江苏省启东中学2017届高三上学期第一次月考数学（理）试题

江苏省启东中学2016-2017学年度第一学期第一次月考

高三(理科)数学试卷

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．

1.已知x2??0,1,x?，则实数x的值是 ▲ .

2.命题“?x?R，x2?0”的否定是 ▲ . 3.已知向量a?(1,m)，b=(3,?2)，且(a+b)?b，则m? ▲ . 4.函数f(x)?1(log2x)2?1定义域 ▲ .

5.将函数y?sin(2x??6)?1的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的

?4 函数解析式为 ▲ .

6.已知集合A=xx?5,集合B=xx?a，若命题“x?A ”是命题“x?B ”充分不 必要条件，则实数a的取值范围是 ▲ . 7. 函数f(x)?x2?ax?1，若对于x?[a,a?1]恒有f(x)?0，则a的取值范围 ▲ . 8.已知?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且5tanB? ▲ ．

9.设?为锐角，若sin(??6ac，则sinB的值是

a?c2?b22????D C E ?6)?3?，则cos(2??)? ▲ . 5610.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，?ADC?90?，AB = 3， →→→→ AD = 2，E为BC中点，若AB·AC = 3，则AE·BC = ▲ ．

A (第10题) B 11.已知函数f(x)在定义域[2?a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减， 并且

22 f(?m?)?f(?m?2m?2)，则m的取值范围是 ▲ . a512.已知函数f(x)?xx?2?kx2(k?R)有两个零点，则k的取值范围 ▲ .

13.若曲线y?alnx与曲线y?x12tx在它们的公共点P?s,t?处具有公共切线，则? ▲ . 2es14. 设函数f(x)?e(2x?1)?ax?a，其中a?1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)?0， 则a的取值范围是 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证．．．．．．．明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)已知命题?x??x|?1?x?1?,使等式x2?x?m?0成立是真命题. （1）求实数m的取值集合M.

(2)设不等式(x?a)(x?a?2)?0的解集为N，若x?N是x?M的必要条件，求a的取 值范围.

?16．(本小题满分14分)在?ABC中，三个内角分别为A,B,C，已知sin(A?)?2cosA．

6（1）求角A的值；

?4（2）若B?(0,)，且cos(A?B)?，求sinB．

35

[来源学科网]

?2x?m17. (本小题满分14分) 已知函数f(x)?x?1（其中m,n为参数）.

2?n （1）当m?n?1时，证明：f(x)不是奇函数； （2）如果f(x)是奇函数，求实数m,n的值；

（3）已知m?0,n?0，在（2）的条件下，求不等式f(f(x))?f()?0的解集.

3

18. （本小题满分16分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos C＝.

10→→9

(1) 若CB·CA＝，求c的最小值；

2

B

cos2B，1－2sin2?，且x∥y，求sin(B－A)的值． (2) 设向量x＝(2sin B，－3)，y＝?2??

14

19．（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其

中BMN是半径为1百米的扇形，?ABC?2π．管理部门欲在该地从M到D修建小路：

3在弧MN上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P 选择在何处时，才能使得修建的小路MP与PQ及QD的总长最小？并说明理由．

[来源:Z。xx。k.Com]A P D Q M

B

N

（第19题）

C

20. （本小题满分16分）已知函数f?x??1x2，g?x??alnx．

2 （1）若曲线y?f?x??g?x?在x?1处的切线的方程为6x?2y?5?0，求实数a的值； （2）设h?x??f?x??g?x?，若对任意两个不等的正数x1，x2，都有 成立，求实数a的取值范围； （3）若在?1,e?上存在一点x0，使得f??x0?? 值范围．

h?x1??h?x2??2恒

x1?x21?gx?g?x成立，求实数a的取

?0??0?f??x0?江苏省启东中学2017届高三第一次调研测试

理科数学答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． ．．．．．．．．1.答案：－1

2. 答案：?x?R,x2?0 3. 答案：m?8 4. 答案：(2,??)1(0,) 25.答案：y?sin(2x?6.答案：a?5 7. 答案：??3)也可y?cos(2x?).

