光的衍射习题答案

第六章 光的衍射

6－1 求矩形夫琅和费衍射图样中，沿图样对角线方向第一个次极大和第二个次极大相对于图样中心的强度。

解：对角线上第一个次极大对应于????1.43?，其相对强度为：

II0?sin???sin???????????2

??sin1.43???????0.0022 ??1.43???24对角线上第二个次极大对应于????2.46?，其相对强度为：

II0?sin???sin???????????2

??sin2.46???????0.00029 ??2.46???24

6－2 由氩离子激光器发出波长??488nm的蓝色平面光，垂直照射在一不透明屏的水平矩形孔上，此矩形孔尺寸为0.75mm×0.25mm。在位于矩形孔附近正透镜（f?2.5m）焦平面处的屏上观察衍射图样，试求中央亮斑的尺寸。 解：中央亮斑边缘的坐标为： x??f?af?b??2500?488?100.752500?488?100.25?6?6??1.63mm 2x?3.26mm

y??????4.88mm 2y?9.76mm

∴中央亮斑是尺寸为3.26mm×9.76mm的竖直矩形

6－3 一天文望远镜的物镜直径D＝100mm，人眼瞳孔的直径d＝2mm，求对于发射波长为??0.5μm光的物体的角分辨极限。为充分利用物镜的分辨本领，该望远镜的放大率应选多大？

解：当望远镜的角分辨率为： ??1.22?D?1.22?0.5?10100?100.5?102?10?6?3?6.1?10?6rad

人眼的最小分辨角为： ?e?1.22?e??d?6?1.22??3?3.05?10?4rad

∴望远镜的放大率应为：M??Dd?50

6－4 一个使用汞绿光（??546nm）的微缩制版照相物镜的相对孔径（D/f）为1:4，问

用分辨率为每毫米380条线的底片来记录物镜的像是否合适？ 解：照相物镜的最大分辨本领为： N?1D?11.22?546?10?61.22?f?14?375/mm

∵380>375

∴可以选用每毫米380条线的底片。

6－5 若要使照相机感光胶片能分辨2 ?m的线距，问 （1） 光胶片的分辨本领至少是每毫米多少线？ （2） 照相机镜头的相对孔径D/f至少有多大？ 解：（1）由于相机感光胶片能分辨2 ?m的线距，则分辨本领至少为： N?10.002＝500线/毫米

（2）可见光一般取中心波长??550nm计算，则相机的相对孔径至少为：

Df?1.22?N?1.22?550?10?6?500?1:2.98

6－6 借助于直径为2m的反射式望远镜，将地球上的一束激光（??600nm）聚焦在月球上某处。如果月球距地球4×105km。忽略地球大气层的影响，试计算激光在月球上的光斑直径。

解：由于衍射效应，反射式望远镜对激光成像的爱里斑角半径为： ?0?1.22?D?1.22?600?102?9?3.66?10?7rad

由于角度很小，因此tan?0??0

∴激光在月球上的光斑直径为：D??l?0?4?10?3.66?10

6－7 直径为2mm的激光束（??632.8nm）射向1km远的接收器时，它的光斑直径有多大？如果离激光器150km远有一长100m的火箭，激光束能否把它全长照亮？ 解：激光束的衍射角为： ??1.22?D?1.22?632.8?102?68?7?146.4m

?0.386?10?3rad

∴离激光束1km远处的光斑直径为： D1?2l1??2?1000?0.386?10?3?0.772m

离激光束150km远处的光斑直径为： D2?2l2??2?150?10?0.386?103?3?115.8m

D2大于火箭的长度，因此激光束能把它全长照亮。

6－8 一透镜的直径D＝2cm，焦距f＝50cm，受波长??500nm的平行光照射，试计算在该透镜焦平面上衍射图象的爱里斑大小。 解：爱里斑直径为：

D??2?1.22f?D?2?1.22?50?500?102?7?3.05?10?3cm

6－9 波长为550nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为60cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦平面上进行观察。求单缝衍射中央亮纹的半宽度。 解：单缝衍射中心亮纹的角半宽度为：

???a?550?100.025?6?0.022rad

∴条纹的半宽度为：e??f?0.022?60?1.32cm

6－10 用波长??630nm的激光粗测一单缝缝宽。若观察屏上衍射条纹左右两个五级极小的距离是6.3cm，屏和缝的距离是5m，求缝宽。 解：衍射条纹第五个极小对应于：

ka2sin???5?

