北京航空航天大学高数期末考试题

北京航空航天大学高数期末试题

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一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1.

设f(x)?cosx(x?sinx),则在x?0处有(　).

（A）f?(0)?2 （B）f?(0)?1（C）f?(0)?0 （D）f(x)不可导.

2.

设?(x)?1?x1?x，?(x)?3?33x，则当x?1时（　　）.

（A）?(x)与?(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B）?(x)与?(x)是等价无穷小；

（C）?(x)是比?(x)高阶的无穷小； （D）?(x)是比?(x)高阶的无穷小.

3. 若

F(x)??x0(2t?x)f(t)dt，其中f(x)在区间上(?1,1)二阶可导且

f?(x)?0，则（ ）.

（A）函数F(x)必在x?0处取得极大值； （B）函数F(x)必在x?0处取得极小值；

（C）函数F(x)在x?0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线y?F(x)的拐点；（D）函数F(x)在x?0处没有极值，点(0,F(0))也不是曲线y?F(x)的拐点。(x)是连续函数，且 f(x)?x?2?14.

设f0f(t)dt , 则f(x)?(x2x2（A）2 （B）2?2（C）x?1 （D）x?2.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 25. lim(1?3x)sinx?x?0 .

6. 已知cosxx是f(x)的一个原函数,则?f(x)?cosx . xdx?7.

lim?2??1n??n(cosn?cos22n???cos2n?n?)? .

122?xarcsinx?1dx?8. －11?x22 .

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数y?y(x)由方程ex?y?sin(xy)?1确定，求y?(x)以及y?(0).

7求10.

?1?xx(1?x7)dx.

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)

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?x??xe，　　x?0设f(x)??　求2??2x?x，0?x?1 1?311. 12.

?f(x)dx．

x?A10设函数f(x)连续，，且x?0g?(x)并讨论g?(x)在x?0处的连续性.

g(x)??f(xt)dtlimf(x)，A为常数. 求

13. 求微分方程xy??2y?xlnx满足14. 已知上半平面内一曲线y?y(x)9的解.

四、 解答题（本大题10分）

(x?0)，过点(0,1)y(1)??1，且曲线上任一点

M(x0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x?x0所围成

面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分）

15. 过坐标原点作曲线

y?lnx的切线，该切线与曲线y?lnx及x 轴围

成平面图形D.

(1) 求D的面积A；(2) 求D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16. 设函数

qf(x)在?0,1?上连续且单调递减，证明对任意的q?[0,1]，

1?0f(x)dx?q?f(x)dx0.

??17. 设函数

f(x)在?0,??上连续，且

?0f(x)dx?0，0?f(x)cosxdx?0.

证明：在?0,??内至少存在两个不同的点?1,?2，使f(?1)?f(?2)?0.（提

xF(x)?示：设

?0f(x)dx）

一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

e35.

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导

x?y) e(1?y??6?1cosx2　()?cx . 6.2.7. 2. 8.

?.

??coxys(xy)(y? ) 2 / 45

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?xcos(xy)

x?0,y?0，y?(0)??1

767xdx?du 10. 解：u?x　　y?(x)??eex?yx?y?ycos(xy)原式?1?7u(1?u)(1?u)du?17?(1u?2u?1)du

??17171(ln|u|?2ln|u?1|)?cln|x|?7

2x?xdx2227ln|1?x|?C711. 解：??3?f(x)dx?xd(?e?x?0?3xe10?xdx??10

?0?3)??01?(x?1)dx

?x?x?????xe?e???3?0??2cos?d?　(令x?1?sin?)2

12. 解：由f(0)?0，知g(0)?0。

4x1xt?u???2e?13?0f(u)duxg(x)?

g?(x)??0f(xt)dt?x (x?0)

xf(x)??x02f(u)du (x?0)

x?

g?(0)?lim0x?0f(u)dux2?limxf(x)2xx?0?A2

?A2xf(x)??x02f(u)du?A?

limg?(x)?limx?0A2x?0，g?(x)在x?0处连续。

dy13. 解：dx

??2x2y?lnx2

lnxdx?C)?2y?e?xdx(?e?xdx

?13xlnx?19C,?19x?Cx1

xlnx?19x3 ，

四、 解答题（本大题10分）

y(1)??0y?

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14. 解：由已知且

y??2?ydx?y0x，

23,将此方程关于x求导得y???2y?y?

2特征方程：r?r?2?0

解出特征根：r1??1,r2?2.