6?2?a?0 238.答案：

59.答案：

24 25→10.以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 设CD=x，则AB →→→→→2=（3，0），AC =（x，2）由AB·AC = 3解得x=1．所以AE=（2，），BC =

2→→（-2，2），所以AE·BC =??

11.因为函数f(x)在定义域[2?a,3]上是偶函数，所以2?a?3?0，所以a?5.所以

af(?m2?)?f(?m2?2m?2)，即f(?m2?1)?f(?m2?2m?2)，所以函数f(x)在[?3,0]上

5单

调

递

减

，

而

?m2?1?0,?m2?2m?2??(m?1)2?1?0，所以由

??3??m2?1?01?f(?m2?1)?f(?m2?2m?2)得，??3??m2?2m?2?0，解得1?2?m?

2??m2?1??m2?2m?2?12.0?a?1或a?0.

13.对曲线y?alnx求导可得y??具有公共切线，所以

a1x，对曲线y?x2求导可得y??，因为它们在公共点P?s,t?处x2ee2as1a，即s2?e又t?an?，ls?s2ese

anls，即2e?s2a代入，，将s2?e所以a?1.

所以t?te1，s?e，即? . 2s2e14.解析：设g(x)＝ex(2x－1)，y＝ax－a，由题知存在唯一的整数x0，使得g(x0)在直线y＝ax－a的11

下方．因为g′(x)＝ex(2x＋1)，所以当x＜－时，g′(x)＜0，当x＞－时，g′(x)＞0，所以当x＝－

2211

时，[g(x)]min＝－2e－，当x＝0时，g(0)＝－1，g(1)＝3e＞0，直线y＝ax－a恒过(1，0)，且斜率223－

为a，故－a＞g(0)＝－1，且g(－1)＝－3e1≥－a－a，解得≤a＜1.

2e

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证．．．．．．．明过程或演算步骤．

1??15.(1)M??m|??m?2?.................................................................................5分

4??19 (2)分a?1………7分. 当a?1时得a??…………..9分.当a?1得a?…..11分

44 综上所述:a?91或a??……………………………..14分.

44，因为A??0,??，

31?sinA?cosA?2cosA，inA?3cosA16.解：.因为sin(A?)?2cosA，得即s226?且cosA?0，所以tanA?3，所以A?. …………4分

3（1）因为sin2C?cos2C?1，cosC?63，C??0,??，所以sinC? 333asinA3ac?2?，即2a?3c?0.…………7分 由正弦定理知，即??csinCsinAsinC323?????（2）因为B?(0,)，所以A?B??B??0,?，

33?3?因为sin2(A?B)?cos2(A?B)?1，所以sin(A?B)?3， …………10分 543?3.……14分 10所以sinB?sin?A??A?B???sinAcos(A?B)?cosAsin(A?B)?x1??1?2?1?2?111??，f(?1)?217. 1）f(x)?x?1，∴f(1)?2?， 2?152?124∵f(?1)??f(1)，∴f(x)不是奇函数………………………………4分 （2）∵f(x)是奇函数时，f(?x)??f(x)，

?2?x?m?2x?m?即?x?1对定义域内任意实数x成立，

2?n2x?1?n化简整理得关于x的恒等式(2m?n)?22x?(2mn?4)?2x?(2m?n)?0，

?2m?n?0?m??1?m?1∴?，即?或?………………………………8分

n?22mn?4?0n??2???（注：少一解扣1分）

?2x?112?(?1?x)，易判断f(x)在R上递减，∵（3）由题意得m?1,n?2，∴f(x)?x?12?222?11111f(f(x))?f()?0，∴f(f(x))??f()?f(?)，∴f(x)??，∴2x?3，∴x?log23，