∴??arcsin?5?a?arcsin?5?630?10a?6??3.15?10a?3rad

则左右两个五级极小的距离为： l?2?d?2?3.15?10a?3?5000mm?63mm

∴缝宽为：a?2?3.15?563?0.5mm

6－11 波长??500nm的平行光垂直照射在宽度为0.025mm的单缝上，以焦距为50cm的会聚透镜将衍射光聚焦于焦面上进行观察，求：（1）衍射图样中央亮纹的半宽度；（2）第一亮纹和第二亮纹到中央亮纹的距离；（3）第一亮纹和第二亮纹相对于中央亮纹的强度。 解：（1）中央亮纹的半角宽度为： ?0??a?500?100.025?6?0.02rad

∴中央亮纹的半宽度为：e?f?0?50?0.02?1cm

（2）第一亮纹的位置对应于???1.43?，即：

ka2sin?1??1.43?

∴?1?arcsin?1.43?a?arcsin?1.43?500?100.025?6?arcsin?0.0286??0.0286rad

∴第一亮纹到中央亮纹的距离为：

q1?f?1?e?50?0.0286?1?0.43cm 第二亮纹对应于???2.46? ∴?2?arcsin?2.46?a?arcsin?2.46?500?100.025?6?arcsin?0.0492??0.0492rad

∴第二亮纹到中央亮纹的距离为：

q2?f?2?e?50?0.0492?1?1.46cm （3）设中央亮纹的光强为I0，则第一亮纹的强度为： I1?I0(sin?)?I0(2sin1.43??1.43? 第二亮纹的强度为：

sin?2sin2.46?2)?I0()?0.016I0 I2?I0(?2.46?)?0.047I0

2

6－12 在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得暗条纹的间距为1.5mm，所用透镜的焦距为300mm，光波波长为632.8nm，问细丝直径为多少？ 解：设细丝的直径为D，则由题意：

1.5?f?D?300?632.8?10D?6?6

∴D?

300?632.8?101.5?0.127mm

6－13 在双缝的夫琅和费衍射实验中所用的光波的波长??500nm，透镜焦距f?100cm，观察到两相邻亮条纹之间的距离e?2.5mm，并且第四级亮纹缺级，试求双缝的缝距和缝宽。

? 解：双缝衍射两相邻亮条纹的距离为： e?f

d ∴缝距为：d?f∵第四级缺级 ∴缝宽为：a?d4?e?1000?500?102.5?6?0.2mm

?0.24?3?0.05mm

6－14 考察缝宽a?8.8?10cm，双缝间隔d?7.0?10?2cm，波长为0.6328μm时的双

缝衍射，在中央极大值两侧的衍射极小值间，将出现多少个干涉极小值？若屏离开双缝457.2cm，计算条纹宽度。

解：中央极大值两侧的衍射极小值满足： asin????

∴在中央极大值两侧的衍射极小值间的衍射角将满足：sin???干涉极小满足：dsin??(m?12?a

)? m?0，?1，?2 ……

∴在中央极大值两侧的衍射极小值间，干涉极小满足：

(m?12)??da?

∵

da?7.0?108.8?10?2?3?7.95

∴m的取值可为0，?1，?2……?7，－8 ∴出现的干涉极小值个数为16个

条纹宽度为：e?D?d?4572?0.6328?100.7?3?4.13mm

6－15 计算缝距是缝宽3倍的双缝的夫琅和费衍射第1，2，3，4级亮纹的相对强度。 解：由题意，

da?3，因此第三级缺级

∴第三级亮纹的相对强度为0

第1，2，4级亮纹分别对应于：dsin????，?2?，?4?

