三角函数基本性质
更新时间:2023-03-28 16:51:01 阅读量: 说明书 文档下载
三角函数基本性质
1.三角函数恒等变形的基本策略。
(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
(2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ;配凑角:α=(α+β)-β,β=
2βα+-2βα-等。
(3)降次与升次。
(4)化弦(切)法。
(4)引入辅助角。asin θ+bcos θ=22b a +sin(?+θ),这里辅助角?所在象限由a 、b 的符号确定,?角的值由tan ?=
a
b 确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。
(2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。
3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。
4.解答三角高考题的策略。
(1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。
(2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。
(3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
图象变换:函数()()sin 0,0y A x A ω?ω=
+>>的图象可由sin y x =的图象做如下变换
得到
1、先相位变换 周期变换 振幅变换 sin y x = ()sin y x ?=+:把sin y x =图象上所有的点向左(0?>) 或向
右(0?<)平移?个单位。
()sin y x ω?=+:把()sin y x ?=+图象上各点的横坐标伸长
(01ω<<)或缩短(1ω>)到原来的 1
ω倍,
纵坐标不变。
()sin y A x ω?=+:把()sin y x ?=+图象上各点的纵坐标伸长
(1A >)或缩短(01A <<)到原来的A 倍,
横坐标不变。
2、先周期变换 相位变换 振幅变换
sin y x = sin y x ω=:把s i n y x =图象上各点的横坐标伸长
(01ω<<)或缩短(1ω>)到原来的1
ω 倍,纵坐标不变。
()sin y x ω?=+:把sin y x ω=图象上所有的点向左(0?>)或向右
(0?<)平移?ω
个单位. ()sin y A x ω?=:把()s i n y x ?=+图象上各点的纵坐标伸长
(1A >)或缩短(01A <<)到原来的A 倍,横坐标不变。
3、 注意:(1)要会画()sin y A x ω?=+在一个周期的图象:(即五点作图法:设
30,,,,2,22t x π
πω?ππ=+=求相应的
x 值和对应的y 值,描点作图)如2sin 26y x π??=+ ???,在[]0,π上的图象的画法。
(2)注意图象变换时①先平移后伸缩和先伸缩后平移时平移单位的区别。
②要先使函数名称相同再变换。
如:为得到函数cos 23y x π??=+ ???
的图象,只需将函数sin 2y x =的图象向 平移 个单位。
(3)2T πω=,1f T
=(频率)。注意()sin y A x ω?=+、()cos y A x ω?=+相邻两对称轴间的距离为2T πω
=。
(4)已知图象求解析式时注意:看振幅求A ,看周期求ω,看特殊点求?(通常是最大值或最小值时的位置)
(5)已知变换求解析式时,注意只能对自变量x 进行变换。
三角函数的图象及性质表(1)
三角恒等变化
【基础知识】
一、同角的三大关系:
① 倒数关系 tan α?cot α=1 ② 商数关系
sin cos αα= tan α ; cos sin αα= cot α ③ 平方关系 22sin cos 1αα+=
温馨提示:
(1)求同角三角函数有知一求三规律,可以利用公式求解,最好的方法是利用画直角三角形速解。
(2)利用上述公式求三角函数值时,注意开方时要结合角的范围正确取舍“±”号。
用诱导公式化简,一般先把角化成,2
k z α+∈的形式,然后利用诱导公式的口诀化简(如果前面的角是90度的奇数倍,就是 “奇”,是90度的偶数倍,就是“偶”;符号看象限是,把α看作是锐角,判断角
2
k πα+在第几象限,在这个象限的前面三角函数的符号是 “+”还是“--”,就加在前面)。
用诱导公式计算时,一般是先将负角变成正角,再将正角变成区间00(0,360)的角,再变到区间00(0,180)的角,再变到区间00(0,90)的角计算。
三、和角与差角公式 : sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;
tan tan tan()1tan tan αβαβαβ
±±=
tan α±tan β=tan (α±β)(1 tan αtan β)
四、二倍角公式:
sin 2α= 2sin cos αα.
2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.
22tan tan 21tan ααα
=- 五、注意这些公式的来弄去脉
这些公式都可以由公式cos()cos cos sin sin αβαβ
αβ±=推导出来。 六、注意公式的顺用、逆用、变用。
如:逆用sin cos cos sin sin()αβαβαβ±=±
七、合一变形(辅助角公式)
把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的
B x A y ++=)sin(??形式。
()sin cos ααα?A +B =+,其中tan ?B =A
. 八、万能公式
九、用αsin ,αcos 表示2tan α
十、积化和差与和差化积
积化和差 )]sin()[sin(cos sin βαβαβα-++=;
)]sin()[sin(sin cos βαβαβα--+=;
)]cos()[cos(cos cos βαβαβα-++=;
)]cos()[cos(sin sin βαβαβα--+=.
和差化积 2
c o s 2s i n 2s i n s i n ?θ?
