海安县七校联考2015～2016年八年级上期中数学试卷含答案解析

江苏省南通市海安县七校联考 2015～2016 学年度八年级上学期期中

数学试卷

一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，满分 20 分） 1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．下列计算正确的是（ ）

A．（﹣2a3）3=﹣8a6 B．m6÷m2=m3 C．x2008+x2008=2x2008 D．t2?t3=t6

3．计算：（）2014×（﹣1.5）2015 的结果是（ ）

A．﹣ B． C．﹣ D．

4．如图，已知 AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC 的是（

A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°

5．如图，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C 的度数为（

）

A．35° B．40° C．45° D．50°

6．已知 a+b=3，ab=2，则 a2+b2 的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．在△ABC 中，∠A=100°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 D，则∠BDC 的度数是（A．120° B．135° C．140° D．150°

）

） 8．如图，在△ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，AE∥BD 交 CB 的延长线于点 E．若

∠E=35°，则∠BAC 的度数为（

）

A．40° B．45° C．60° D．70°

9．等腰△ABC 中，AB=AC，BD 是腰 AC 上的高线，∠DBC=15°，若 BD=5，则 AC 等于（ A．5 B．10 C．2.5 D．15

）

10．如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和等边三 角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q， 连结 PQ．以下结论正确的有（ ）个

①PQ∥AE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④CP=CQ；⑤连接 OC，则 OC 平分∠AOE．

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个

二．填空题（每题 3 分，共 24 分） 11．计算：﹣24x2y4÷（﹣3x2y）?3x3=

．

．

12．分解因式：16x4﹣1=

13．一个三角形的两边分别是 3 厘米和 9 厘米，第三边长是一个偶数，则此三角形的周长为 厘米．

14．若点（a，﹣4）关于 y 轴对称的点的坐标为（﹣3，b），则 ba 的值为

．

15．若 a2+a﹣1=0，则 a3+2a2+2015= ．

．

16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则这个等腰三角形的底角是

17．如图，△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交边 AB 于 D 点，交边 AC 于 E 点，若△ABC 与△EBC 的周长分别是 40cm，24cm，则 AB= cm．

18．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=100°，∠B=∠D=90°，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使 △AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为 ．

三．解答题 19．计算题：

（1）（﹣2a）3?b5÷12a3b4； 4（a﹣b）2﹣（﹣a+2b）．

20．因式分解：x2+3x（x﹣3）﹣9．

21．先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中 a=，b=﹣1．

22．如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹）

画出格点（1）求出格点△ABC（顶点均在格点上）的面积；

△ABC 关于直线 DE 对称的△A1B1C1； （3）在 DE 上画出点 Q，使△QAB 的周长最小．

23．已知：如图，AB=CD，∠A=∠D，点 M 是 AD 的中点． 求证：∠ABC=∠DCB．

24．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，求证：DE=DF．

25．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE． （1）求证：CE=CF； 若点 G 在 AD 上，且∠GCE=45°，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？

26．如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上任意一点（与 A、C 两点不重合）．Q 是 CB 延长线上一点，且始终满足条件 BQ=AP，过 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D． （1）如图（1），当∠CQP=30°时．求 AP 的长． 如图，当 P 在任意位置时，求证：DE=AB．

27．如图，在直角坐标系 xOy 中，直线 AB 交 x 轴于 A，交 y 轴负半轴于 B（0，﹣10），C 为 x 轴 正半轴上一点，且 OC=5OA．

（1）求△ABC 的面积； 延长 BA 到 P（自己补全图形），使得 PA=AB，过点 P 作 PM⊥OC 于 M，求 P 点的坐标； （3）如图，D 是第三象限内一动点，直线 BE⊥CD 于 E，OF⊥OD 交 BE 延长线于 F．当 D 点运动 时， 的大小是否发生变化？若改变，请说明理由；若不变，求出这个比值．

江苏省南通市海安县七校联考 2015～2016 学年度八年级上学

期期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，满分 20 分） 1．下列交通标志图案是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形． 【专题】常规题型．

【分析】根据轴对称的定义结合选项所给的特点即可得出答案． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误； 故选：B．

【点评】本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻 找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2．下列计算正确的是（ ）

