专题04 导数及其应用解答题（原卷版）

专题04导数及其应用解答题

考纲解读 1.导数概念及其几何意义 （1）了解导数概念的实际背景. （2）理解导数的几何意义 2.导数的运算 （1）能根据导数定义求函数y?C(C为常三年高考分析 导数的运算法则和导数的具体应用 是考查的重点，解题时常用到导函数的求解、分类讨论的数学思想、等价转化的数学思想等，考查学生的数学抽象能力、逻辑推理能力、数学运算能力、直观想象能力，题型以选择填空题和解答题为主，较大难度. 考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性1数),y?x,y?x2,y?的导数. x（2）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，导数的四则运算法则求简单函数的导数. 强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思?常见基本初等函数的导数公式： 想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大. (C)??0(C为常数)；(xn)??nxn?1,n?N； (sinx)??cosx；(cosx)???sinx； xxxx(e)??e；(a)??alna(a?0,且a?1)； 11(lnx)??x；(logax)??xlogae(a?0,且a?1) ?常用的导数运算法则： 法则1：[u(x)?v(x)]??u?(x)?v?(x). 法则2：[u(x)v(x)]??u?(x)v(x)?u(x)v?(x). 法则3：[u(x)u'(x)v(x)?u(x)v'(x)]'?(v(x)?0) 2v(x)v(x)3.导数在研究函数中的应用 （1）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). （2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题. 会利用导数解决某些实际问题.

1．【2019年天津文科20】设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）e，其中a∈R． （Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性； （Ⅱ）若0＜a

，

x

（i）证明f（x）恰有两个零点；

（i）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2． 2．【2019年新课标3文科20】已知函数f（x）＝2x﹣ax+2． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）当0＜a＜3时，记f（x）在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围． 3．【2019年新课标2文科21】已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．证明： （1）f（x）存在唯一的极值点；

（2）f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．

4．【2019年新课标1文科20】已知函数f（x）＝2sinx﹣xcosx﹣x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 5．【2019年北京文科20】已知函数f（x）

x﹣x+x．

3

23

2

（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为l的切线方程； （Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；

（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M（a）．当M（a）最小时，求a的值．

6．【2018年新课标2文科21】已知函数f（x）（1）若a＝3，求f（x）的单调区间； （2）证明：f（x）只有一个零点．

7．【2018年新课标1文科21】已知函数f（x）＝ae﹣lnx﹣1． （1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a

时，f（x）≥0．

．

x

x﹣a（x+x+1）．

32

8．【2018年新课标3文科21】已知函数f（x）（1）求曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；

（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．

9．【2018年北京文科19】设函数f（x）＝[ax﹣（3a+1）x+3a+2]e． （Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a； （Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．

10．【2018年天津文科20】设函数f（x）＝（x﹣t1）（x﹣t2）（x﹣t3），其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．

（Ⅰ）若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （Ⅱ）若d＝3，求f（x）的极值；

（Ⅲ）若曲线y＝f（x）与直线y＝﹣（x﹣t2）﹣6

有三个互异的公共点，求d的取值范围．

2

x

2

x

11．【2017年新课标2文科21】设函数f（x）＝（1﹣x）e． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．

12．【2017年新课标1文科21】已知函数f（x）＝e（e﹣a）﹣ax． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

13．【2017年新课标3文科21】已知函数f（x）＝lnx+ax+（2a+1）x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当a＜0时，证明f（x）

2．

x

2x

x

2

14．【2017年北京文科20】已知函数f（x）＝ecosx﹣x． （1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

15．【2017年天津文科19】设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x﹣6x﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝ef（x）．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式g（x）≤e在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．

xx

3

2

x

1．【湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试】已知函数f(x)?|x?a|?lnx(a?0). （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

(n?1)(2n?1)ln22ln32lnn2（Ⅱ）比较2?2???2 与的大小?n?N?且n?2?，并证明你的结论.

2(n?1)23n2．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】已知函数f(x)?lnx?ax?1，其中a为实常数.

（1）若当a?0时，f(x)在区间[1,e]上的最大值为?1，求a的值；

（2）对任意不同两点Ax1,f?x1?，Bx2,f?x2?，设直线AB的斜率为k，若x1?x2?k?0恒成立，求a的取值范围.

????x23．【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)】已知函数f(x)?e??1

2x（1）若直线y?x?a为f?x?的切线，求a的值．

（2）若?x??0,???，f?x??bx恒成立，求b的取值范围．

4．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)】已知函数f?x??xlnx,g?x??（1）若函数f?x?与g?x?的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围； （2）设F?x??fx?12mx． 2?x??，已知F?x?在?0,???上存在两个极值点x,x?g12，且x1?x2，求证：2x1x2?e2（其中e为自然对数的底数）．

xg?x??ax?x?1?a?0?. 5．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】已知函数f(x)?e，

2（1）设F?x??g?x?f?x?，讨论函数F?x?的单调性；

（2）若0?a?1，证明：f?x??g?x?在?0,???恒成立. 26．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)】已知函数f(x)??alnx?x?（1）当a?2时，求函数f(x)的单调区间；

（2）设g?x??e?mx?3，当a?e2?1时，对任意x1?[1,??)，存在x2?[1,??)，使

x21?a. x

f(x1)?2e2?g(x2)，证明：m?e2?e.

7．【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试（三模)】已知函数f?x??（1）若直线y?x?alnx，其中a为常数． e2x是曲线y?f?x?的一条切线，求实数a的值； elnx，???上有两个零点．求实数b的取值范围． ?b在?1（2）当a??1时，若函数g?x??f?x??x8．【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模)】已知函数f?x???mx?n?e数的底数）.

