数模作业讲解4_201404

数 模 作 业 讲 解4

(补充题6) 设一质点在重力作用下由原点

2

（0,0）沿曲线x=y(y轴向下)运动到点（1,1），求时间是多少？（求数值解）

解： 耗用时间：

T

C

ds1

1

1

1

2

y u令，则

1 T

du 0.584395

注：把[0,1]区间分成两半，用数值积分的辛普生公式：

12a b1

f(x) dx (b a)[f(a) f() f(b)]，

6326a

1

b

可得：

du 1.2936

(补充题7) 有两个村庄，分别位于XOY平面上的点A(-2，5)与点B(2,7)处(单位km),它们要在河边(直线y=x)合建一个水电厂, 请你设计水电厂的位置以及铺设电缆的方法,使电缆总长度最短. 并问8 km电缆是否够长.

A(解：设水电厂在点M处,点N(x,y)是△ABM

的费尔玛点，且要求NM⊥OM. 作直线PQ∥X轴， PA∥Y轴, BQ∥Y轴, 则

∠PNA=45°- 30°=15°, ∠BNQ=45°+ 30°=75°,

x 2PN

cot(15 ) 2 y 5PA2 xNQ

cot(75 ) 2 7 yBQ

得线性方程组

x 2 (2 y 5)

2 x (2 y)

解得x y 6, 即N.

设点M的坐标为M(u,u), 因直线MN的斜率为 1， 故

u u 6，

6

即u 2 3.866

，

设点E与A和B构成等边三角形,则

x xxE

2yA yB

yE

2

(yB yA) 2

(xB xA) 6 2

电缆铺成“Y”型。

总长度=EM（点线距离）

=

|x y|6 7.917(km) 8(km)

2

注：本题用旋转坐标是笨办法

（59页第4题）对于平面上四个点O(0,0)、A(0,1)、B(2,1)、C(2,0)，用怎样的一些线段把它们连通起来，使这些线段的总长最短，并求出此时的总长度。

解：添加两个S

如图，

点：S

111,)和S2(2 ,)，6262

x

用五段线连接得总长最短的连接方法，

L总 2 3.732

若设点M为矩形中心，则

1

AMB 2Arctan 2Arctan2 2Arctan 120

1/2

即此题只有一棵斯坦纳树，不存在另一棵斯坦纳树，故不需比较。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lj0m.html