二次函数综合题老师
更新时间:2023-08-19 13:27:01 阅读量: 高中教育 文档下载
二次函数综合
二次函数
一、选择题
1、(2007天津市)已知二次函数y ax2 bx c(a 0)的图象如图所示,有下列5个结论:① abc 0;② b a c;③ 4a 2b c 0;④ ⑤ a b m(am b),(m 1的实数)其中正确的结论有( )2c 3b;B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2、(2007南充)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确结论是( ).B (A)②④ (B)①④ (C)②③ (D)①③ 3、(2007广州市)二次函数y x 2x 1与x轴的交点个数是( )B A.0 B.1 C.2 D.3 4、(2007云南双柏县)在同一坐标系中一次函数y ax b和二次函数
y ax bx
2
2
的图象可能为( )A
A
5、(2007四川资阳)已知二次函数y ax2 bx c(a≠0)的图象开口向上,并经过点(-1,
2),(1,0) . 下列结论正确的是( )D
A. 当x>0时,函数值y随x的增大而增大 B. 当x>0时,函数值y随x的增大而减小
C. 存在一个负数x0,使得当x<x0时,函数值y随x的增大而减小;当x> x0时,函数值y随x的增大而增大
D. 存在一个正数x0,使得当x<x0时,函数值y随x的增大而减小;当x>x0时,函数值y随x的增大而增大
6、(2007山东日照)已知二次函数y=x2-x+a(a>0),当自变量x取m时,其相应的函数值
小于0,那么下列结论中正确的是( )B
(A) m-1的函数值小于0 (B) m-1的函数值大于0
(C) m-1的函数值等于0 (D) m-1的函数值与0的大小关系不确定 二、填空题
1、(2007湖北孝感)二次函数y =ax2+bx+c 的图象如图8所示,
二次函数综合
且P=| a-b+c |+| 2a+b |,Q=| a+b+c |+| 2a-b |, 则P、Q的大小关系为 . P<Q
2、(2007四川成都)如图9
y ax 3x a 1的图象,那么a2
2
3、(2007江西省)已知二次函数y 的部分图象如图所示,则关于x x 2x m 0的解为.2
x1 1,x2 3;
4、(2007广西南宁)已知二次函数y 第4题
的图象如图所示,则点P(a,bc)三、解答题
1、(2007天津市)知一抛物线与x轴的交点是A( 2,0)、B(1,0),且经过点C(2,8)。
(1)求该抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标。
解:(1)设这个抛物线的解析式为y ax bx c
由已知,抛物线过A( 2,0),B(1,0),C(2,8)三点,得
4a 2b c 0
(3分)解这个方程组,得a 2,b 2,c 4 a b c 0
4a 2b c 8
2
∴ 所求抛物线的解析式为y 2x 2x 4(6分) (2)y 2x 2x 4 2(x x 2) 2(x ∴ 该抛物线的顶点坐标为(
12, 92)
2
2
2
12
)
2
92
0). 4),且过点B(3,2、(2007上海市)在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,
(1)求该二次函数的解析式;
(2)将该二次函数图象向右平移几个单位,可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标.
二次函数综合
解:(1)设二次函数解析式为y a(x 1)2 4,
二次函数图象过点B(3,0), 0 4a 4,得a 1. 二次函数解析式为y (x 1) 4,即y x 2x 3.
2
2
(2)令y 0,得x 2x 3 0,解方程,得x1 3,x2 1.
二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(3,0)和( 1,0). 二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点.
2
0) 平移后所得图象与x轴的另一个交点坐标为(4,
2)3、(2007广东梅州)已知二次函数图象的顶点是( 1,
(1)求二次函数的表达式,并在图10中画出它的图象; (2)求证:对任意实数m,点M(m, m)都不在这个 二次函数的图象上.
解:(1)依题意可设此二次函数的表达式为y a(x 1) 2, ······································ 2分
图10 又点 0 在它的图象上,可得
2
3
32
a 2,解得a
12
2
2
.
所求为y
12
(x 1) 2. 令y 0,得x1 1,x22
画出其图象如右.
(2)证明:若点M在此二次函数的图象上, 则 m
2
12
(m 1) 2. 得m 2m 3 0.
22
方程的判别式:4 12 8 0,该方程无解. 所以原结论成立.