2x其通解为

y?C1e?x?C2e

C2?13

代入初始条件y(0)?y?(0)?1，得

3故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

y?2e?xC1?e2x?13

1x015. 解：（1）根据题意，先设切点为(x0,lnx0)，切线方程：由于切线过原点，解出x0?e1y?lnx0?(x?x0)

，从而切线方程为：

12e?1y?1ex

A?则平面图形面积

?(e0y?ey)dy?

V1?13（2）三角形绕直线x = e一周所得圆锥体体积记为V1，则

?e2

曲线y?lnx与x轴及直线x = e所围成的图形绕直线x = e一周所得旋转体体积为V2

1V2???(e?e0y)dy2

V?V1?V2??6D绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

q1qq(5e?12e?3)2

116. 证明：0q?f(x)dx?q?f(x)dx?01?0f(x)dx?q(?f(x)dx?0?qf(x)dx)

?(1?q)?f(x)dx?q?f(x)dx0q

f(?1)?f(?2)?1?[0,q]?2?[q,1]?q(1?q)f(?1)?q(1?q)f(?2)1?故有：

q0

?0f(x)dx?q?f(x)dx0 证毕。

x17.

F(x)?证：构造辅助函数：

?0f(t)dt,0?x??。其满足在[0,?]上连续，在(0,?)上可导。F?(x)?f(x)，且F(0)?F(?)?0

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??0?由题设，有

??0f(x)cosxdx??cosxdF(x)?F(x)cosx|?00???sin0x?F(x)dx，

有

?F(x)sin0xdx?0，由积分中值定理，存在??(0,?)，使F(?)sin??0即

F(?)?0

综上可知F(0)?F(?)?F(?)?0,??(0,?).在区间[0,?],[?,?]上分别应用罗尔定理，知存在

?1?(0,?)和?2?(?,?)，使F?(?1)?0及F?(?2)?0，即f(?1)?f(?2)?0.

高等数学I 解答

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中）

(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)

?x,??x?都是无穷小，则当x?x0时（ D ）不一定是1. 当x?x0时，??无穷小. (A) (C)

??x????x?

(B) (D)

?2?x???2?x?

?(x)ln?1??(x)??(x)?

12?(x)

?sinx?x?alim??x?asina??2. 极限的值是（ C ）.

（A） 1 （B） e

x?0x?0（C） ecota （D） etana

?sinx?e2ax?1?f(x)??x?a?3.

在x?0处连续，则a =（ D ）. （C） e

limh（A） 1

4. 设

（B） 0 （D） ?1

?f(a?h)?f(a?2h)f(x)在点x?a处可导，那么h?0（ A ）.

（A） 3f?(a) (C)

f?(a)

（B） 2f?(a)

1 （D） 3f?(a)

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

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解： 当

x?0,f?(x)?2xcos21x?sin1x；当x?0,f?(x)?1

?xcosx?0f?'(0)?lim?x?0?1?x?x?0?0f?'(0)?lim?x?0??x?0?x?1

故f (x)在x=0处不可导。

11?x?0?2xcos?sin?f?x???xx?1x?0?

11. (8分)设函数y?f(x)在(??,??)连续，在x?0时二阶可导，且其导函数

f?(x)的图形如图.给出f(x)的极大值点、极小值点以及曲线y?f(x)的拐

点. y x a O

解：极大值点：x?ax?d 极小值点：x?b

b c d 拐点(0,f(0)),(c,f(c))

四 解答题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）

12. (9分)求不定积分 解：原式=

?(x?2)22x(x?1)2dx.

?(4x?1(x?1)1x?1e1e??3x?1)dx

=

4lnx??3lnx?1?c13. (9分)计算定积分

1?lnxdx.

e解：原式=

?1??lnx?dx??1e1elnxdx

??xlnx??1xe???????xlnx?x?1?2?2e

l1:x1?y2?

z?1314. (9分)已知直线，

l2:x?12?y?25?z?34,求过直线l1且平行于

直线l2的平面方程. 解：

???n?s1?s2?(1,2,3)?(2,5,4)?(?7,2,1) 11 / 45

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取直线l1上一点M1(0,0,1) 于是所求平面方程为

?7x?2y?(z?1)? 0)及y=0, x=1所围成的平面图形绕x15. (9分)过原点的抛物线y?ax (a?0

812轴一周的体积为51?. 求a，并求该抛物线绕y轴一周所成的旋转体体积.

