_常微分方程_例题分析

第18卷第2期2005年4月

高等函授学报(自然科学版)

JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)

Vol.18No.2April2005

文章编号:1006-7353(2005)02-0022(08)-05

*

《常微分方程》例题分析

徐胜林

(华中师范大学数学与统计学学院,武汉 430079)

摘要:本文对《常微分方程》的一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的规律,指出必须注意的事项,以帮助学生进一步理解基本概念,掌握基本方法,提高学生的解题能力。

关键词:常微分方程;解题分析

中图分类号:O175.1 文献标识码:A

在学习《常微分方程》这门课程的过程中,往往要演算大量的习题,以加深对基本概念、基本方法、基本技巧的理解和记忆,达到灵活运用的程

度,但在解题时,经常会遇到各种各样的困难。本文通过对一些典型例题进行剖析,讲述解题的思路,归纳解题的方法和技巧,以帮助学生提高解题能力,熟练演算技巧,巩固所学知识。

例1 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0,1),B(1,0)的一段连续曲线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x轴上的投影,O为坐标原点,如图1所示。若梯形OCMA的面积与曲

3边三角形CBM的面积之和为+,求f(x)的

63表达式。

分析

本例本

2[1+f(x)]+xf (x)-f(x)=x.222当x 0时,得

2f (x)-f(x)=,

xx

这是一阶线性方程,故

f(x)=e

lnx

--x-dx2

[exdx+C]

x

2=e[e-lnxdx+C]

x

2

=

x(

xdx+C)

=x(x++C)

x2

=x+1+Cx.当x=0时,f(0)=1.

由于x=1时,f(1)=0,故有2+C=0,从而C=-2,所以

f(x)=x2-2x+1=(x-1)2.例2 试证在代换

u=xy,v=y

身并没有直接给出微分方程和初始条件,需要利用已知条件建立f(x)所满足的方程,然后进行求解。

解 根据题意,有

[1+f(x)]+2

两边关于x求导,得

图1

之下,方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0可化为可分离变量方程,并解方程

(x2y2+1)ydx+(x2y2-1)xdy=0.

分析

可分离变量方程是比较容易求解的

方程,是我们求解其他类型方程的基础。在有些方

1

3

.f(t)dt=+x63

*

收稿日期:2005-03-10

作者简介:徐胜林(1973 ),男,讲师,主要从事常微分方程方向的教学和研究工作。

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程中,变量一时不能直接分离,但可以引入适当的代换,使代换后的方程成为变量可分离型,这种代换常常带有一定的技巧。

解

在代换u=xy,v=之下,有

y

例3 解方程分析 方程。

解

=.dx2x-y+5

方程可通过平移变换化为齐次

先解方程组

2y-x-4=0,2x-y+5=0,

du=ydx+xdy,dv=2,

y而==y2,故vy

dv=y2dv=ydx-xdy,v

从而可求得

ydx=(du+dv),

2vxdy=(du-dv).2v代入原方程得

f(u)(du+dv)+g(u)(du-dv)=0,

vv即[f(u)+g(u)]du+u[f(u)-g(u)]

=0.v

(*)

这显然已经成为可分离变量方程。

对于方程

(xy+1)ydx+(xy-1)xdy=0,有 f(xy)=(xy)+1,g(xy)=(xy)-1.

2

故在代换u=xy,v=下,f(u)=u+1,g(u)

y=u-1,代入方程(*),得

2udu+2u =0.

v

2

2

2

2

2

2

2

2

得到x0=-2,y0=1.令

=x+2, =y-1,

原方程就化为齐次方程

=.d 2 -

再令 =u ,得

u+ =,

d 2-u

分离变量得

du=.u-1

积分得

ln||-ln|u2-1|=ln| |+lnC,

u+122即

=C 2

.(u+1)

代回原变量,得原方程的通解为

y=x+C(x+y+1)3+3.例4 求解微分方程

(x3y-2y2)dx+x4dy=0.

分析 在求解本例之前,我们先介绍一个定理。

定理

若 = (x,y)是方程

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的一个积分因子,使得

P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=d (x,y),则 (x,y)g( (x,y))也是方程的一个积分因子,

2

分离变量,可得

udu+=0.

v

积分得 v2eu=C.代回原来的变量x,y得

xe=Cy.

