B方支付利息直到基本标的证券违约为止。出现违约事项，B方将向A方支付本金。这是信用衍生证券的最简单例子，并且可以被视为是A方向B方购买基本标的证券的保险。

(二)信用违约互换

与上述衍生证券非常相像的是信用违约互换，在信用违约互换交易中 A 方在基本标的证券违约前须向 B方支付LIBOR 加上一个固定的保险费，而 B 方在整个基本标的证券有效期内都须向 A 方支付 LIBOR 。在这种情况下不存在本金的交换。但同样 A 只是买进了对抗违约的保险。

(三)有限追索权票据

有限追索权票据具有比上述合约较少的违约风险暴露。典型的情况是存在对二种基本标的证券的风险暴露。当两种证券均未出现违约的情况下利息是按 r1 的利率支付的。当出现第一种证券违约，利息降低为按 r2 利率支付，如果第二种证券再出现违约，利息就又降低至按 r3 利率支付。

(四)资产交换

A 方拥有一风险债券, 但希望将信用风险互换。他将债券给 B 方，因此他将获得 LIBOR 加上某一适当利差的利息支付。B将在其后的债券有效期限内支付这个利息，即使发生违约仍须如此。违约风险从 A 方转到了 B 方。这是一种资产互换。这种合约还可通过包括看涨期权或看跌期权条款使其变得更复杂。

二、收益率差价衍生工具

第二类信用衍生工具不需要违约来触发支付，它只要有以下两类： （一）违约看涨期权和违约看跌期权

违约看涨期权和违约看跌期权分别是购买和出售基本标的证券的权利。很明显，我们已掌握的许多理论都适用这类问题。但关键的是违约风险必须以某种方式被包括在内。与基本违约期权相类似的是期权为你提供了用一种债券交换另一种债券的权利。举例来说，期权可能给你提供用风险债券交换数量较少的无风险债券的权利。无风险债券与风险债券的交换比例会在合约开始时就被规定。用V表示风险债券的价值，F表示五风险债券的价值，如果两种债券都是零息票债券，那么这种交换的期权盈亏将具有下列形式

max(kF?V,0)

其中k是预先规定的比例。

（二）信用差价期权

运用前面的方法计算风险债券的到期收益率，用y表示，同样地计算等价无风险债券的到期日收益率，用r表示。这二个收益率之间的差额y?r就是差价。除非出现相当异常的情况，否则这个量肯定是正的。回报依赖于这个差价的合约就是信用差价期权。

回报还可以是两个风险债券之间的差价（y1-y2），这两个风险债券既可以是同一发行者也可以是不同的发行者，在这种情况下差价可以改变符号。因此，典型的回报具有下列的形式：

max(y1?y2,0)。

第七节 信用衍生工具的定价

我们将详细考察二种信用衍生证券从而了解可能的建模方法。第一个例子是以风险债券交换一定数量的等价无风险债券的期权。为了对该合约建模，我们将使用一个随机违约风险模型。第二个例子是在考虑信用等级变化事件下的支付合约。为了能对其建模我们显然必须使用一种直接捕捉到信用等级可能变化的模型。

一、交换期权

一个在时间T按某一固定的q以零息票风险债券交换零息票无风险债券的期权所具有的回报为：

max(kF?V,0)

其中k是事先规定的比例。

在对这个期权定价时我们可以考虑各种不同水平程度的细化问题。第一层水平上我们假定无风险利率和违约风险是确定的。这样无风险债券和风险债券都具有完全确定的价格。这样的假定并无法让我们满意，因为要对像我们这里的讨论的具有非线性回报的证券进行定价，随机性是非常重要的。

第二层水平的细化是假定无风险利率和违约风险两者中只有其中一个是随机的。例如，假设无风险利率是随机的但违约风险是常数。这是一种常用的方法，其结果正如我们在前面看到的，是在到期收益率上简单地加上一个固定的差价。让我们来看看怎样在交换期权上应用这种方法。

假定在债券到期日TB （TB>T）收到的本金为D，则从本章第二节的（12.3）可知，

V(r,t)?e?q(TB?t)F(r,t)

这种二个债券之间完全确定的关系是假设违约风险固定不变的结果，显然破坏了对交换期权的定价。对该合约定价的微妙之处就在于违约风险是随机的。通常对于信用衍生证券，像在这个例子中假设违约风险是不变的常数是不恰当的。因此对于第二层水平上的细化，较好的假设是利率由远期利率给定，而违约风险q则满足某个随机微分方程。这种方法将比前述方法对我们的合约更有意义。