2V?解：

??(ax)dx??a022x515?0?a52

2?a由已知得

52?81?5 故 a = 9 抛物线为：y?9x

11V?绕y轴一周所成的旋转体体积：

?2?x?9xdx?18?02x44?092?

五 综合题（每小题4分，共8分）

16. (4

分)设F(x)?(x?1)f(x)，其中f(x)在区间[1,2]上二阶可导且有f(2)?02.

证明：存在?（1???2）使得F??(?)?0。

证明：由f(x)在[1，2]上二阶可导，故F (x)在[1，2]二阶可导，因 f (2)=0,故F (1)=F

(2) = 0

在[1，2]上用罗尔定理，至少有一点x0,(1?x0?2)使F?(x0)?0

2F?(x)?2(x?1)f(x)?(x?1)f?(x)得F?(1)?0

在[1，x0]上对F?(x)用罗尔定理，至少有点?(1???x0?2)F??(?)?0 17. (4分).

解：（1）x?1为f(x)的最大值点。

22nf?(x)?(x?x)sinx22n，当0?x?1，f?(x)?(x?x)sinx?0；当x?1，

22nf?(x)?(x?x)sinx?0。f(1)为极大值，也为最大值。

（2）

f(1)?f(x)??2x0(t?t)sin2n22ntdt?f(1)122n

1(2n?2)(2n?3)

?10(t?t)sintdt??0(t?t)tdt?高等数学上B（07）解答

一、填空题：（共24分，每小题4分）

dy1．

y?sin[sin(x)]，则dx????2?2xcos[sin(x)]cosx22。

?2． 已知

3．

a1?x2dx??，a=__1______。

?e1elnxdx?2?2e。

x4． y?e过原点的切线方程为y?ex。

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5．已知6．a?

?f(x)?e32x?，则

9f'(lnx)xdx=x?c。

，b?2

32时，点(1,3)是曲线y?ax?bx的拐点。

二、计算下列各题：（共36分，每小题6分）

cosx1．求y?(sinx)的导数。

解：y??(e2．求?解：?cosxlnsinx)??ecosxlnsinx(?sinxlnsinx?cotxcosx)

sinlnxdx。

sinlnxdx?xsinlnx??coslnxdx?xsinlnx?xcoslnx??sinlnxdx?12(xsinlnx?xcoslnx)?C

3．求解：

?x?5x?1x?5x?1222dx。

1?dx??2d(x?1)x?1222dx??5x?12dx

?4．设解：

x?1?5ln|x?x??e,f(x)??k??x?1,x?1|?C

x?0x?0k?1在点x?0处可导，则k为何值？

f??(0)?limxxkx?0?x?limxx?0?

e?1f??(0)?lim?1x?0?x k?1

11lim(????2222n??n?1n?25．求极限

1n?n22)。

解：

lim(n??n1n?122?11n?2222???1n?n22)?limn???k?1nn?k11?kn222

1n?limn???k?1

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?

?1011?x2dx=

?2x?y?z?0?和?x?y?z?021 ?ln(x?1?x)|0?ln(1?2)

?x?2y?z?1?0?6．求过点(2,2,0)且与两直线?x?y?z?1?0平行的平面别

为

12,,1方程。

解

s1?(1：

?,两

2?直

,线

?1的

s)2??(方向向量分

(2??1,,??11,,?11，))?((1?1,?,平面的法向量

n?(1,?2,?3)?(0,?1,?1)?(?1,1,?1)。

平面方程为x?y?z?0。

三、解答下列各题：（共28分，每小题7分）

?x?Rcost?1．设?y?Rsintdydy2，求dx。

2解：dx2??cott

1?Rsint??1Rsint

3dy2 dx?(?cott)?t2．求

F(x)??x0t(t?1)dt在[?1,2]上的最大值和最小值。

16解：F?(x)?x(x?1)?0,x?0,x?1

F(0)?0,F(1)?F(?1)??10t(t?1)dt??56,

??10t(t?1)dt??,F(2)?5?20t(t?1)dt?23

2 最大值为3，最小值为6。

223．设y?y(x)由方程x(1?y)?ln(x?2y)?0确定，求y'(0)。 22解：方程x(1?y)?ln(x?2y)?0两边同时对x求导

?(1?y)?2xyy??22x?2y?x?2y2?0

将

x?0,y?5812

代入上式

y'(0?)