θ?θ-+=+ 2
s i n 2c o s 2s i n s i n ?θ?θ?θ-+=- 2
c o s 2c o s 2c o s c o s ?θ?θ?θ-+=+ 2
s i n 2s i n 2c o s c o s ?θ?θ?θ-+=-
十一、方法总结
1、三角恒等变换方法
观察(角、名、式)→三变(变角、变名、变式)
(1) “变角”
,
22
. (2)“变名”指的是切化弦(正切余切化成正弦余弦sin cos tan ,cot cos sin αααααα
==),
(3)“变式’形公式展开和合并等。
2、恒等式的证明方法灵活多样
①从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.
②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.
③比较法, 即设法证明: "左边-右边=0" 或" 左右
=1"; ④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.
例题:
如图,某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动
赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM ,该曲线段为函数
y=Asin ωx(A>0, ω>0) x ∈[0,4]的图象,且图象的最高点为
S(3,);赛道的后一部分为折线段MNP ,为保证参赛
运动员的安全,限定∠MNP=120o
(I )求A , ω的值和M ,P 两点间的距离;
(II )应如何设计,才能使折线段赛道MNP 最长?
本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识,考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力,考查化归与转化思想、数形结合思想,
解法一
(Ⅰ)依题意,有A =34T =,又2T πω=,6πω∴=。6y x π∴=
当 4x =是,233y π∴== (4,3)M ∴ 又(8,3)p
5MP ∴=
(Ⅱ)在△MNP 中∠MNP=120°,MP=5,
设∠PMN=θ,则0°<θ<60° 由正弦定理得
00sin sin120sin(60)MP NP MN θθ==-
NP θ∴=,0)MN θ∴=-
故01)(sin )2NP MN θθθθ+=
-=
060)θ=+ 0°<θ<60°,∴当θ=30°时,折线段赛道MNP 最长
亦即,将∠PMN 设计为30°时,折线段道MNP 最长
解法二:
(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)在△MNP 中,∠MNP=120°,MP=5,
由余弦定理得222cos MN NP MN NP +-∠MNP=2MP
即2225MN NP MN NP ++= 故22()25()2MN NP MN NP MN NP ++-=≤
从而23()254MN NP +≤,即MN NP +≤ 当且仅当MN NP =时,折线段道MNP 最长
注:本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、解法二给出的两种设计方式,
还可以设计为:①N ;②N ;③点N 在线段MP 的垂直平分线上等
正在阅读:
三角函数基本性质03-28
桃花姬阿胶糕推广活动策划案05-19
瓦格纳尔高压无气喷涂机 HC35-45-55G - c使用说明书 - 图文10-18
《清稗类钞》服饰类04-12
正式 模板工程 技术交底记录03-19
公共设施调查报告 - 图文06-12
- 马克思主义原理考试范围Microsoft Word 文档 (3)
- 地热发电市场行情现状及投资调查行业报告2018年目录
- 鸿合白板软件安装图示
- 水泥厂高压风机节能技改简述
- TS16949体系程序文件清单(过程识别)
- 生产部质量管理体系运行及内审报告
- 【精】消防应急照明和疏散指示系统检测与维护
- 课前三分钟----安全教育
- 语文一年级上册学前教育
- 腐败案警示录观后感
- 宜春野外拓展训练方案
- 商业银行经营绩效评价指标体系有哪几类构成?各自侧重分析哪些方
- gb29639-生产经营单位生产安全事故应急预案编制导则
- 晴隆县碧痕小学麻风病防治工作总结
- 2015陕西政法干警行测指导:用矛盾解决直言命题里的真假话问题
- 年度版2014年大学英语B统考题库模拟测验卷五
- 2020年度注册咨询师《FIDIC合同条件及要点分析》试卷及答案
- 大猫老师的绘本作文课
- Word长文档排版(素材)
- 07线性代数练习题(含答案)
- 三角函数
- 性质
- 基本
- 关于Win7鼠标右键没有新建选项
- 2020年中学联考八年级物理下期期末调研考试
- 淀粉生产工艺流程
- 2019年证券从业资格后续培训-私募基金托管业务风险管理(100分)
- 2014人教版新目标英语八年级下Unit_2__I’ll_help_to_clean_up_t
- 招投标评分标准
- EFI宣布收购Pace System集团
- 《广东省事业单位公开招聘人员办法》(省府139号令)
- 中国塑胶地板行业研究分析报告目录
- 2007年度国家精品课程申报表
- 村监督委员会工作八项制度
- 注册表修改开机启动
- 3GHz低噪声放大器的ADS设计和仿真
- 英文版__中华人民共和国道路交通安全法
- ACS全文电子期刊平台.
- 10年调查评价,绘就全新地下水资源图
- 全国车牌号归属地
- 湖北省襄阳市南漳县2015年中考适应性考试数学试题word版 含答案
- 内科30例上消化道出血患者护理论文
- 网上书店系统UML用例图活动图类图