2?dsin???2?，?4?，?8? 既是：????24此时，asin???，??，??

333∴??

?333∴第1，2，4级亮纹的相对强度分别为：

??2?asin??，?2?，?4?

I14I0?sin?????cos???2???sin?3??2????3????68.4% ???2

I24I02??sin?3???2??3?4???sin3???4??3?????17% ?????????22

I44I0?4.3%

∴闪耀角为：?0?arcsin?2d?arcsin480?102?11200?6?16.74?

槽面之间干涉产生主极大的条件为：

d(sin??sin?0)?m? m?0，?1，?2 ……

光栅形成的谱线应在??900的范围内。当??90时，

01 m?d(sin90??sin?0)?0?1200?(1?sin16.74?)480?10?6?1.24

当???90时，

1d[sin(?90?)?sin?0]?(?1?sin16.74?)?6 m??480?10∴能看见480nm的谱线级数为：－2，?1，0

?1200??2.24

6－27 一闪耀光栅刻线数为100条/mm，用??600nm的单色平行光垂直入射到光栅平面，若第二级光谱闪耀，闪耀角应为多大？

解：由于第二级光谱闪耀，则：2dsin?0?2?

?d600?101/100?6∴闪耀角为：?0?arcsin

?arcsin?3.44?

6－28 在进行菲涅耳衍射实验中，圆孔半径??1.3mm，光源离圆孔0.3m，??632.8nm，当接收屏由很远的地方向圆孔靠近时，求前两次出现光强最大和最小的位置。 解：该圆孔的菲涅耳数为： Nm??2?R?1.32?3632.8?10?0.3?8.9

说明当接收屏从远处向圆孔靠近时，半波带最少是9个。因为N为奇数，对应于第一个光强最大值，这时离圆孔的距离为：

rM1?RNNm?1?0.398.9?1?26.7m

对应于第二个光强最大值的半波带数N＝11，出现在： rM2?RNNm?1?0.3118.9?1?1.27m

对应于第一个光强最小值的半波带数N＝10，出现在： rm1?RNNm?1?0.3108.9?1?2.43m

对应于第二个光强最小值的半波带数N＝12，出现在： rm2?RNNm?1?0.3128.9?1?0.86m

6－29 波长??563.3nm的平行光射向直径D＝2.6mm的圆孔，与孔相距r0＝1m处放一屏幕。问轴线与屏的交点是亮点还是暗点？至少把屏幕向前或向后移动多少距离时，该点的光强发生相反的变化？

解：波带数与圆孔半径的关系为：N?当平行光入射时，R?? ∴波带数为：N??2?2?R(1?Rr0)

?r0?(2.6/2)20.5633?1?3

∴轴线与屏的交点是亮点

当把屏幕向前移近圆孔，相应的波带数增加，增大到4时，轴线与屏的交点是暗点，此时屏幕到圆孔的距离为：

r0???2?N?(2.6/2)20.5633?4?0.75m

?∴屏幕移动的距离为： r0?r0?1?0.75?0.25m

当把屏幕向后移远圆孔，相应的波带数减小，减小到2时，轴线与屏的交点是暗点，此时屏幕到圆孔的距离为：

r0???2?N?(2.6/2)20.5633?2?1.5m

?∴屏幕移动的距离为： r0?r0?1.5?1?0.5m

6－30 一波带片离点光源2m，点光源发光的波长为546nm，波带片成点光源的像位于2.5m远的地方，问波带片第一个波带和第二个波带的半径是多少？ 解：由波带片的成像公式：