24．求由解：

V??3y?x与

y?x围成的图形绕y42轴旋转所得的旋转体的体积。

?10?(y?y)dy

四、证明题：(共12分，每小题6分)

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1．证明过双曲线xy?1任何一点之切线与OX,OY二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。

证明：双曲线xy?1上任何一点(x,y)的切线方程为

Y?y??1x2(X?x)

(0,y?1x),(2x,0) 切线与x轴、y轴的交点为故切线与OX,OY

s?x(y?1x)?2二个坐标轴所围成的三角形的面积为

b

2．设函数f(x)与g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明：至少存在一点?使得

证明：令

F(x)?f(?)??xg(x)d?x?g(?)a?f(x)dx

?bxg(x)dx?f(x)dxa

) F(a)?F(b?b0，由Rolle定理，存在一点??[a,b]，使F?(?)?0，即

?af(?)?g(x)dx?g(?)?f(x)dx?

高等数学上解答（07）

一、单项选择题（每小题4分，共16分）

(???x???)是 A 。 1．f(x)?xcosxe（A）奇函数； （B）周期函数；（C）有界函数； （D）单调函数

22．当x?0时，f(x)?(1?cosx)ln(1?2x)与 B 是同阶无穷小量。

?|sinx|（A）x； （B）x； （C）x； （D）x

?x?2y?z?0?3．直线?x?y?2z?03452与平面x?y?z?1的位置关系是 C 。

（A）直线在平面内；（B）平行； （C）垂直； （D）相交但不垂直。

???4．设有三非零向量a,b,c?????。若a?b?0, a?c?0??，则b?c? A 。

（A）0； （B）-1； （C）1； （D）3

二、 填空题（每小题4分，共16分）

1．曲线y?lnx上一点P的切线经过原点(0,0)，点P的坐标为(e,1)。

limtanx?xx(e?1)y2．

x?02x?132。

0 。

3．方程e?6xy?x?1?0确定隐函数y?y(x)，则y?(0)?4．曲线

?5y?x 、x?1与x轴所围图形绕x2轴旋转一周所得旋转体的体积为

。

三、解下列各题（每小题6分，共30分）

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设f(x),g(x)在x0的某去心邻域内可导则(I)limf(x)g(x)?A与(Ⅱ)lim,g?(x)?0且limf(x)?limg(x)?0,x?x0x?x0x?x0x?x0f?(x)?A关系是:g?(x)(A)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的充分但非必要条件(B)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的必要但非充分条件(C)　(Ⅰ)是(Ⅱ)的充要条件(D)　(Ⅰ)不是(Ⅱ)的充分条件，也不是必　　　　　　　　　　要条件（　）　　　　　　　　　答3、

设f(x)在?a，b?连续，F(x)?　(A)．原函数一般表示式　

?xaf(x)dt　(a?x?b)，则F(x)是f(x)的　　　　　　　 (B)．一个原函数差 　(D)．在?a，b?上的定积分　　　　答（　　）　(C)．在?a，b?上的积分与一个常数之　　　　　　　　　　4、

若已知x?0时，F(x)?1(A)1　　　 (B)　2(C)　?1　 (D)　?12　　　　　　　　　　

f??(0)??x0222(x?t)f??(t)dt的导数与x是等价无穷小，则　　　　　　　　　　　　　　　　答（　　二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1）

1、y?xe2、3

x2的铅直渐近线是_________________

?tan2xdx?__________.

、

，则f(x)在?a，a?T?(a?0)上的定积分与是______________

设f(x)为以T为周期的连续周期函数f(x)在?0，T?上的定积分的大小关系x34、直线1??????????????????? 。 三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)

?y?2?z?75与平面3x?y?9z?17?0的交点为

写出f(x)?ln(1?x)?x?1?带拉格朗日型余项的n阶麦克劳林展开式.2、(本小题6分)

x2

16指出锥面4被平行于zox平面的平面所截得的曲线的名称。

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)

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?y2?z2北京航空航天大学高数期末试题

求　?xdx.2、(本小题2分)

计算 x)dx． dx.?40(x?lnx3、(本小题5分)

求?x1?lnx4、(本小题5分)

求?4

．x(1?x)

5、(本小题11分)

1dx设　y(x)?(2?x)tan?2x，(12?x?1)求dy．五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

试证：F(t)?

