近世代数课后习题参考答案（张禾瑞）-2

近世代数课后习题参考答案

第二章 群论

1 群论

1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群?

证 不是一个群,因为不适合结合律.

2. 举一个有两个元的群的例子.

证 G?{1,?1} 对于普通乘法来说是一个群.

3. 证明, 我们也可以用条件1,2以及下面的条件

' 4. G至少存在一个右单位元e,能让ae?a 对于G的任何元a都成立

4',5'来作群的定义:

5. 对于G的每一个元a,在G里至少存在一个右逆元a?1,能让 aa?e 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由aa?e 得aa?e

''?1' 因为由4G有元a能使aa?e

'?1?1?1 所以(aa)e?(aa)(aa)

?[a?1(aa?1)]a'?[a?1e]a'?a?1a'?e 即 aa?e

(2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 ae?a 得 ea?a ea?(aa)a?a(aa)?ae?a 即 ea?a

这样就得到群的第二定义. (3) 证 ax?b可解 取x?ab

a(ab)?(aa)b?be?b 这就得到群的第一定义.

反过来有群的定义得到4,5是不困难的.

''?1?1?1?1?1?1?1'?1?12 单位元,逆元,消去律

1. 若群G的每一个元都适合方程x?e,那么G就是交换群.

证 由条件知G中的任一元等于它的逆元,因此对a,b?G有ab?(ab)?1?b?1a?1?ba.

2. 在一个有限群里阶大于2的元的个数是偶数.

证 (1) 先证a的阶是n则a的阶也是n.an?e?(a?1)n?(an)?1?e?1?e

若有m?n 使(a?1)m?e 即 (am)?1?e因而 a?e ?a?e 这与a的阶是n矛盾.?a的阶等于a的阶 (2)

?1m?1m?12a的阶大于2, 则a?a?1 若 a?a?1?a2?e 这与a的阶大于2矛盾

a?1双双出现,因此有限群里阶大于2的元的个数一

?1?1(3) a?b 则 a?b

总起来可知阶大于2的元a与定是偶数

3. 假定G是个数一个阶是偶数的有限群,在G里阶等于2的元的

个数一定是奇数.

证 根据上题知,有限群G里的元大于2的个数是偶数;因此阶

?2的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 ?2的元的个数一定是奇数.

4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的.

证 a?G

故 a,a,?,a,?,a,??G

由于G是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: a?a (m?n) 故 amnn?m2mn?e

n?m是整数,因而a的阶不超过它.

4 群的同态

假定在两个群G和G的一个同态映射之下,a?a，a和a的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 G?{1, G?{1}

?????1?i3?1?i3,} 22? 对普通乘法G,G都作成群,且?(x)?1(这里x是

G的任意元,1是G的元)

由 ?可知 G∽G

???1?i3?1?i3的阶都是3. ,22而1的阶是1.

但

5 变换群

1. 假定?是集合的一个非一一变换,?会不会有一个左逆元?证 我们的回答是回有的A?{1,2,3,?}

?1,使得?????

?1?1: 1→1 ?2 1→1

2→1 2→3 3→2 3→4 4→3 4→5 … …

?显然是一个非一一变换但 ??1???

2. 假定A是所有实数作成的集合.证明.所有A的可以写成x?ax?b,a,b是有理

数,a?0形式的变换作成一个变换群.这个群是不是一个交换群? 证 (1) ?: x?ax?b ?: x?cx?d

??: x?c(ax?b)?d?cax?cb?d ca,cb?d是有理数 ca?0 ? 是关闭的.

(2) 显然时候结合律 (3) a?1 b?0 则 (4)

?: x?x

?: ax?b

?1 ??1:x?而 ????所以构成变换群.

又 ?1: x?x?1 ?2: x?2x ?1?2: x?2(x?1) ?2?1: x?2x?1 故?1?2??2?1因而不是交换群.