A．（﹣2a3）3=﹣8a6 B．m6÷m2=m3 C．x2008+x2008=2x2008 D．t2?t3=t6

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．

【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法等运算，然后 选择正确选项．

【解答】解：A、（﹣2a3）3=﹣8a9，原式计算错误，故本选项错误； B、m6÷m2=m4，原式计算错误，故本选项错误； C、x2008+x2008=2x2008，原式计算正确，故本选项正确； D、t2?t3=t5，原式计算错误，故本选项错误． 故选 C．

【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法等知识，解答本题的 关键是掌握各知识点的运算法则．

3．计算：（）2014×（﹣1.5）2015 的结果是（ A．﹣ B． C．﹣ D．

【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．

【分析】根据同底数幂的乘法，可化简成积的乘方的形式，根据积的乘方，可得答案．

）

【解答】解：原式=（ ）2014× =[ =﹣ ， 故

选：A．

【点评】本题考查了积的乘方，先化简成积的乘方形式，再进行积的乘方运算．

2014×

4．如图，已知 AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC 的是（

）

A．CB=CD B．∠BAC=∠DAC 【考点】全等三角形的判定．

C．∠BCA=∠DCA D．∠B=∠D=90°

【分析】本题要判定△ABC≌△ADC，已知 AB=AD，AC 是公共边，具备了两组边对应相等，故添

加 CB=CD、∠BAC=∠DAC、∠B=∠D=90°后可分别根据 SSS、SAS、HL 能判定△ABC≌△ADC， 而添加∠BCA=∠DCA 后则不能． 【解答】解：A、添加 CB=CD，根据 SSS，能判定△ABC≌△ADC，故 A 选项不符合题意； B、添加∠BAC=∠DAC，根据 SAS，能判定△ABC≌△ADC，故 B 选项不符合题意； C、添加∠BCA=∠DCA 时，不能判定△ABC≌△ADC，故 C 选项符合题意； D、添加∠B=∠D=90°，根据 HL，能判定△ABC≌△ADC，故 D 选项不符合题意； 故选：C．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、 AAS、HL．

注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边 一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

5．如图，在△ABC 中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C 的度数为（

）

A．35° B．40° C．45° D．50° 【考点】等腰三角形的性质．

【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB 的度数，再由平角的定义得出∠ADC 的度数，根据 等腰三角形的性质即可得出结论．

【解答】解：∵△ABD 中，AB=AD，∠B=70°， ∴∠B=∠ADB=70°，

∴∠ADC=180°﹣∠ADB=110°，

∵AD=CD，

∴∠C=（180°﹣∠ADC）÷2=（180°﹣110°）÷2=35°， 故选：A．

【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．

6．已知 a+b=3，ab=2，则 a2+b2 的值为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6 【考点】完全平方公式．

【分析】根据完全平方公式得出 a2+b2=（a+b）2﹣2ab，代入求出即可． 【解答】解：∵a+b=3，ab=2， ∴a2+b2

=（a+b）2﹣2ab =32﹣2×2 =5， 故选 C

【点评】本题考查了完全平方公式的应用，注意：a2+b2=（a+b）2﹣2ab．

7．在△ABC 中，∠A=100°，∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 D，则∠BDC 的度数是（ A．120° B．135° C．140° D．150°

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．

【分析】根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形内角和定理得到

∠1+∠3+∠BDC=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°，利用等量代换得到 2（180°﹣∠BDC）+∠A=180°，即有∠BDC=90°+ ∠A．

【解答】解：如图，

∵∠ABC，∠ACB 的平分线相交于点 D， ∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠3+∠BDC=180°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180°， ∴2∠1+2∠3+∠A=180°，

∴2（180°﹣∠BDC）+∠A=180°，

∴∠BDC=90°+ ∠A， ∵∠A=100°，

∴∠BDC=90°+ ×100°=90°+50°=140°．

故选 C．

【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和为 180°是解答此题的关键．

） 8．如图，在△ABC 中，AB=AC，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，AE∥BD 交 CB 的延长线于点 E．若 ∠E=35°，则∠BAC 的度数为（ ）

A．40° B．45° C．60° D．70°

【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．

【分析】根据平行线的性质可得∠CBD 的度数，根据角平分线的性质可得∠CBA 的度数，根据等腰 三角形的性质可得∠C 的度数，根据三角形内角和定理可得∠BAC 的度数． 【解答】解：∵AE∥BD，

∴∠CBD=∠E=35°， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠CBA=70°， ∵AB=AC，

