初中数学竞赛教程及练习之数的整除（二）附答案

数的整除（二）

一、内容提要

第一讲介绍了能被2，3，4，5，7，8，9，11，13，25整除的自然数的特征，本讲将介绍用因式分解方法解答数的整除问题.

几个常用的定理，公式，法则：

⑴ n个连续正整数的积能被n！整除.（n的阶乘：n！＝1×2×3×…×n）.

例如：a为整数时，2⑵ 若ab　 且a

a(a+1)， 6

(b?c).

a(a+1)(a+2), 24a(a+1)(a+2)(a+3)， ……

c, 则 a

c, b

⑶ 若a, b互质，且ac ， 则ab

c， 则a

c .

反过来也成立：a, b互质， abc, b

c.

例如：8和15互质，8｜a, 15|a， 则120｜a.

反过来也成立： 若120｜a. 则 8｜a, 15|a.⑷由乘法公式（n为正整数）推得：

由(a－b)(an-1+an-2b+……+abn-2+bn-1)=an－bn . 得 (a－b)|(an－bn).

－－

(a+b)(a2n－a2n1b+……ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 . (a+b)|(a2n+1+b2n+1).

－－－－

(a+b)(a2n1－a2n2b+……+ab2n2－b2n1)=a2n－b2n . (a+b)|(a2n－b2n). 概括起来：齐偶数次幂的差式a2n－b2n含有因式a＋b和a－b.

齐奇数次幂的和或差式a2n+1＋b2n+1或a2n+1－b2n+1只分别含有因式a＋b或a－b.例如（a+b）| (a6－b6), (a－b)| (a8－b8)；

(a+b)|(a5+b5)， (a－b)|(a5－b5).

二、例题

已知:整数n>2. 求证：n5－5n3+4n能被120整除..证明：n5－5n3+4n＝n(n4－5n2+4)=n(n－1)(n+1)(n+2)(n－2).

∵(n－2) (n－1)n(n+1) (n＋2)是五个连续整数，能被n!整除，

∴ 120｜n5－5n3+4n.

例1.例2.已知：n为正整数. 求证：n3+证明：n3+

321n+n是3的倍数.223211n+n＝n（2n2+3n+1）2221=n(n+1)(2n+1)21 =n(n+1)(n+2+n－1)

211= n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n－1).22∵ 3！｜n(n+1)(n+2)， 且3！｜n(n+1)(n－1)..∴ 3｜

11n(n+1)(n+2)+ n(n+1)(n－1).221

即n3+

321n+n是3的倍数.22 （上两例关鍵在于创造连续整数）

例3. 求证：⑴ 33｜255＋1； ⑵ 1989｜（19901990－19881988）.

×

证明：⑴ 255＋1＝2511＋111＝3211＋111.

∵(32＋1)|(3211+111 ) ， 即33｜255＋1.

⑵ 19901990－19881988＝19901990－19881990＋19881990－19881988.（添两项）

∵（1990＋1988）｜（19901990－19881990）. 即1989×2｜（19901990－19881990）. ∵ 19881990－19881988=19881988(19882－1)

＝19881988（1988＋1）（1988－1）.

即 19901990－19881988＝1989×2N＋1989×19881988×1987. （N是整数） ∴ 1989｜19901990－19881988.

例4 设n是正整数， 求证：7｜（32n+1+2n+2）.

证明：32n+1+2n+2＝3×32n+4×2n=3×9 n+4×2 n＋3×2n－3×2n （添两项）

＝（4×2 n＋3×2n）＋（3×9 n－3×2n）

＝（4＋3）＋3（9 n－2n）

＝7×2 n＋3（9－2）N . （N是整数）

∴7｜（32n+1+2n+2）

（例3，4是设法利用乘法公式）

例5.

已知19xy87能被33整除，求x, y的值.

解：∵33＝3×11，

∴1＋9+x+y+8+7其和是3的倍数， 即x+y=3K－25 (k为整数). 又（1＋x+8）－(9+y+7)其差是11的倍数，即x－y=11h+7(h是整数). ∵0≤x≤9， 0≤y≤9，

∴0≤x＋y≤18，9≤x－y≤9，x+y>x－y, 且 x+y和x－y同是奇数或偶数.

符合条件的有??x?11?x?14?x?8 . 或?或??y?7?y??4?y??4解得??x?9?x?5?x?2. 或　或??y?2y?9y?6???例6.设N＝2x78，且17｜N, 求 x.. 解：N＝2078＋100x=17×122＋4＋17×6x－2x

＝17×（122＋6x）+4－2x.

∵ 17｜N， ∴17｜4－2x ， 当 4－2x=0. ∴ x=2.

三、练习44

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