2
4、(2007贵州省贵阳)二次函数y ax bx c(a 0)答下列问题:
2
(1)写出方程ax bx c 0的两个根.(2分) (2)写出不等式ax bx c 0的解集.(2分)
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围.(2
2
二次函数综合
(4)若方程ax bx c k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.(4分) 解:(1)x1 1,x2 3 (2)1 x 3 (3)x 2 (4)k 2
5、(2007河北省)如图13,已知二次函数y
ax 4x c
2
2
的图像经
过点A和点B.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;
(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这
两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离. 解:(1)将x=-1,y=-1;x=3,y=-9分别代入y ax2 4x c得
1 a ( 1)2 4 ( 1) c,
2
9 a 3 4 3 c.
a 1,
解得 c 6.∴二次函数的表达式
图13
为y x2 4x 6. (2)对称轴为x
2
;顶点坐标为(2,-10).
(3)将(m,m)代入y x2 4x 6,得 m m2 4m 6, 解得m1 1,m2 6.∵m>0,∴m1∴ m=6.∵点P与点Q关于对称轴x
1不合题意,舍去.
2
对称,∴点Q到x轴的距离为6.
6、(2007四川眉山)如图,矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上,边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的.O’点在x轴的正半轴上,B点的坐标为(1,3). (1)如果二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为 —1.求这个二次函数的解析式;
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P,使得ΔPOM为直角三角形?若存在,请求出P点的坐标和ΔPOM的面积;若不存在,请说明理由; (3)求边C’O’所在直线的解析式.
二次函数综合
2),1),7、(2007山东威海)如图①,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(1,点B的坐标为(3,
二次函数综合
二次函数y x2的图象记为抛物线l1.
(1)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过点A,但不过点B,写出平移后的一个抛物线的函数表达式: (任写一个即可).
(2)平移抛物线l1,使平移后的抛物线过A,B两点,记为抛物线l2,如图②,求抛物线l2的函数表达式.
(3)设抛物线l2的顶点为C,K为y轴上一点.若S△ABK S△ABC,求点K的坐标. (4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点P,使△ABP为等腰三角形.若存在,请判断点P共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明师.
x x x
图①
图②
图③
解:(1)有多种答案,符合条件即可.例如y x 1,y x x,y (x 1) 2或
y x 2x
3,y (x
2
222
1),y (x 1
2
2
.
2
(2)设抛物线l2的函数表达式为y x bx c,
点A(1,2),B(3,1)在抛物线l2上,
2
9 b , 1 b c 2, 2解得
9 3b c 1 c 11.
2 抛物线l2的函数表达式为y x
2
x
92
x
112
.
9 7 97 2
x (3)y x x , C点的坐标为 .
224 16 416
911
2
过A,B,C三点分别作x轴的垂线,垂足分别为D,E,F,
二次函数综合
则AD 2,CF
716
,BE 1,DE 2,DF
54
,FE
34
.
S△ABC S梯形ADEB S梯形ADFC S梯形CFEB.
12
(2 1) 2
1 72 2 16 51
427 315
. 1
16 416
延长BA交y轴于点G,设直线AB的函数表达式为y mx n,
1
m , 2 m n, 2
点A(1,2),B(3,1)在直线AB上, 解得
1 3m n. n 5.
2
12
52
直线AB的函数表达式为y x
. G点的坐标为 0 .
2
5
设K点坐标为(0,h),分两种情况: 若K点位于G点的上方,则KG h
1
52
.连结AK,BK.
S△ABK S△BKG S△AKG
5 15 5
3 h 1 h h . 22 22 2
52
151652
5516
S△ABK S△ABC
1516
, h ,解得h
. K点的坐标为 0 .
16
2516
55
若K点位于G点的下方,则KG
25
K点的坐标为 0 16
.
h.同理可得,h .
(4)作图痕迹如图③所示.
由图③可知,点P共有3个可能的位置.
2
x
8、(2007浙江省)如图,抛物线y x 2x 3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2。
(1)求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
二次函数综合
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由。
解:(1)令y=0,解得x1 1或x2 3(1分)
∴A(-1,0)B(3,0);(1分)
将C点的横坐标x=2代入y x 2x 3得y=-3,∴C(2,-3)(1分) ∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
(2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2)(注:x的范围不写不扣分) 则P、E的坐标分别为:P(x,-x-1),(1分) E((x,x 2x 3)(1分)
2
2
∵P点在E点的上方,PE=( x 1) (x 2x 3) x x 2(2分)
12
94
22
∴当x 时,PE的最大值=(1分)
F4(4
(3)存在4个这样的点F
,分别是F1(1,0),F2( 3,0),F3(4
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