∴∠C=∠CBA=70°，

∴∠BAC=180°﹣70°×2=40°．

故选：A．

【点评】考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．关键是 得到∠C=∠CBA=70°．

9．等腰△ABC 中，AB=AC，BD 是腰 AC 上的高线，∠DBC=15°，若 BD=5，则 AC 等于（ ） A．5 B．10 C．2.5 D．15 【考点】含 30 度角的直角三角形；等腰三角形的性质． 【分析】先在 Rt△BCD 中根据直角三角形两锐角互余得出∠C=75°，再由 AB=AC，在△ABC 中利 用等边对等角的性质及三角形内角和定理求出∠A=30°，然后根据在直角三角形中，30°角所对的直 角边等于斜边的一半得出 AB=2BD=10，那么 AC=AB=10． 【解答】解：在 Rt△BCD 中， ∵∠BDC=90°，∠DBC=15°， ∴∠C=90°﹣∠DBC=75°， ∵AB=AC，

∴∠A=180°﹣2∠C=30°，

在 Rt△BAD 中，∵∠BDA=90°，∠A=30° ∴AB=2BD=10， ∴AC=AB=10． 故选 B．

【点评】本题考查了含 30 度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜 边的一半．同时考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠A=30°是解题的关键．

10．如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和等边三 角形 CDE，AD 与 BE 交于点 O，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q， 连结 PQ．以下结论正确的有（ ）个

①PQ∥AE；②AP=BQ；③∠AOB=60°；④CP=CQ；⑤连接 OC，则 OC 平分∠AOE．

A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】由于△ABC 和△CDE 是等边三角形，可知 AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而 证出△ACD≌△BCE，由△ACD≌△BCE 得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC， 得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ 为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE， 根据△CQB≌△CPA（ASA），可知 CP=CQ 正确；利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行 线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，再利用四 点共圆得出以及圆心角定理 OC 平分∠AOE． 【解答】解：∵等边△ABC 和等边△CDE， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE， 在△ACD 和△BCE 中

∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠CBE=∠DAC， 又∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ， 在△CQB 和△CPA 中

∴△CQB≌△CPA（ASA）， ∴CP=CQ，故④正确； 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ 为等边三角形， ∴∠PQC=∠DCE=60°， ∴PQ∥AE①正确， ∵△CQB≌△CPA， ∴AP=BQ②正确， ∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE，

∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE，

∴∠CBE=∠DEO，

∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， ∴③正确； 连接 CO，

∵∠BOA=60°， ∴∠AOE=120°， ∵∠PCQ=60°，

∴O、P、C、Q 四点共圆， ∵PC=CQ，

∴∠POC=∠QOC， ∴OC 平分∠AOE． 故 5 个选项都正确． 故选：D．

【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质和平行线的判定以及四点共圆等 知识，熟练应用三角形全等的证明是正确解答本题的关键．

二．填空题（每题 3 分，共 24 分）

11．计算：﹣24x2y4÷（﹣3x2y）?3x3= 24x3y3 ． 【考点】整式的除法；单项式乘单项式．

【分析】直接利用整式除法运算法则化简，进而利用单项式乘单项式运算法则求出答案． 【解答】解：﹣24x2y4÷（﹣3x2y）?3x3 =8y3?3x3 =24x3y3．

【点评】此题主要考查了整式的除法运算以及单项式乘单项式，正确掌握运算法则是解题关键．

12．分解因式：16x4﹣1= （4x2+1） ． 【考点】因式分解-运用公式法．

【分析】直接利用平方差进而分解因式得出即可．

【解答】解：16x4﹣1 =（4x2+1）（4x2﹣1） =（4x2+1）． 故答案

为：（4x2+1）．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．

13．一个三角形的两边分别是 3 厘米和 9 厘米，第三边长是一个偶数，则此三角形的周长为 20 或 22 厘米．

【考点】三角形三边关系． 【分析】首先设第三边长为 x，根据三角形的三边关系定理可得 x 的取值范围，进而选出符合条件 的 x 的值，然后再计算出三角形的周长即可． 【解答】解：设第三边长为 x，由题意得： 9﹣3＜x＜9+3，

解得 6＜x＜12，

∵第三边长是一个偶数， ∴x=8，10， 当 x=8 时，三角形周长为 3+9+8=20， 当 x=10 时，三角形周长为 3+9+10=22， 故答案为：20 或 22．

