初三数学压轴题训练

初三数学

一、解答题（共8小题） 1．（2012 随州）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程y1（km）与行使的时间x（h）之间的函数关系，如图中AB所示；慢车离乙地的路程y2（km）与行使的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段OC所示，根据图象进行以下研究． 解读信息：

（1）甲，乙两地之间的距离为 _________ km；

（2）线段AB的解析式为 _________ ；线段OC的解析式为 _________ ； 问题解决：

（3）设快，慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式，并画出函数图

象．

，

2．（2012 沈阳）已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且

AB=4在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°． （1）求AP的长；

（2）求证：点P在∠MON的平分线上． （3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP． ①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值； ②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．

3．（2012 潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．

4．（2012 云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点． （1）求抛物线的解析式（关系式）； （2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；

（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，

请说明理由．

x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=

x+bx+c

2

5．（2012 南通）菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上． （1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF； （2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF

是等边三角形．

6．（2012 温州）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地． （1）当n=200时，①根据信息填表：

（2）若总运费为5800元，求n的最小值．

CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下：

连接CO，则CO是AB边上中线， ∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1） ∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）

反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指： 依据1： _________ 依据2： _________

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． 拓展延伸：

（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的

数量关系与位置关系，并写出证明过程．

8．（2012 珠海）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x

的取值范围．

【在线作业】《2012年7月王老师的暑期A班练习

3》

参考答案与试题解析

一、解答题（共8小题） 1．（2012 随州）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动，快车离乙地的路程y1（km）与行使的时间x（h）之间的函数关系，如图中AB所示；慢车离乙地的路程y2（km）与行使的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段OC所示，根据图象进行以下研究． 解读信息：

（1）甲，乙两地之间的距离为 450 km；

（2）线段AB的解析式为 y；线段OC的解析式为 问题解决：

（3）设快，慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式，并画出函数图

象．

2．（2012 沈阳）已知，如图①，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），且AB=4在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°． （1）求AP的长；

（2）求证：点P在∠MON的平分线上．

（3）如图②，点C，D，E，F分别是四边形AOBP的边AO，OB，BP，PA的中点，连接CD，DE，EF，FC，OP． ①当AB⊥OP时，请直接写出四边形CDEF的周长的值； ②若四边形CDEF的周长用t表示，请直接写出t的取值范围．

，

3．（2012 潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．

（1）求证：四边形AECF为平行四边形；

（

2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．

4．（2012 云南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=的图象过点E（﹣1，0），并与直线相交于A、B两点．

（1）求抛物线的解析式（关系式）； （2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；

（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

x+2交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线y=

x2+bx+c

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考点： 二次函数综合题。

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分析： (1)首先求出 A 点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式； (2)利用相似三角形(Rt△ OCA∽ OPA)比例线段之间的关系，求出线段 OC 的长度，从而得到 C 点的坐 Rt△ 标，如题图所示； (3)存在所求的 M 点，在 x 轴上有 3 个，y 轴上有 2 个，注意不要遗漏.求点 M 坐标的过程并不复杂，但 要充分利用相似三角形比例线段之间的关系. 解答： 解： (1)直线解析式为 y= ∴ A(0,2) , ∵ 抛物线 y= x +bx+c 的图象过点 A(0,2) ,E(﹣1,0) ,2

x+2,令 x=0,则 y=2,

∴

,

解得

.2

∴ 抛物线的解析式为：y=

x + x+2.

(2)∵ 直线 y=

x+2 分别交 x 轴、y 轴于点 P、点 A,

∴ P(6,0) ,A(0,2) , ∴ OP=6,OA=2. ∵ AB,OA⊥ AC⊥ OP, ∴ OCA∽ OPA,∴ Rt△ Rt△ ∴ OC= , ,

又 C 点在 x 轴负半轴上， ∴ C 的坐标为 C( 点 ，0) .

(3)抛物线 y=

x + x+2 与直线 y=

2

x+2 交于 A、B 两点，

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菁优网 令 x + x+2= ,2

x+2,

解得 x1=0,x2= ∴ B( , ) .

如答图① 所示，过点 B 作 BD⊥ 轴于点 D, x 则 D( ,0) ,BD= ,DP=6﹣ = .

点 M 在坐标轴上，且△ MAB 是直角三角形，有以下几种情况： ① 当点 M 在 x 轴上，且 BM⊥ AB,如答图① 所示. 设 M(m,0) ,则 MD= ∵ BM⊥ AB,BD⊥ 轴，∴ x ﹣m. ,

即

,

解得 m=

, ,0) ;

∴ 此时 M 点坐标为(

② 当点 M 在 x 轴上，且 BM⊥ AM,如答图① 所示. 设 M(m,0) ,则 MD= ﹣m.