在利率是常数的情况下，我们从本章第二节的分析可以得到风险债券价值遵循的偏微分方程是：

?V12?2V?V?????(r?q)V (12.12) ?t2?q2?q同时

V(q,TB)?D

现在我们的交换期权回报的价值f(p,t)等于：

max(kDe?r(TB?T)?V(q,T),0)。

括号内的第一项是一个常数，因此这个问题看起来完全就像是一个零息票债券看跌期权的问题。当然，仍然存在着选择?和δ的函数问题，但实务中经常采用的选择是便于我们得到明确解的函数。

下一层水平的细化是假设利率和风险率两者都是随机的。从（12.9）可知V满足方程：

?V12?2V?2V12?2V?F12?2F?V/?r?V?w??w????(?w)???(r?q)V?t2?r2?r?q2?q2?t2?r2?F/?r?q

(12.15)

然而，无风险债券是独立于违约风险的，所以我们有 F(r,t), 它与 q无关。风险债券则确实依赖于违约风险，因此是一个三个变量的函数V(r,q,t)

首先，我们运用下面式子求解基本标的债券：

F(r,TB)?V(r,q,TB)?D

然后,求解交换期权f(r,q,t)，它同样满足(12.15)式。同时，

f(r,q,T)?max(kF(r,T)?V(r,q,T),0)

由于这个交换期权是一个二阶合约，因此其价格可能对模型相当敏感。

二、信用评级变动的支付

比简单的违约支付更敏感的是根据信用等级变化支付的衍生证券。我们将介绍对两种不同类型的这类合约的定价。在第一个例子中，如果合约到期时信用评级为某一信用等级时将存在一笔支付。在第二个例子中，到期前无论任何时候只要某一信用等级变成现实就将存在支付。

假如一个债券发行者现在的信用评级是AAA级，而合约规定如果在某一确定日期发行者的信用评级降为AA级，则合约的持有人将获得一笔固定金额的支付。显然，要对该合约定价我们需要一个明确考虑信用等级变化的模型（参阅附录12.A）。让我们假设利率是不变的。用来解的方程为

dV?(N?rI)V?0 dt其中V表示对应于各种信用风险状态的债券价值的列向量，N表示常数矩阵，I表示单位矩阵。

合约中如果信用等级是 AA就必须支付的规定必须被结合在边界条件中。由于除非发行者被评级为AA级,否则不存在支付，故边界条件是简单的 V(T)?bAA

其中 bAA 是除了相应的信用等级为 AA 的元素是D外，其他元素为零的一个行向量。 在任何时刻信用等级被降为 AA 级都将触发支付的合约更具吸引力，但它的定价并没有因此就变得困难许多。

如果将这个合约看成类似于一个“敲入”障碍期权，显然这将有助于对其进行定价。在

敲入障碍期权中，支付是由基本标的变量达到某一给定水平而触发的。我们的信用衍生证券也具有类似的情况，其中信用等级水平扮演了基本标的变量的角色。

同样，我们必须求解：

dV?(N?rI)V?0 dt其边界条件为V(T)?bAA。

但现在我们还有一个附加条件，它对应于敲入障碍期权中的边界条件为：对于所有的t?T，VAA?D。其中VAA为对应于 AA 信用等级的输入向量 V 。

换句话说，在达到 AA 等级的那一刻我们获得 D的支付。对于这类合约通常会对触发有效时间加以限制。在这类合约中只有当触发处于有效期内对于VAA的条件才会生效。

本章小结

1.应用公司价值作为随机变量，将违约与破产的概念联系起来对风险债券进行定价。定价中可以假设利率是固定的，则问题就变成是一个敲出障碍期权的问题。但如果债务发行公司不是一家上市公司，模型的参数估计就存在一定的困难。

2.应用公司价值的风险债务定价模型，也可以用利率风险对冲方式引入随机利率模型。如果公司价值与利率不相关，则问题转化为V(A,r,t)?F(r,t;T)H(A,t)。

3．以公司价值进行的风险债券的定价模型可以改成用公司收入来对风险债券进行定价。这样可以解决前面遇到的参数估计困难的问题。这样做的结果实际上是对复合期权的定价，即问题变成对期权的期权定价。