1R?1r0?1f

求得波带片的主焦距为：f?Rr0R?r0?2?2.52?2.5?1.11m

则波带片第一个波带和第二个波带的半径分别为： ?1? ?2?Nf??Nf??1?1.11?546?10?9?7.78?10?1.1?10?4m

2?1.11?546?10?9?3m

6－31 一个波带片的第八个带的直径为5mm，试求此波带片的焦距以及相邻次焦点到波带片的距离。设照明光波波长为500nm。 解：波带片的焦距为： f??2N??(5/2)28?0.513?1.56m

相邻次焦点到波带片的距离为：fm?f?0.52m

6－32 波长632.8nm的单色平行光垂直入射到一圆孔屏上，在孔后中心轴上距圆孔r0?1m处的P点出现一个亮点，假定这时小圆孔对P点恰好露出第一个半波带，试求小圆孔的半径。当P点沿中心轴从远处向小圆孔移动时，第一个暗点至圆孔的距离。 解：波带数与圆孔半径的关系为：N?当平行光入射时，R?? ∴波带数为：N??2?2?R(1?Rr0)

?r0

∴??r0?N?1?632.8?10?9?1?7.95?10?4m

当P点沿中心轴从远处向小圆孔移动时，第一个暗点对应于N＝2，此时，该暗点至圆孔的距离为：r0?

6－33 单色点光源（??500nm）安放在离光阑1m远的地方，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的通光圆环，接收点离光阑1m远，问在接收点的光强和没有光阑时的光强之比是多少？

解：半径为1mm的圆孔包含的波带数为： N1??12?2N??(7.95?10?4)2?92?632.8?10?0.5m

?R(1?Rr0)?1(1?)?4 0.5?1112 半径为0.5mm的圆孔挡住的波带数为： N2??22?R(1?Rr0)?1(1?)?1 0.5?110.52∴通光圆环通过的波带数为3，因此通光圆环在接收点产生的振幅等于一个波带在接收

点产生的振幅，且近似地等于第一个波带产生的振幅，即：

E??E0

E02没有光阑时，接收点的振幅为：E?2

?E?? ∴光强之比为：???I?E?I??4

6－34 波长为0.45μm的单色平面波入射到不透明的屏A上，屏上有半径??0.6mm的小孔和一与小孔同心的环形缝，其内外半径为0.62mm和0.63mm，求距离A为80cm的屏B上出现的衍射图样中央亮点的强度，比无屏A时的光强大多少倍？

解：若屏上只有一个半径??0.6mm小孔，相对于衍射图中心亮点，波面上露出的半波带数为：

N??2?r0?0.60.45?102?3?800?1

如果屏上小孔半径为0.63mm，则波面上露出的半波带数为：N?3 如果屏上小孔半径为0.62mm，则波面上露出的半波带数为：N?2

∴由于同心环缝的存在，第二个半波带被挡住。此时照射到屏B上衍射图样中央亮点的振幅为：A3?a1?a3?2a1

a12 如果屏A不存在，则A0?

∴屏B上衍射图样中央亮点的强度与比无屏A时的光强之比为：

I3I0?(2a1)22(a1/2)?16

6－35 有一波带片对波长??580nm的焦距为1m，波带片有10个奇数开带，试求波带片

的直径是多少？

解：由于波带片有10个奇数开带，则波带片包含的波带总数为：N?19

∵f??2N?

∴波带片的直径为：

D?2??2Nf??219?1?580?10?9?6.64?10?3m

6－36 一波带片主焦点的强度约为入射光强的103倍，在400nm的紫光照明下的主焦距为80cm。问波带片应有几个开带，以及波带片的半径。 解：设波带片n个开带,则主焦点相对光强为：

II0?na1?????a/2??1?2?4n2?1000

∴n?16

若奇数开带，则波带片包含的波带总数为：N?31 此时波带片的半径为：

??Nf??31?800?400?10?6?3.15mm

若偶数开带，则波带片包含的波带总数为：N?32 此时波带片的半径为： ??Nf??32?800?400?10?6?3.2mm

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