∵ BM⊥ AM,易知 Rt△ AOM∽ MDB, Rt△ ∴ ,即 ，

化简得：m ﹣ 解得：x1=

2

m+

=0, , ,0)( , ,0) ;

,x2=

∴ 此时 M 点坐标为(

(说明：此时的 M 点相当于以 AB 为直径的圆与 x 轴的两个交点) ③ 当点 M 在 y 轴上，且 BM⊥ AM,如答图② 所示. 此时 M 点坐标为(0, ) ; ④ 当点 M 在 y 轴上，且 BM′AB,如答图② ⊥ 所示. 设 M′ (0,m) ,则 AM=2﹣ = 易

知 Rt△ ABM∽ MBM′ Rt△ , ,BM= ,MM′ ﹣m. =

∴

,即

,

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5．（2012 南通）菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上． （1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF； （2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．

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考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定。 专题： 证明题。

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分析： (1)首先连接 AC,由菱形 ABCD 中，∠ B=60°,根据菱形的性质，易得△ ABC 是等边三角形，又由三线合 一，可证得 AE⊥ BC,继而求得∠ FEC=∠ CFE,即可得 EC=CF,继而证得 BE=DF; (2)首先连接 AC,可得△ ABC 是等边三角形，即可得 AB=AC,以求得∠ ACF=∠ B=60°,然后利用平行线与 三角形外角的性质，可求得∠ AEB=∠ AFC,证得△ AEB≌AFC,即可得 AE=AF,证得：△ △ AEF 是等边三角形. 解答： 证明： (1)连接 AC, ∵ 菱形 ABCD 中，∠ B=60°, ∴ AB=BC=CD,∠ C=180°﹣∠ B=120°, ∴ABC 是等边三角形， △ ∵ 是 BC 的中点， E ∴ BC, AE⊥ ∵AEF=60°, ∠ ∴FEC=90°﹣∠ ∠ AEF=30°, ∴CFE=180°﹣∠ ∠ FEC﹣∠ C=180°﹣30°﹣120°=30°, ∴FEC=∠ ∠ CFE, ∴ EC=CF, ∴ BE=DF; (2)连接 AC, ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠ B=60° ∴ AB=BC,∠ B=60°,∠ D=∠ ACB=∠ ACF, ∴ABC 是等边三角形， △ ∴ AB=AC,∠ ACB=60°, ∴B=∠ ∠ ACF=60°, ∵ BC, AD∥ ∴AEB=∠ ∠ EAD=∠ EAF+∠ FAD=60°+∠ FAD, ∠ AFC=∠ FAD=60°+∠ D+∠ FAD, ∴AEB=∠ ∠ AFC, 在△ ABE 和△ AFC 中，

∴ABE≌ACF(AAS) △ △ , ∴ AE=AF, ∵EAF=60°, ∠ ∴AEF 是等边三角形. △

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6．（2012 温州）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地． （1）当n=200时，①根据信息填表：

7．（2012 山西）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．

探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下：

连接CO，则CO是AB边上中线， ∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1） ∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）

反思交流：

（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：

依据1： 等腰三角形的三线合一（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合） 依据2： 角平分线上的点到角的两边的距离相等

（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． 拓展延伸：

（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．

8．（2012 珠海）如图，二次函数y=（x﹣2）+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．

2

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考点： 待定系数法求二次函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；二次函数与不等式(组) 。 专题： 探究型。

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分析： (1)将点 A(1,0)代入 y=(x﹣2)2+m 求出 m 的值，根据点的对称性，将 y=3 代入二次函数解析式求出 B 的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式； (2)根据图象和 A、B 的交点坐标可直接求出 kx+b≥(x﹣2) +m 的 x 的取值范围.2 解答： 解： (1)将点 A(1,0)代入 y=(x﹣2) +m 得， 2

(1﹣2) +m=0, 1+m=0, 2 m=﹣1,则二次函数解析式为 y=(x﹣2) ﹣1.

当 x=0 时，y=4﹣1=3, 故 C 点坐标为(0,3) , 由于 C 和 B 关于对称轴对称，在设 B 点坐标为(x,3) , 令 y=3,有(x﹣2) ﹣1=3, 解得 x=4 或 x=0. 则 B 点坐标为(4,3) . 设一次函数解析式为 y=kx+b, 将 A(1,0) 、B(4,3)代入 y=kx+b 得， , 解得 ，则一次函数解析式为 y=x﹣1;2

2

(2)∵ A、B 坐标为(1,0)(4,3) , , 2 ∴ kx+b≥(x﹣2) +m 时，1≤x≤4. 当 点评： 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出 B 点坐标是解题的关键.

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