【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差， 而小于两边的和．

14．若点（a，﹣4）关于 y 轴对称的点的坐标为（﹣3，b），则 ba 的值为 ﹣64 ． 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标． 【分析】根据关于 y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得 a=3，b=﹣4，然后 再代入 ba 求值即可．

【解答】解：∵点（a，﹣4）关于 y 轴对称的点的坐标为（﹣3，b）， ∴a=3，b=﹣4， ∴ba=﹣64． 故答案为：﹣64．

【点评】此题主要考查了关于 y 轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．

15．若 a2+a﹣1=0，则 a3+2a2+2015= 2016 ． 【考点】因式分解的应用．

【分析】由已知条件得出 a2+a=1，通过变形和因式分解得出 a3+2a2+2015=a（a2+a） +a2+2015=a+a2+2015，即可得出结果． 【解答】解：∵a2+a﹣1=0， ∴a2+a=1，

∴a3+2a2+2015=a3+a2+a2+2015=a（a2+a）+a2+2015=a+a2+2015=1+2015=2016． 故答案为：2016．

【点评】本题考查了因式分解的应用、等式变形、代数式的求值；熟练掌握因式分解和等式变形是 解决问题的关键．

16．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，则这个等腰三角形的底角是 60°，60°或 30°， 30° ．

【考点】等腰三角形的性质． 【专题】分类讨论．

【分析】等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°，但没有明确此等腰三角形是锐角三角形还是 钝角三角形，因此，有两种情况，需分类讨论． 【解答】解：当等腰三角形为锐角三角形时，如图 1，

由已知可知，∠ABD=30°， 又∵BD⊥AC， ∴∠ADB=90°， ∴∠A=60°，

∴∠ABC=∠C=60°． 当等腰三角形为钝

角三角形时，如图 2， 由已知可知，∠ABD=30°， 又∵BD⊥AC， ∴∠DAB=60°，

∴∠C=∠ABC=30°． 故答案为：60°，60°或 30°，30°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解决与等腰三角形有关的问题，由于等腰所具有的特殊性 质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形 有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．正确分类是解答本题的关键．

17．如图，△ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线交边 AB 于 D 点，交边 AC 于 E 点，若△ABC 与△EBC 的周长分别是 40cm，24cm，则 AB= 16 cm．

【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

【分析】首先根据 DE 是 AB 的垂直平分线，可得 AE=BE；然后根据△ABC 的周长=AB+AC+BC， △EBC 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC 的周长﹣△EBC 的周长=AB，据此 求出 AB 的长度是多少即可．

【解答】解：∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴AE=BE；

∵△ABC 的周长=AB+AC+BC，△EBC 的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC， ∴△ABC 的周长﹣△EBC 的周长=AB， ∴AB=40﹣24=16（cm）． 故答案为：16．

【点评】（1）此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平 分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握．

18．如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=100°，∠B=∠D=90°，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使 △AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为 160° ．

【考点】轴对称-最短路线问题．

【分析】据要使△AMN 的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出 A 关 于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=80°，进而得出∠AMN+∠ANM=2 （∠AA′M+∠A″），即可得出答案． 【解答】解：作 A 关于 BC 和 CD 的对称点 A′，A″，连接 A′A″，交 BC 于 M，交 CD 于 N，则 A′A″ 即为△AMN 的周长最小值．作 DA 延长线 AH， ∵∠DAB=100°， ∴∠HAA′=80°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=80°，

∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×80°=160° 故答案为：160°．

【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角 的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出 M，N 的位置是解题关键．

三．解答题 19．计算题：

（1）（﹣2a）3?b5÷12a3b4； 4（a﹣b）2﹣（﹣a+2b）． 【考点】整式的混合运算．

【分析】（1）根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可； 根据完全平方公式、平方差公式进行计算即可．

【解答】解：（1）原式=﹣8a3b5÷12a3b4； =﹣ b， 原式=4a2﹣8ab+4b2﹣（4b2﹣a2）

=4a2﹣8ab+4b2﹣4b2+a2，

=5a2﹣8ab．

【点评】本题考查了整式的混合运算，掌握积的乘方和幂的乘方，完全平方公式、平方差公式是解 题的关键．

20．因式分解：x2+3x（x﹣3）﹣9． 【考点】因式分解-十字相乘法等． 【专题】计算题．

【分析】方程结合后，利用平方差公式及提公因式法分解即可．

【解答】解：原式=x2﹣9+3x（x﹣3）=（x+3）（x﹣3）+3x（x﹣3）=（x﹣3）（4x+3）． 【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