注意 在上面的化简过程中,由于约去了u=xy的因子,所以可能会失掉xy=0(即x=0及y=0)的解,经检验,x=0及y=0确实满足已知方程,但这两个解完全包含在通解中了。这是因为,当C=0,给出x=0,当C=+ 时,给出y=0.

2

x2y2

2

其中g( (x,y))是任一可微的非零函数。

根据上面的定理,我们可以考虑利用下面的分组求积分因子法来求解本例题。

解 将方程左端分组为

(xydx+xdy)-2ydx=0,

前一组有积分因子

和通积分xy=C;后一组有x3

4

2

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积分因子

和通积分x=C.我们要寻找可微函y2

+

即可求得原方程的通解。求特解的方法是类2

数g1和g2,使

g2(x).g1(xy)=xy这里只要取

g1(xy)=

,2,g2(x)=(xy)x5

似的。

例6 用变量代换x=cost(0<t< )化简微分方程(1-x2)y -xy +y=0,并求其满足y|x=0=1,y |x=0=2的特解。

解 y == =-,

dxdtsintdt

dt

2y =() 2=dxdtdxdt

-2] (-)=[sintdtsintdtsint.=-sintdtsintdt

代入原方程,得

)++(1-cost)(-sintdtsintdtsintdt

y=0,

2

2

2

从而得到原方程的积分因子

=.

xy用它乘原方程两边,得到

dx=0.d(xy)-(xy)x积分此式,可得原方程的通解为

y=.

2Cx+1

其中C为任意常数。另外方程还有两个特解x=0和y=0,它们是在用积分因子乘方程时丢失的解。

例5 求解微分方程

x(y )-2yy +9x=0.

分析 本例是一阶隐式方程的求解,要注意它的求解方法的特殊性。

解 令p=y ,则原方程即为y=+.

2p2

两边对x求导并整理得

(-)(p-x)=0.2dx2p

它蕴含=和p2=9,

dxx

可得它的通解为

p=Cx,

两个特解为

p=3,p=-3.

所以原方程的通解为

y=

+x2.2C2

2

2

3

即

+y=0.

dt

这是二阶常系数线性方程,它的特征方程为

2

2

+1=0.

特征根为 1=i, 2=-i,于是方程的通解为y=C1cost+C2sint,故原方程的通解为

y=C1x+C2-x.

由y|x=0=1,y |x=0=2,得C1=2,C2=1,故所求方程的特解为

y=2x+

-x.

例7 设函数y=y(x)在(- ,+ )内具有二阶导数,且y 0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。

(1)试将x=x(y)所满足的微分方程

23

)=02+(y+sinx)(dydy变换为y=y(x)满足的微分方程;

(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y (0)=的解.

2

解 (1)由反函数导数公式知

=,dyy

两个特解为

y=3x,y=-3x.

注 本例中在求得p=cx后不要再利用积分的方法去求通解y,只需将p=cx代入y=2p

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即y =1,两端对x求导,得

dy

2

y +(y )=0.dydy

2=-.dy2(y )3

2

468

+++ (- 2 42 4 62 4 6 8<x<+ )的和函数为S(x).求:

(Ⅰ)S(x)所满足的一阶微分方程;(Ⅱ)S(x)的简化表达式。分析

(*)

2

所以

代入原微分方程得

y -y=sinx

先将幂级数逐项求导,建立微分方

46

++2 42 4 6

程,再来求方程的解。

解

8

(2)方程(*)是二阶线性非齐次方程,对应的齐次方程y -y=0的特征方程为 -1=0,

特征根 1=1, 2=-1,所以齐次方程y -y=0的通解为

y=C1ex+C2e-x.

设方程(*)的特解为

y

*

(Ⅰ)S(x)=

+ ,易见 S(0)=0,

2 4 6 8

357S (x)=+++ 22 42 4 6246

=x(+++ )

22 42 4 6

=Acosx+Bsinx.

代入方程(*)可求得 A=0,B=-,所

2

以方程(*)的通解为

y=C1ex+C2e-x-sinx.

2

由y(0)=0,y (0)=可求得C1=1,C2=-1,

2

故所求初值问题的解为

y=ex-e-x-sinx.

