2013《复变函数》A答案

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华南理工大学期末考试

2013《复变函数-A》试卷

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 6大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 1 得 分 评卷人 2 3 4 5 6 总分 1.填空题。(每题5分，合计30分)

（1）求 (1?i)的所有的值：

?2k??2k???62?cos(?)?isin(?)?,k?0,1,2

123123?? （2）函数w?(x2?5)?ixy 在如下范围内可导：

(0,0)

（3）在映射w?z3下，区域|w|?3， 0?argw? 21125z?33,argz?(??,??)?(0,?)?(?,?)

3263613_____________ ________

?2姓名 学号 的原像为

（4）计算积分?[z?(z?i)cosz]dz?

1i e?e?1?1?cosi?(i?1)sin1?cos1?(?1?sin1?cos1)?isin1

2 （5）设C为正向圆周|z|?4，则积分?

2?(1?e??e??)i 《复变函数-A 》试卷第 1 页 共 7 页

Cz?ezdz? sinz eiz（6）求留数Res(,i)? 21?z11??i 2ei2e

2.计算题，(每题5分，合计30分)。

（1）计算积分?(z?1)dz，积分路径自原点沿虚轴到i，再由i水平向右到1+i。

01?i

原式=?c1??c213?(?i)?(?i)?2 22

（2）计算Ln(5?2i) 和ii 的值

12Ln(5?2i)?ln29?i(?arctan?2k?),k?0,?1,...25

i?(?2k?)2

?i?e

,k?0,?1,...《复变函数-A 》试卷第 2 页 共 7 页

（3）分别用定义和柯西--黎曼条件判断函数f(z)?|z?1|2是否可导，是否解析？

只在(1,0)可导,处处不解析。

《复变函数-A 》试卷第 3 页 共 7 页

1（4）求解方程ch z?i

2

(ez)2?iez?1?0ez?1?5i2

1?51?5?z?Ln(i)?ln?i(??2k?),k?0,?1,...222

?1n（5）把函数f(z)?展开成幂级数。 cz?n22(1?z)n?0

f(z)??(?1)nzn?1n?0??2n?2??(?1)k(k?1)z2kk?0??

?1?2z2?

,(z?1)1sinz（6）函数 f(z)?2和g(z)?ez?2 都有什么奇点？如果是极点，请指出它

zcosz是几阶极点。

?f(z):0,一阶。+k?,一阶

2g(z):-2,本性

若考虑无穷远点，无穷远点不是f(z)的孤立奇点，是g(z)的可去奇点。

《复变函数-A 》试卷第 4 页 共 7 页

3. (本题10分) 计算如下幂级数的收敛半径：

?1（1）?zn，其中p为正数； pn?1(n?1)（2）?(i?2)nzn。

n?1?

(1)R?15

(2)R?5

4. (本题10分) 计算积分?2?0cos2?d?， (?1?p?0)。

1?2psin??p21?z4I??2dz2z(i?pz)(z?pi)z?1i.p1iRes(f,0)??(i?2)2pz?0,?pi,?1?p4p4?1Res(f,?pi)???222ip(1?p)2p2(p2?1)i2?p2I?2p?1《复变函数-A 》试卷第 5 页 共 7 页

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