21．先化简，再求值：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中 a=，b=﹣1．

【考点】整式的混合运算—化简求值． 【专题】计算题．

【分析】根据多项式除单项式的法则，平方差公式化简，整理成最简形式，然后把 a、b 的值代入计 算即可．

【解答】解：（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b）， =a2﹣2ab﹣b2﹣（a2﹣b2）， =a2﹣2ab﹣b2﹣a2+b2， =﹣2ab，

当 a=，b=﹣1 时， 原式=﹣2× ×（﹣1）=1．

【点评】本题考查多项式除单项式，平方差公式，运算时要注意符号的运算．

22．如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：（用直尺画图，保留痕迹）

画出格点（1）求出格点△ABC（顶点均在格点上）的面积；

△ABC 关于直线 DE 对称的△A1B1C1； （3）在 DE 上画出点 Q，使△QAB 的周长最小．

【考点】作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．

【分析】（1）用△ABC 所在的四边形的面积减去三个多余小三角形的面积即可； 从三角形各顶点向 DE 引垂线并延长相同的长度，找到对应点，顺次连接； （3）利用轴对称图形的性质可作点 A 关于直线 DE 的对称点 A1，连接 BA1，交直线 DE 于点 Q， 点 Q 即为所求． 【解答】解：（1）S△ABC=3×3﹣ ×3×1﹣×2×1﹣×2×3=； 所作图形如图所示：

（3）如图所示：

利用轴对称图形的性质可得点 A 关于直线 DE 的对称点 A1， 连接 A1B，交直线 DE 于点 Q，点 Q 即为所求，此时△QAB 的周长最小．

【点评】此题主要考查了根据轴对称作图，要使△QAB 的周长最小，用到的知识点为：两点之间， 线段最短．注意，作图形变换这类题的关键是找到图形的对应点．

23．已知：如图，AB=CD，∠A=∠D，点 M 是 AD 的中点． 求证：∠ABC=∠DCB．

【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】易证△AMB≌△DMC，则 MB=MC，∠ABM=∠DCM，根据等边对等角的性质可得 ∠MBC=∠MBC，即可证明结论． 【解答】证明：∵点 M 是 AD 的中点， ∴AM=DM，

在△AMB 和△DMC 中

，

∴△AMB≌△DMC（SAS），

∴MB=MC，∠ABM=∠DCM， ∴∠MBC=∠MBC， ∴∠ABC=∠DCB．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是证明 △AMB≌△DMC．

24．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，求证：DE=DF．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【专题】证明题． 【分析】连接 AD，利用 SSS 得到三角形 ABD 与三角形 ACD 全等，利用全等三角形对应角相等得 到∠EAD=∠FAD，即 AD 为角平分线，再由 DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证． 【解答】证明：连接 AD， 在△ACD 和△ABD 中，

，

∴△ACD≌△ABD（SSS），

∴∠EAD=∠FAD，即 AD 平分∠EAF， ∵DE⊥AE，DF⊥AF， ∴DE=DF．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与 性质是解本题的关键．

25．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是 AD 延长线上一点，且 DF=BE． （1）求证：CE=CF； 若点 G 在 AD 上，且∠GCE=45°，则 GE=BE+GD 成立吗？为什么？

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）由 DF=BE，四边形 ABCD 为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出 CE=CF． 由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD 即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得

∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即 EG=FG=GD+DF．又因为 DF=BE，所以可证出

GE=BE+GD 成立． 【解答】（1）证明：在正方形 ABCD 中，

∵

，

∴△CBE≌△CDF（SAS）． ∴CE=CF．

解：GE=BE+GD 成立． 理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF，

∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．

∵ ，

∴△ECG≌△FCG（SAS）． ∴GE=GF．

∴GE=DF+GD=BE+GD．

【点评】本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二 问中也是考查了通过全等找出和 GE 相等的线段，从而证出关系是不是成立．