（1）若函数f?x?在点1,f?1?处的切线方程为x?ey?3?0，试确定函数f?x?的单调区间； （2）①当n??1，m?R时，若对于任意x??,2?，都有f?x??x恒成立，求实数m的最小值；②当

2?x（m,n?R，e是自然对

???1???m?n?1时，设函数g?x??xf?x??tf??x??e?x?t?R?，是否存在实数a,b,c??0,1?，使得

g?a??g?b??g?c?？若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由.

329．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】设函数f(x)?x?ax?bx(a，b?R)的导函数为f(x),

?已知x1，x2是f(x)的两个不同的零点．

（1）证明：a2?3b；

（2）当b＝0时，若对任意x＞0，不等式f(x)?xlnx恒成立，求a的取值范围； （3）求关于x的方程f(x)?f?(x1?x2)(x?x1)?f(x1)的实根的个数． 21?alnx. x10．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】已知函数f?x??x?（1）若曲线y?f?x?在x?1处的切线的斜率为3，求实数a的值； （2）若函数在区间?1,2?上存在极小值，求实数a的取值范围； （3）如果f?x??0的解集中只有一个整数，求实数a的取值范围. 11．【天津市实验中学2019届高三第六次阶段考】已知函数f(x)?（1）当a?2时，求曲线y?f?x?在点1,f?1?处切线的方程；

12?1?x??a??x?lnx，其中a?0. 2a????

（2）当a?1时，求函数f?x?的单调区间；

f?x1??f?x2?1?1??1?（3）若a??0,?，证明对任意x1,x2??,1??x1?x2?，?恒成立. 22?2?2??x1?x2212．【湖南省益阳市桃江县第一中学2019届高三5月模拟考试】已知函数f?x??e?ax?b，曲线y?f?x?x在点1,f?1?处的切线方程为ex?y?2?0. （1）求函数f?x?的解析式，并证明：f?x??x?1.

（2）已知g?x??kx?2，且函数f?x?与函数g?x?的图象交于A?x1,y1?，B?x2,y2?两点，且线段AB的中点为P?x0,y0?，证明：f?x0??g?1??y0.

13．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】已知函数f?x???1?a??x?1??lnx?1，

??g?x??xe1?x.

（1）求g?x?在区间?0,e?上的值域；

（2）是否存在实数a，对任意给定的x0??0,e，在?1,e?存在两个不同的xi?i?1,2?使得f?xi??g?x0?，若存在，求出a的范围，若不存在，说出理由.

14．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试】设函数f?x??x?alnx.

2?（1）讨论函数f?x?的单调性； （2）当a?2时，

①求函数f?x?在?,e?上的最大值和最小值；

e②若存在x1，x2，…，xn??,e?，使得f?x1??f?x2??e?1????1????f?xn?1??f?xn?成立，求n的最大值.

a?lnx. x15．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试】已知函数f(x)?(1)讨论f(x)的单调性；

e?2?3?ln(x?1)1(2)令g(x)?f(x?1)，当a?2，x??1时，证明：g(x)?.

1?ln(x?1)e

16．【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试】已知函数f(x)?lnx?ax?（Ⅰ）若a?0，讨论函数f(x)的单调性； （Ⅱ）若a?0，证明：

a?1. xf(x)?2a1…x?1. xex217．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】已知函数f?x??e?ax，且曲线

y?f?x?在点x?1处的切线与直线x??e?2?y?0垂直.

（1）求函数f?x?的单调区间；

（2）求证：x?0时，e?ex?1?x?lnx?1?.

xa218．. 【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷（一)】已知函数f?x??alnx?x??a?2?x?42（Ⅰ）当曲线f?x?在x?3时的切线与直线y??4x?1平行，求曲线f?x?在1,f?1?处的切线方程； （Ⅱ）求函数f?x?的极值，并求当f?x?有极大值且极大值为正数时，实数a的取值范围.

x19．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】设函数f(x)?xlnx?ae，其中a?R，e是自然对数的底

??数.

（1）若f?x?在(0,??)上存在两个极值点，求a的取值范围； （2）若a?2，证明：f(x)?0. 2e12ax?lnx(a?R). 220．【安徽省泗县第一中学2019届高三高考最后一模】已知：f(x)?（1）讨论f(x)的单调性； （2）当a?0，0?t??1时，证明： a（i）y?f(x)在点P(t,f(t))处的切线与y?f(x)的图像至少有两个不同的公共点； （ii）若另有公共点为x0,f?x0?，其中x0?t，则t?x0?2???1. a

1．已知函数f（x）＝x（lnx﹣1）+（2a+1）x﹣a．

（1）若x＝a（a＞0）为函数y＝f（x）﹣2x的一个极值点，求实数a的值；

2

（2）若函数f（x）在区间（0，e）上有且只有一个零点，求实数a的取值范围． 2．已知函数

．

（1）若m＝1，求函数f（x）的单调区间； （2）若关于x的方程m的取值范围．

3．已知函数f（x）＝x﹣ax+2lnx（其中a是实数）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若

，且f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求x1的取值范围；

2

在（0，+∞）上有两个不同的实数根，求实数

（Ⅲ）|f（x1）﹣f（x2）|的取值范围．（其中e是自然对数的底数） 4．已知a是实常数，a＞0，

．

（1）当a＝2时，判断函数y＝f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并说明理由；

（2）写出一个a的值，使得f（x）＝0在区间（0，+∞）上有至少两个不同的解，并严格证明你的结论． 5．已知函数f（x）＝lnx+ax+（a+2）x+1（a∈R）． （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）设a∈Z，若对任意的x＞0，f（x）≤0恒成立，求整数a的最大值； （Ⅲ）求证：当x＞0时，e﹣xlnx+2x﹣x+x﹣1＞0．

x

3

2

2

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