3. 假定S是一个集合A的所有变换作成的集合,我们暂时仍用旧符号?:a?a??(a)

来说明一个变换?.证明,我们可以用?1?2: a??1[?2(a)]??1?2(a)来规定一个S的乘法,这个乘法也适合结合律,并且对于这个乘法来说?还是S的单位元. 证 ?1: a??1(a)

'1bx?(?) aa

?2: a??2(a)

那么?1?2: a??1[?2(a)]??1?2(a) 显然也是A的一个变换. 现在证这个乘法适合结合律:

(?1?2)?3:a?(?1?2)[?3(a)]??1[?2[?3(a)]] ?1(?2?3):a??1[?2?3(a)]??1[?2[?3(a)]] 故 (?1?2)?3??1(?2?3) 再证?还是S的单位元

?: a?a??(a)

??: a??[?(a)]??(a) ??: a??[?(a)]??(a)

?

?

?????

4． 证明一个变换群的单位元一定是恒等变换。 证 设?是是变换群G的单位元

??G ，G是变换群，故?是一一变换，因此对集合 A的任意元a，有A的元b， ?: b?a??(b)

?(a)??(?(a))=??(b)??(b)?a ? ?(a)?a 另证

?(x)???1?(x)

?1 根据1.7.习题3知? ??(x)?x

?(x)?x

5. 证明实数域上一切有逆的n?n矩阵乘法来说，作成一个群。

证 G={实数域上一切有逆的n?n矩阵}

A,B?G 则B?1A?1是AB的逆

从而 A,B?G

对矩阵乘法来说，G当然适合结合律且E（n阶的单位阵） 是G的单位元。 故 G作成群。

6 置换群

1. 找出所有S3的不能和(123231)交换的元.

证 S3不能和(123231)交换的元有 (132),(213),(321) 这是难验证的.

123123123

2. 把S3的所有的元写成不相连的循环置换的乘积

解: S3的所有元用不相连的循环置换写出来是: (1), (12), (13), (23), (123), (132). 3. 证明:

(1) 两个不相连的循环置换可以交换 (2) (i1i2?ik)?1?(ikik?1?i1) 证(1) (i1i2?ik)(ik?1?im)=(mm?1 =((i1i2?ikik?1ik?2?ii231k?2k?3i1i2?ikik?1?imim?1?ini2i3?ik?1?imim?1?in)(i1i2?ikik?2?ik?3?ik?1im?1?in)

ii?ii?ii?ii1i2?ikik?1ik?2?imim?1?inii?iiiii?ink?1m?1?in)

i1i2?ikik?1ik?2?imim?1?in2kk?1mm?1n 又 (ik?1ik?2?im)(i1i2?ik)=(i1i2?ikik?2ik?3?ik?1im?1?in)(i1) 2i3?i1ik?1?imim?1?in2kk?1k?2mm?1n =(i1),故(i1i2?ik)(ik?1?im)?(ik?1?im)(i1i2?ik) 2i3?i1ik?2ik?3?ik?1im?1?inii?iii?ii?i (2) (i1i2?ik)(ikik?1?i1)?(i1),故(i1i2?ik)?1?(ikik?1?i1).

3. 证明一个K一循环置换的阶是K.

2k证 设??(i1i2?ik)?(i1) 2i3?i1ii?i

i?2?(ii??i)

1k32 …………

i?k?1?(ii??i)

11kk?1i?k?(ii??i)?(i1)

11kk设h?k, 那么

i?h?(ii??i)?(i1)

1kh?1h５． 证明Sn的每一个元都可以写成(12),(13),?,(1n)这n?1个２－循环置换 中的若干个乘积。

证 根据2.6.定理２。Sn的每一个元都可以写成若干不相干循环置换的乘积 而我们又能证明

(i1i2?ik)?(i1i2)(i1i3)?(i1ik)

同时有(i1il)?(1i1)(1il)(1i1), 这样就得到所要证明的结论。

n则??(i1) 3?i12i?ii??1?(ii??i)

11kk?1

7 循环群 1． 证明 一个循环群一定是交换群。

证G?(a) a，a?G 则aa?amnm?nm

n?an?m?anam

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