4．另一种模型是瞬态违约风险模型，它假定发生违约的时间完全是外生确定的。即违约服从一个泊松过程。这种模型将问题归结为估计风险债券与无风险债券之间的差价问题。假定这种差价是固定不变的，利用市场变量可以很容易估计出违约的期限结构。

5．瞬态违约风险模型更一般的形式是假定瞬态违约概率是随机的。并可以在模型中加入违约时的回收率，以及债务偿还的优先顺序问题。

6．违约风险不仅出现在违约事件发生时，公司的信用等级下降也会造成违约风险。 7．信用度量术推出了一整套利用市场数据和信用转移矩阵估计信用风险的方法。 8．信用度量术使得度量非交易资产及其资产组合的信用VaR成为可能。

9．崩盘度量术则是一种度量在最糟糕情况下任何交易和非交易资产及其组合可能表现的技术。

10．崩盘度量术提供了在考虑最糟糕情况下的优化投资组合方法。

11．利用信用风险定价关系，可以对具有信用风险的衍生证券的理论价值加以修正。 12．资产类衍生证券的修正为f*?fe?(y?r)(T?t)，f*是有违约风险的衍生证券价值，f为类似的无违约风险的衍生证券的价值，y是“有风险”的贴现率，r是无风险的贴现率。

13. 既可能是资产也可能是负债衍生证券的修正为f?f*??(y?r)t?T0u(t)v(t)dt，v(t)是在t

时刻衍生证券损益暴露的价值，u(t)?e其中?(t)是由y零息票收益率曲线计算?(t)，的t年期瞬时远期利率的变动值。

14．信用衍生证券是与信用风险或违约事件相关联的衍生证券的新兴种类。信用衍生证券中一类为违约触发的衍生工具：包括违约互换、信用违约互换、有限追索权票据和资产交换；另一类为收益率差价衍生工具：包括违约期权和信用差价期权。

15. 交换期权的基本定价关系为max(kF?V,0)，即在时间T按某一固定的k以零息票风险债券交换零息票无风险债券的期权。信用变动支付期权需要用到信用转移矩阵，并根据

衍生证券的不同要求，确定边界条件。

习题

附录12.A 信用变动下的债券定价模型

由于一个债券在这段期间可能从A迁移到BBB又迁移到BB，我们怎样能够为这种迁移序列建立模型？这是通过对一个很小的时间期限引入一个转换矩阵来实现的。我们可以通过马尔科夫链在不同状态之间的连续时间转换来建立模型。

一、基本模型

为一个从t到t+dt的很短时间期限建立迁移模型。由于这个时期非常短，所有任何迁移的机会都很小。最可能的事件是不迁移。我们将衡量时间期限为dt的状态变动的概率。如果在该时间段的转换矩阵为Mdt，那么我们可以写作

Mdt?I?Ndt

其中I为单位矩阵。N的每行各项之和必须为零，而最后一行必须只有零，因为违约是一种不可逆状态。我们将运用M(t,t?)来表示在有从时间t到t’期间的转换矩阵。

（一）前推方程

通过考虑在时间段dt中从一种状态到另一种状态的可能变化及其相应的概率，我们发现M(t,t?)与Mdt之间的关系只不过是

M(t,t??dt)?M(t,t?)Mdt

用N来表示它是

M(t,t??dt)?M(t,t?)(I?dtN)

两边都减去M(t,t?)并除以dt我们得到：

?M(t,t?)?M(t,t?)N ?t?这个常微分方程是前推方程，必须同下面的式子一起求解

M(t,t)?I

这个矩阵方程的常数矩阵N的解为:

M(t,t?)?e(t?t?)N (12.A1)

一个矩阵的指数被定义为通过一个无限求和来得到，因此

e(t??t)N1??(t??t)iNi t?0t!?方程(12.A1)我们可以有几种运用方式。首先，假定公司XYZ在时间t = 0被评级为A。假设我们知道N，我们怎样能够得到在将来的时间T处于某一特定状态的概率？这很简单。

我们只需找到矩阵M(0,T)的第三列。用bi表示除了第i列元素之外其余均为零的行向量，它对应初始状态。在我们的情况为i ＝ 3。问题的答案是

TN biM(0,T)?bei运用前推方程解的另一种方法是在一个有限时间期限中从转换矩阵M推导矩阵常数矩

阵N。换句话说，我们可以求解

eTN?M(0,T)