??0ln(t?2tcosx?1)dx为偶函数．22、(本小题7分)

试证：对角线向量是A??3,?4,?1?,B??2,3,?6?的平行四边形是菱形，并计算其边长。 六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分) 2、(本小题6分)

在抛物线y?x找出到直线3xk?4y?2的距离为最短的点

2设曲线的方程为y?f(x).已知在曲线的任意点(x,y)处满足y???6x,且在曲线上的(0,?2)点处的曲线的切线的方程为2x?3y?6,求此曲线的方程.3、(本小题8分)

经济学上,均衡价格p0定义为供给曲线与需求费者剩余定义为需求曲者剩余定义为供曲线与求曲线方程曲线相交时的价格,消线与直线p?p0间的面积(右图区域?),生产直线p?p0间的面积(右图区域?).已知需2

p(x)?1000?0.4x,供给曲线方程为者剩余.p(x)?42x.求均衡点及消费者剩余和生产

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七、解答下列各题

(本大题共2小题，总计6分) 1、(本小题1分)

设f(x)在x?x0处连续，g(x)在x0处不连续，试判定F(x)?f(x)?g(x)在x0处的连续性．

2、(本小题5分)

x?x0

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、D 10分

x?x0x?x0若limf(x)??，limg(x)?A，试判定limf(x)?g(x)是否为无穷大？2、答　(B) 3、B 4、B

二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分4小题, 每小题3分, 共12分)

1、x?0

2、?tanx?x?c. 3、=

4、(2,4,3) 三、解答下列各题

(本大题共2小题，总计12分) 1、(本小题6分)

f(x)??x?Rn(x)??10分 10分 10分

10分

x122??x33???1n?1xnnxn?1?Rn(x)

7分 10分

n?1(1??),?介于0与x之间2、(本小题6分)

2?x2y02??z???416?y?y0用y?y0所截得的曲线为?

4分

故y0?0时为一对相交直线

y0?0时为双曲线 10分

四、解答下列各题

(本大题共5小题，总计24分) 1、(本小题1分)

?2xdx?x3x232?c. 10分

2、(本小题2分)

原式?(?2?233x2)40 7分 10分

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北京航空航天大学高数期末试题

3、(本小题5分)

?lnxdxx1?lnx ??lnxd(lnx)1?lnx ??1?lnxd(1?lnx)??d(1?lnx)1?lnx 3?223(1?lnx)?21?lnx?c.

4、(本小题5分)

令　x?t

原式??22t1t2(1?t)dt ?2?2(1?1t?1)dt1t

?2?lnt?ln(t?1)?21

?2ln43 5、(本小题11分)

dy?y?(x)dx ?　?(2?x)tan2x???sec2?xln(1?x??222?x)?2?xtan2?dx?

五、解答下列各题

(本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分)

F(?t)???20ln(t?2tcosx?1)dx 令　x???u

F(?t)???02?ln(t?2tcosu?1)du ?

??0lnt(2?2tcosx?1)dx

?F(t)

2、(本小题7分)

因为A?B?3?2?(?4)?3?(?1)?(?6)?0，故A?B

因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。 （6分）2边长=?0.5?|A|???0.5?|B|?2

??1/222?132?(?4)2?(?2???1222

?2?1)?????2?2?3?(?6)?1/2??? 29 / 45

3分

7分 10分

4分 6分

8分 10分 2分

10分

2分

6分 8分 10分

北京航空航天大学高数期末试题

?523

（10分）

六、解答下列各题

(本大题共3小题，总计20分) 1、(本小题6分)

设抛物线上任点(x,x2),到直线的距离为

2d?3x?4x?29?16?125(4x?3x?2) d??15(8x?3)唯一驻点　x?38d???85?0

故当x?38时,d最小

即点??3?8，9?64??到直线3x?4y?2?0的距离最短

(注如用切线平行于已知直线解也可以)

2、(本小题6分)

?y???y??dx?3x2?c　　　　　　(1) 又由2x?3y?6得y?23x?2?y?(0,?2)?23　　　代入(1)得

y??3x2?23

?y??(3x2?23)dx?x3?23x?c

再将(0,?2)代入得c??2,?y?x3?23x?2.

3、(本小题8分)

??p?1000?0.4x2?p?42x, 解出x?20.

均衡点p?840.

消费者剩余?20?0.4x20?(1000)?840?dx　　　　?2133.33生产者剩余?200?840?42x?dx ?8400

30 / 45

4分

8分 10分

3分

5分

10分

3分

6分 10分

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