2

例8 设y1=x,y2=x+e2x,y3=x(1+e2x)是二阶常系数线性非齐次方程的特解,求该微分方程及其通解。

分析 由线性非齐次方程的已知特解可求得对应线性齐次方程的通解,由通解的构成形式可推出其特征方程的特征根,利用特征根可导出对应的线性齐次方程,再利用非齐次方程的特解推导出方程的右端项。

解 由y2-y1=e,y3-y1=xe是原方程对应齐次方程的两个线性无关的特解,故其特征根应为 1= 2=2,相应的齐次方程为

y -4y +4y=0.

因为y1=x是特解,

y 1-4y 1+4y1=4(x-1),

所以原方程为 y -4y +4y=4(x-1).

它的通解为

y=C1e+C2xe+x.例9 设级数

2x

2x2x

2x

=x[+S(x)].

2因此S(x)是初值问题

y =xy+,y(0)=0

2

的解。

(Ⅱ)方程

3

y =xy+

2

的通解为

xdx3- xdx y=e[edx+C]

3

2

2

2

x2=--1+Ce,

2

2

由初始条件 y(0)=0,求得C=1.

2

故y=-+e2-1,因此和函数

2

22

2S(x)=-+e-1.2

例10 试求初值问题:

=x+y+1,y(0)=0dx

的毕卡序列,并由此取极限求解。

解

与始值问题等价的积分方程为

y(x)=0+

x

[x+y(x)+1]dx,

x

零次近似y0=0,一次近似为

y1(x)=

二次近似为

2(x+1)dx=x+,02

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x

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y2(x)=

xx

2

[x+(x+)+1]dx02

3

一般地,利用数学归纳法可以证明,n次近似为

yn(x)=2[x+++ +]-2!3!(n+1)!

n+1

x-.(n+1)!

让n→+ ,取极限得

x

y(x)=nlimyn(x)=2(e-1)-x,→+

2

3

n+1

=x+x2+,

3!

三次近似为

y3(x)=0[x+(x+x+)+1]dx

3!

234

=x+x++,

34!

2

3

四次近似为

y4(x)=

34

[x+(x+x++)+1]dx034!

2

2

3

4

5

即原方程的解为

y=2ex-x-2.

参考文献

[1]王光发,吴克乾,邓宗琦等.常微分方程[M].长沙:湖

南教育出版社,1983.

[2]丁同仁,李承治编.常微分方程教程[M].北京:高等

教育出版社,1991.

[3]汤正谊.微分方程解题分析[M].南京:江苏科学技术

出版社,1993.

=x+x+++3125!

23455

=2(x++++)-x-,

2!3!4!5!5!

五次近似为

23456

y5(x)=2(x+++++)-x

2!3!4!5!6!

-,6!

(上接第17页) 从距倾角为 的斜面底部s处,以初速度v0沿斜面运动,物体与斜面间的动摩擦系数为 ( <tg ),物体滑动到底部时与垂直于斜面的档板发生弹性碰撞,碰撞过程中无机械能损失,物体反向弹回后又下滑、反弹,如此往复直至停止运动,求物体在停止运动前所经过的总路程L。此题中物体的初速度方向未知,因此用力的观点解此题会很繁琐,但是物体最后必静止在斜面的底端,在整个运动过程中物体所受阻力的大小恒定,可以将物体的往复运动等效成向同一个方向的匀减速直线运动,其初始能量为:

W0=mgssin +,

2

其末状态能量为0,在整个过程中克服摩擦力做的功为 mgLcos ,这样很容易利用功能关系求出结果。

2

6

由此可见,等效思想方法不仅能为错综复杂

的物理问题找到解决的捷径,而且有利于学生加深对概念、规律的理解,培养灵活运用知识的能力。同时等效变换需要发挥想象力,进行合理联想与类比,抓住事物本质规律,有利于学生创新思维能力的培养。在物理教学中,教师应有意识加强等效思想的渗透与方法的教学。

参考文献

[1]阎金铎主编.物理教学论[M].南宁:广西教育出版

社,1997.

[2]阎金铎主编.物理学习论[M].南宁:广西教育出版

社,1997.

[3]乔际平主编.物理学习心理学[M].北京:高等教育出

版社,1991.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lhe4.html