2018年最新高考数学一二轮复习热点题型精讲精练专题三 充分条件

专题三 充分条件、必要条件与命题的四种形式

【高频考点解读】

1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义． 2.理解全称量词与存在量词的意义． 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【热点题型】

题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断

【例1】在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )

A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q) C．(綈p)∧(綈q)

D．p∨q

【提分秘籍】

正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③判断复合命题的真假．

【举一反三】

5

已知命题p：?x∈R，cos x＝，命题q：?x∈R，x2－x＋1>0，则下列结论正确的是( )

4A．命题p∧q是真命题

B．命题p∧綈q是真命题 D．命题綈p∨綈q是假命题

C．命题綈p∧q是真命题

13

x－?2＋>0，解析：由余弦函数的值域知命题p不正确；因为x2－x＋1＝?故?2?4故命题q正确．选C.

答案：C 【热点题型】

题型二 全称命题、特称命题的真假判断 【例2】下列命题中是假命题的是( ) A．?α，β∈R，使sin (α＋β)＝sin α＋sin β

B．?φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数

C．?m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．?a>0，函数f(x)＝ln2 x＋ln x－a有零点

【提分秘籍】

1．全称命题真假的判断方法

(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．

(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．

2．特称命题真假的判断方法

要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

【举一反三】

下列命题中的假命题是( ) A．?x∈R，sin x＝52

B．?x∈R，log2x＝－1 C．?x∈R，?1?2??x

>0

D．?x∈R，x2≥0

解析：易知|sin x|≤1，故A是假命题． 答案：A 【热点题型】

题型三 含有一个量词的命题否定

【例3】设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：?x∈A,2x∈B，则( ) A．綈p：?x∈A,2x?B B．綈p：?x?A,2x?B C．綈p：?x?A,2x∈B

D．綈p：?x∈A,2x?B

【解析】因为任意都满足的否定是存在不满足的，所以选D.

【答案】D 【提分秘籍】

对含有一个量词的命题进行否定的方法：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．

【举一反三】

ππ

－，?，tan x>sin x，则命题綈p：( ) 若命题p：?x∈??22?ππ

－，?，tan x0≥sin x0 A．?x0∈??22?ππ

－，?，tan x0>sin x0 B．?x0∈??22?ππ

－，?，tan x0≤sin x0 C．?x0∈??22?ππ

－∞，－?∪?，＋∞?，tan x0>sin x0 D．?x0∈?2??2??

ππ

－，?，tan x0≤sin x0. 解析：?x的否定为?x0，>的否定为≤，所以命题綈p为?x0∈??22?答案：C 【热点题型】

题型四 利用全称(特称)命题的真假求参数范围

【例4】若命题p：?x∈R，ax2＋4x＋a<－2x2＋1是假命题，则实数a的取值范围是________．

【提分秘籍】

解题模板

第一步：转化：根据条件命题的真假进行转化 第二步：求范围：根据转化问题，数形结合求参数范围 第三步：结论：回答问题结论

第四步：反思：反思解题过程，注意端点值验证取舍 【举一反三】

设集合A＝{ (x，y)|(x－4)2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|(x－t)2＋(y－at＋2)2＝1}，如果命题“?t∈R，A∩B≠?”是真命题，则实数a的取值范围是________．

【高考风向标】

1．（·湖南卷）已知命题p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

2．（·辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )

A．p∨q B．p∧q C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)

??x＋y≥1，3．（·新课标全国卷Ⅰ） 不等式组?的解集记为D，有下面四个命题：

?x－2y≤4?

p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2， p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2， p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3， p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1. 其中的真命题是( ) A．p2，p3 B．p1，p2

C．p1，p4 D．p1，p3

4．（·重庆卷）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )

A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，使得x2＜0

2

C．存在x0∈R，使得x0≥0

D．存在x0∈R，使得x20＜0

【答案】D 【解析】根据定义可知命题的否定为：存在x0∈R，使得x20＜0，故选D. 【随堂巩固】

1．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( ) A．所有奇数的立方都不是奇数 B．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C．存在一个奇数，它的立方是偶数 D．不存在一个奇数，它的立方是奇数

解析：全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方是偶数”． 答案：C

2．已知命题p：?x0∈R，x20＋2x0＋2≤0，则綈p为( ) A．?x0∈R，x20＋2x0＋2>0

2B．?x0∈R，x0＋2x0＋2<0

C．?x∈R，x2＋2x＋2≤0 D．?x∈R，x2＋2x＋2>0

解析：根据特称命题的否定，特称量词改为全称量词，同时把不等号改为大于号，选择D.

答案：D

3．给出命题p：直线l1：ax＋3y＋1＝0与直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行的充要条件是a＝－3；命题q：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( )

A．命题“p∧q”为真 B．命题“p∨q”为假

C．命题“p∨綈q”为假 D．命题“p∧綈q”为真

π3π2x＋?和函数y＝cos ?2x－? 4．给定命题p：函数y＝sin?4?4???

π

的图象关于原点对称；命题q：当x＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2(sin 2x＋cos 2x)取得极

2小值．下列说法正确的是( )

A．p∨q是假命题 C．p∧q是真命题

B．綈p∧q是假命题 D．綈p∨q是真命题

5．已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“?x0∈R，x20＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是假命题，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，4]

B．(－∞，1)∪(4，＋∞)

C．(－∞，e)∪(4，＋∞) D．(1，＋∞)

6．已知命题p：?x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4

A．“綈p”是假命题 B．“綈q”是真命题 C．“p∧q”为真命题 D．“p∨q”为真命题

7．下列说法中，正确的是( )

A．命题“若am21”是“x>2”的充分不必要条件 D．命题“?x∈R，x2－x>0”的否定是：“?x∈R，x2－x≤0”

8．已知f(x)＝2mx2－2(4－m)x＋1，g(x)＝mx，若同时满足条件：

①?x∈R，f(x)>0或g(x)>0； ②?x∈(－∞，－ 4)，f(x)g(x)<0. 则实数m的取值范围是________．

9．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”、“p∧q”、“綈p”中是真命题的有________．

解析：依题意p假，q真，所以p∨q，綈p为真． 答案：p∨q，綈p

10．若命题“?x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

??a<0，

解析：当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知?得－8≤a<0.2

?Δ＝a＋8a≤0，?

综上，－8≤a≤0.

答案：[－8,0)

1

11．已知命题p：“?x∈N*，x>”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假

x为________(填“真”或“假”)．

11

解析：q：?x0∈N*，x0≤，当x0＝1时，x0＝成立，故q为真．

x0x01

答案：?x0∈N*，x0≤ 真

x0

12．若命题“存在实数x0，使x20＋ax0＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围为________．

解析：由于命题的否定是假命题，所以原命题为真命题，结合图象知Δ＝a2－4>0，解得a>2或a<－2.

答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)

π

θ－?的值为________． 13．若?θ∈R，使sin θ≥1成立，则cos??6?

x－1y2

14．已知命题p：?a0∈R，曲线x＋＝1为双曲线；命题q：≤0的解集是{x|1

a0x－2

2

出下列结论：

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是真命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是真命题．其中正确的是________．

15．下列结论：

1

①若命题p：?x0∈R，tan x0＝2；命题q：?x∈R，x2－x＋>0.则命题“p∧(綈q)”是假命

2题；

a

②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；

b

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