为什么我们想要这么做？一个原因是某些评机构级以及另外的一些公司出版一年期限的转换矩阵，如表12.3。如果你想要知道比该期限更短的期限会发生什么(而你相信这个一年矩阵)，那么你将需要找到N。

假定我们可以以下列形式对角化矩阵N：

N?LEL?1

其中E是对角矩阵。如果我们能这么做，那么E的元素是N的特征值。因此我们能写作

?1ii?1i1?1i??TN??T(LEL)?L?TiEiL?1 i?0t!i?0t!i?0t!?M(0,T)?eTN但是由于E是对角矩阵，当它被提高到i幂级时结果是每个对角元素提高至i幂级的另

一个对角矩阵：

?e10?0e2iE???????00?由此它遵循

?0??e1i???0??0??????????en???0i0ie2?0?0???0? ????i??en?M(0,T)?LeTEL?1

其中e是具有对角元素eTETei的矩阵。两个矩阵M(O,T)和N的特征值是密切相关的。

TE寻找N的策略是首先对角化M(O，T)得到Le，其后求解矩阵N是简单事情。

（二）后推方程

后推方程具有扩散问题后推方程的类似含意，能够以类似的方式推导。该方程为

?M(t,t?)??NM(t,t?) (12.A2) ?t

二、定价方程

已经建立了等级迁移的模型后，让我们考虑如何对风险债券定价。我们以零息票债券为例。在前一节我们推导了转换矩阵的前推方程和后推方程。在布朗运动世界中的后推方程和合约价格之间的联系在马尔科夫链世界中被保留下来，所以我们将跳过大多数的细节。

风险债券价格取决于公司的信用评级。所以，我们将需要每个信用等级的一个价值。列向量V将具有每一信用状态的债券价值项。暂时假设利率为固定的。该向量将只是t的一个函数。同样，期权的价值与转换密度函数后推方程有关系。现在我们有下列债券价值的方程：

dV?(N?rI)V?0 dt这只是具有额外贴现项的后推方程(12.A2)。这个方程的边界条件为

V(T)?D

其中D是在所有的元素由D组成的列向量。

习题：

1. 假定三年期零息票公司债券的收益率与类似国库券收益率的差价是50

个基点。六年期债券的相应差价是80个基点。我们将预期六年期公司债券在第三年到第六年期间损失是无违约公司债券价值的多少比例？ 2. 假定三年期无风险零息票债券与三年期零息票公司债券收益率的差价是

1%。Black-Schole高估了多少公司出售的三年期期权？

3. “具有信用风险的远期合约多头是无违约看跌期权空头和具有违约风险

的看涨期权多头的混合。”请解释这句话。

4. 说明为什么配对的远期合约信用风险暴露类似于跨式期权。

5. “当银行在协商货币互换时，它应确保从低信用风险的公司那里收取低

利率货币。”请说明。

6. 说明为什么配对利息互换的信用风险影响小于配对货币互换的信用风险

影响。

7. 当存在违约风险时，期权的看涨看跌平价是否成立？请解释。 8. 说明在信用风险管理中如何应用违约触发的衍生工具互换。

9. 某公司希望构建一个基本标的参考债券是6年期并且收益率比国债高出

120个基点的违约互换。违约互换构造成每年你支付120个基点给交易对方以交换获得能按面值出售参考债券给交易对方的权利。说明在定价中你作了什么假定？这些假定是倾向于高估还是低估信用违约互换的价值？

10. 在图12.2中，BBB曲线的斜度比AA曲线的斜率陡得多。请说明它与利

息互换中的比较优势阐明的观点之间的联系。

习题答案：

1. 在第三年到第六年期间的损失的无违约价值的比例是：

e?0.005?3?e?0.008?6?0.032?3.2%

2. 当考虑违约风险时，正确的价格是Black-Schole定价价值的

e?0.01?3?0.9704倍。所以Black-Schole高估了该公司的期权价值

（1-0.9704）/0.9704 = 0.0296/0.9704 =3.05%。

3. 假设违约只会发生在远期合约的期末。在无风险世界中，远期合约是执

行价为远期交割价而到期日为远期合约到期日的欧式看涨期权多头和欧式看跌期权的混合。如果在到期日无违约的合约价值是正的，看涨期权具有正的价值而看跌期权的价值为零。违约对远期合约价值的影响同对看涨期权价值的影响是相同的。如果在到期日无违约的合约价值是负的，