26．如图，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上任意一点（与 A、C 两点不重合）．Q 是 CB 延长线上一点，且始终满足条件 BQ=AP，过 P 作 PE⊥AB 于 E，连接 PQ 交 AB 于 D． （1）如图（1），当∠CQP=30°时．求 AP 的长． 如图，当 P 在任意位置时，求证：DE= AB．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）作 PF∥BC 交 AB 于点 F．根据等边三角形的性质及直角三角形的性质就可以求出 ∠QPC=∠DPA=90°，得出 AB=3AP 而求出结论； 作 PF∥BC 交 AB 于点 F．根据等边三角形的性质就可以得出△PFD≌△QBD 就有 DF=DB，由等腰 三角形的性质就可以得出 AE=EF，由 EF+FD=ED 就可以得出结论． 【解答】解：（1）如图（1），作 PF∥BC 交 AB 于点 F，

∴∠AFP=∠ABC，∠APF=∠C．∠PFD=∠QBD，∠FPD=∠BQD． ∵△ABC 是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠C=60°．AB=BC=AC． ∴∠AFP=60°，∠APF=60°， ∴∠AFP=∠APF=∠A=60°， ∴△AFP 是等边三角形， ∴AF=AP=PF． ∵PE⊥AB， ∴AE=EF．

∵∠CQP=30°，∠C=60°， ∴∠QPC=90°， ∴∠DPA=90°， ∴∠ADP=30°． ∴AD=2AP． ∴AD=2AF． ∵DF+AF=AD， ∴DF+AF=2AF， ∴DF=AF， ∵BQ=AP， ∴BQ=FP．

在△PFD 和△QBD 中

，

∴△PFD≌△QBD（ASA）， ∴FD=BD．

∴BD=DF=AF= AB． ∵AB=6，

∴AF=2， ∴AP=2．

答：AP 的长为 2； 如图 2，作 PF∥BC 交 AB 于点 F．

∴∠AFP=∠ABC，∠APF=∠C．∠PFD=∠QBD，∠FPD=∠BQD． ∵△ABC 是等边三角形，

∴∠A=∠ABC=∠C=60°．AB=BC=AC． ∴∠AFP=60°，∠APF=60°， ∴∠AFP=∠APF=∠C=60°， ∴△AFP 是等边三角形， ∴AF=AP=PF． ∵PE⊥AB，

∴AE=EF= AF． ∵BQ=AP， ∴BQ=FP．

在△PFD 和△QBD 中

，

∴△PFD≌△QBD（ASA）， ∴FD=BD= BF．

∵ED=EF+DF= AF+ BF， ∴ED=（AF+BF）， ∴ED= AB．

【点评】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性 质的运用，平行线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．

27．如图，在直角坐标系 xOy 中，直线 AB 交 x 轴于 A，交 y 轴负半轴于 B（0，﹣10），C 为 x 轴 正半轴上一点，且 OC=5OA．

（1）求△ABC 的面积； 延长 BA 到 P（自己补全图形），使得 PA=AB，过点 P 作 PM⊥OC 于 M，求 P 点的坐标； （3）如图，D 是第三象限内一动点，直线 BE⊥CD 于 E，OF⊥OD 交 BE 延长线于 F．当 D 点运动 时， 的大小是否发生变化？若改变，请说明理由；若不变，求出这个比值．

【考点】全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；三角形的面积． 【分析】（1）易求 OC 的长，即可求得 AC 的长，即可解题； 作出图形，易证△PAM≌△BAO，可得 PM=OB，AM=OA，即可解题；

（3）易证∠OCD=∠OBF 和∠COD=∠BOF，即可证明△CDO≌△BFO，可得 DO=FO，即可解题． 【解答】解：（1）∵OC=5AO，AO=2， ∴OC=10，

∴AC=OC﹣OA=8，

∴S△ABC= AC?OB= ×8×10=40；

作出图形，

在△PAM 和△BAO 中，

，

∴△PAM≌△BAO（AAS）， ∴PM=OB=10，AM=OA=2， ∴点 P 坐标为（4，10）；

（3）如图，

∵∠OCD+∠OGE=90°，∠OFE+∠OBF=90°， ∴∠OCD=∠OBF，

∵∠FOG+∠DOG=90°，∠DOG+∠BOD=90°， ∴∠BOD=∠FOG，

∵∠BOC=∠BOG=90°，

∴∠BOD+90°=∠FOG+90°，即∠COD=∠BOF， 在△CDO 和△BFO 中，

，

∴△CDO≌△BFO（ASA）， ∴DO=FO， ∴ =1．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证 △PAM≌△BAO 和△CDO≌△BFO 是解题的关键．

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