4444即所求不等式的解集为(??,log23)………………………..14分

9→→9

18.解：(1) ∵ CB·CA＝，∴ abcosC＝，∴ ab＝15…………………..3分

22

3

∴ c2＝a2＋b2－2abcosC≥2ab－2ab·＝21(当且仅当a＝b时取等号)．

10

∵ c＞0，∴ c≥21，…………………………………………………………..5分 ∴ c的最小值为21…………………………………………………….7分B

1－2sin2?＋3cos2B＝0， (2) ∵ x∥y，∴ 2sin B?2??2sinBcosB＋3cos2B＝0，即sin 2B＋3cos2B＝0，

2π5ππ5π

∴ tan2B＝－3，∴ 2B＝或，∴ B＝或……………………10分

3336π33

∵ cos C＝＜，∴ C＞，

1026

5ππ

∴ B＝(舍去)，∴ B＝……………………………………………..12分

63∴ sin(B－A)＝sin[B－(π－B－C)] πππ

＝sin?C－?＝sinCcos－cos Csin 333??＝

91－3391133×－×＝…………………………………………..16分 10210220

[来源:Zxxk.Com]

19．连接BP, 过P作PP1?BC垂足为P1 , 过Q作QQ1?BC垂足为Q1

设?PBP0???2π， MP?2π?? 1??33?? …………………2分

若0????，在Rt?PBP1中，PP1?sin?，BP1?cos? 2若???,则PP1?sin?，BP1?cos? 2若????2?，则PP1?sin?,BP1?cos(???)??cos?, 23A P D Q M

?PQ?2?cos??3sin? …………………………4分

3在Rt?QBQ1中，QQ1?PPCQ1?3sin?，CQ?23sin? 1?sin?，33B

N

（第19题）

C

DQ?2?23sin? …………………………6分

3所以总路径长

f(?)?2????4?cos??3sin?(0???2?)， ……………………10分

33f'(?)?sin??3cos??1?2sin(???)?1 ………………12分

3[来源:学,科,网Z,X,X,K]

令f'????0，??

π 2

当0???π 时，f'????0

2当π???2π 时，f'????0 …………………………14分 23所以当??

π

时，总路径最短. 2

答：当BP?BC时，总路径最短. ……16分 20.解：（1）由y?f?x??g?x??1x2?alnx，得y??x?a，

2x由题意，1?a?3，所以a??2． ………………………………3分 （2）h?x??f?x??g?x??1x2?alnx， 2因为对任意两个不等的正数x1，x2，都有

h?x1??h?x2??2，

x1?x2设x1?x2，则h?x1??h?x2??2?x1?x2?，即h?x1??2x1?h?x2??2x2恒成立，

问题等价于函数F?x??h?x??2x，即F?x??1x2?alnx?2x在?0,???为增函数．…6分

2所以F??x??x?a?2≥0在?0,???上恒成立，即a≥2x?x2在?0,???上恒成立，

x所以a≥2x?x2??max?1，即实数a的取值范围是?1,???．……………………………8分 1?gx?g?x等价于x?1?alnx?a，

?0??0?00x0x0f??x0?（3）不等式f??x0??整理得x0?alnx0?1?a?0．

x0设m?x??x?alnx?1?a，由题意知，在?1,e?上存在一点x0，使得m?x0??0．………10分

xx2?ax?(1?a)(x?1?a)(x?1)a1?a由m??x??1??2?． ?22xxxx因为x?0，所以x?1?0，即令m??x??0，得x?1?a． ① 当1?a≤1，即a≤0时，m?x?在?1,e?上单调递增，

只需m?1??2?a?0，解得a??2． ………………………………………………12分② 当1?1?a≤e，即0?a≤e?1时，m?x?在x?1?a处取最小值．

令m?1?a??1?a?aln(1?a)?1?0，即a?1?1?aln(a?1)，可得a?1?1?ln(a?1)．

a考查式子t?1?lnt，

t?1因为1?t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立．……………14分 ③ 当1?a?e，即a?e?1时，m?x?在?1,e?上单调递减，

2只需m?e??e?a?1?a?0，解得a?e?1．

ee?1[来源学科网]

综上所述，实数a的取值范围是???,?2?

?e2?1,??． …………………………16分

e?1?

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lij3.html