则看涨期权的价值为零而看跌期权具有正的价值。在这种情况下，违约没有影响。因此，违约对远期合约的影响与对看涨期权的影响相同。这样我们有，远期合约具有与有违约风险的看涨期权多头与无违约看跌期权空头混合的价值相同。

4. 假设远期合约在时间T具有某一盈亏。利用我们常用的符号，多头远期

合约的价值是ST?Ke?rT。因此，多头远期合约的信用风险暴露是

max(ST?Ke?rT,0)；也就是，执行价为Ke?rT的对该资产的看涨期权。类似地，远期合约空头的信用风险暴露是max(Ke?rT?ST,0)；也就是，执行价为Ke?rT的对该资产的看跌期权。所以，总的信用风险暴露是执行价为Ke?rT的跨式期权。

5. 随着时间的流逝，具有低利率的货币具有走强的趋势。这意味着我们收入这种货币的互换合约将朝着正利价值的方向发展（即具有正的价值）。类似地，具有高利率的货币具有走弱的趋势。这意味着我们支付这种货币的互换合约将朝着负利价值的方向发展（即具有负的价值）。由此，我们得出收入低利率货币互换合约的预期风险暴露将远远高于收入高利率货币互换合约的预期风险暴露。因此，我们在互换中应该寻找具有低信用风险的交易对方作为我们的低利率货币收入方。互换中另一交易对方的资信则并不是那么重要了。 6. 配对的利息互换的信用风险是Bfixed?Bfloating。随着到期日的接近，所有

债权的价格趋近其面值，使得这项趋近于零。而配对的货币互换的信用风险是SBforeign?Bdomestic，其中S上汇率。由于S是不确定的，随着互换到期日的接近，这项的预期值趋于增加。 7. 不成立。当存在违约风险时，期权的看涨看跌平价不成立。假设c*和p*分别表示价格为S的无红利支付股票执行价是X在时间T到期的欧式看涨期权和欧式看跌期权的无违约价格，而c和p分别表示有违约风险的价格。从书本中我们知道当独立性假设存在时，有：

c?c*e?y(T?)y*(T)T

y(T?) p?p*?ey*(T)T

根据无违约世界的期权的看涨看跌平价：

(T) c*?Xe?y*T?p*?S

将具有违约风险的期权价格代入上式，得： c?Xe?y(T)T?p?Se?y(T?)yT*(T)

它显然不是我们所知道的期权的看涨看跌平价。另外，这个公式是

在独立性假设条件下存在的关系，同我们讨论普遍情况下的期权的看涨看跌平价的观点也是不同的。

8. 违约触发的衍生工具可用来消除信用风险或达到分散信用风险的目的。

如果一家公司同意支付其拥有的资产收益以交换获得固定利息或浮动利息，这样它将与资产联系的信用风险转移给了交易对方。如果它同意将其拥有的资产收益以交换获得其他信用风险资产的收益，这样它则是用一种信用风险交换另一种信用风险，这样的做法通常是公司信用风险分散化策略的组成部分。

9. 违约互换构造成每年你支付120个基点给交易对方以交换获得能按面值

出售参考债券给交易对方的权利。在这里忽略了互换交易对方违约的可能。同样忽略了在违约事件发生时所有具有该债权违约互换的公司都在试图购买参考债券可能造成该债券价格意外的高的可能。最后，在分析中我们假定违约时债券的无违约价值为面值。而实际上可能由于债券具有相对教高的息票而使债券的无违约价值高于其面值。所有上述种种意味着实际年支付应该少于120个基点。即前面的定价趋向于低估了违约互换的价值。

10. BBB曲线的斜度比AA曲线陡得多表明了平均而言我们预期BBB的资信下降要比AA的资信下降得更快。在第4章阐述的比较优势观点所体现为在图12.2中的AA公司比BBB公司总是具有借款上的绝对优势，但期限短的AA公司借款与BBB公司借款的利差小于期限长的AA公司借款与BBB公司借款的利差，这正是由于人们预期BBB的资信下降要比AA的资信下降得更快的体现。这也表明BBB公司在浮动利率市场借款的利差比在固定利率市场的利差小。因此，平均而言，BBB公司将在浮动利率市场上具有比较优势，而AA公司将在固定利率市场上具有比较优势。即BBB公司会在浮动利率市场借款，然后互换成固定利率借款，而AA公司会在固定利率市场借款，然后互换成浮动利率借款。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lj7g.html