2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练：64 二项式定理

课时分层训练(六十四) 二项式定理

(对应学生用书第325页)

A组 基础达标

一、选择题

1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为( )

A．30 B．20 C．15 D．10

r63

C [(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝Cr6x，则x(1＋x)的展开式中含x23的项为C6x＝15x3，所以系数为15.]

?22?n

2．若二项式?x－x?的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数

??之和为( ) A．－1 C．27

B．1 D．－27

A [依题意得2n＝8，解得n＝3.取x＝1得，该二项展开式每一项的系数之和为(1－2)3＝－1，故选A.]

2?n?

3．若二项式?x－x?展开式中的第5项是常数，则自然数n的值为( )

??

A．6 C．12

B．10 D．15

n2?n2?4?4n－4?42－6

C [由二项式?x－x?展开式的第5项Cn(x)?－x?＝16Cnx是常数项，

????

n

可得2－6＝0，解得n＝12.]

2233kkk1010

4．1－90C110＋90C10－90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10除以88的余数是

( ) A．－1 C．－87

B．1 D．87

133kkk101010

B [1－90C10＋902C210－90C10＋…＋(－1)90C10＋…＋90C10＝(1－90)＝998910＝(88＋1)10＝8810＋C11088＋…＋C1088＋1，∵前10项均能被88整除，

∴余数是1.]

3a?5?

5．已知?x－?的展开式中含x2的项的系数为30，则a＝( )

x??

【导学号：79140349】

A.3 C．6 D

[Tr＋1＝Cr5(

x)

5－r

B．－3 D．－6

5－2r5－2r3?－a?rrr1

??＝C5(－a)x2，由·＝，解得r＝1.由C5(－22?x?

a)＝30，得a＝－6.故选D.]

6．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为( ) A．1或3 C．1

B．－3 D．1或－3

D [令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6.又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴1＋m＝±2，∴m＝1或m＝－3.]

12233nn123n

7．已知C0n＋2Cn＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝729，则Cn＋Cn＋Cn＋…＋Cn等于

( ) A．63 C．31

B．64 D．32

12233nnnn

A [逆用二项式定理，得C0n＋2Cn＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝(1＋2)＝3＝

729，即3n＝36，所以n＝6，

23n60所以C1n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2－Cn＝64－1＝63.]

二、填空题

1?5?8．(2018·太原模拟(二))?2x＋x－1?的展开式中常数项是________．

??

1?5?1223115

－161 [?2x＋x－1?的展开式中常数项为C12＋C32＋C55(－1)C4·5(－1)C2·??(－1)5＝－120－40－1＝－161.]

9．(2017·浙江高考)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________.

16 4 [a4是x项的系数，由二项式的展开式得

1

a4＝C3C2·2＋C2C222＝16； 3·3·2·

22a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C3C2·2＝4.] 3·

10．(2018·长沙模拟(二))若x10－x5＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a5＝________.

【导学号：79140350】

0251 [x10－x5＝[(x－1)＋1]10－[(x－1)＋1]5，则a5＝C510－C5＝252－1＝251.]

?3?6

11．二项式?ax＋?的展开式的第二项的系数为－3，则?ax2dx的值为

6???-2

________．

rr

7r6－r?3?r6－r?3?6－r

????x，

3 [∵Tr＋1＝C6(ax)?6?＝C6a·?6?

∴第二项的系数为

5

C16a·3

6＝－3，∴a＝－1，

1?7

∴?ax2dx＝?-1x2dx＝3x3?＝3.] ?-2??

-2

-2

-1

B组 能力提升

12．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是( ) A．5 C．7

B．6 D．8

－1

B [由二项式定理知an＝Cn10(n＝1,2,3，…，n)．

又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项， 所以a6＝C510，则k的最大值为6.]

13．(2017·广东肇庆三模)(x＋2y)7的展开式中，系数最大的项是( )

A．68y7 C．672x2y5

B．112x3y4 D．1 344x2y5

－1rr

2≥Cr2r－1，?C7·7·

C [设第r＋1项系数最大，则有?rr r＋1r＋1

C·2≥C·2，?77

7！7！rr?·2≥·2?r！?7－r?！?r－1?！?7－r＋1?！

即?7！7！r

·2≥·2r??r！?7－r?！?r＋1?！?7－r－1?！21

?≥

?r8－r，即?12

≥??7－rr＋1，

－1

，，

＋1

16

r≤??3，解得?13

r≥??3.

5255

又因为r∈Z，所以r＝5.所以系数最大的项为T6＝C7x·2y＝672x2y5.故选

C.]

14．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)＝( ) A．45 C．120

B．60 D．210

4nC [在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为Cm6，在(1＋y)的展开式中，y的系n数为C4，故f(m，n)＝CmCn6·4，

所以f(3,0)＋f(2,1)＋f(1,2)＋f(0,3)

0211203＝C36C4＋C6C4＋C6C4＋C6C4＝120.]

?a?815．(2018·郑州二测)已知幂函数y＝x的图像过点(3,9)，则?x－x?的展开式中x

??

a

的系数为________．

?2?8

112 [由幂函数的图像过点(3,9)，可得a＝2.则?x－x?展开式的第r＋1项为

???2?Tr＋1＝Cr8?x???

8－r

(－x)

r

3

3rr8－r2r－8

＝(－1)C8·2x，由r－8＝1，得

2

r＝6，故含x的项

6

的系数为C8×22×(－1)6＝112.]

?2b?6

16．若?ax＋x?的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________.

??

【导学号：79140351】

r?2b?6r26－r?b?6－rr12－3r

?x?＝Cr2 [?ax＋x?的展开式的通项为Tr＋1＝C6(ax)·bx，令12－6a????

3r＝3，得r＝3.

36－33

由C6ab＝20得ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，故a2＋b2的最小值为2.]

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lia2.html