互斥事件和独立事件的概率及条件概率

互斥事件和独立事件的概率及条件概率

【知识要点】

1．一般地，设A、B为两个事件，若A、B不可能同时发生，则A、B为 ．P(A∪B)＝P(A)+P(B)．

2．一般地，设A、B为两个事件，且P(B|A)＝ =

条件概率具有以下性质：(1) ；

(2)如果事件B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ . 3．互相独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的 没有影响，即P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，这样的两个事件叫做相互独立事件． 4．如果两个事件A与B相互独立，那么事件A与B，A与B，A与B也都是 事件．

5．设事件A发生的概率为p，则在n次独立重复试验中事件A发生k次的概率为 .

6．两个相互独立事件A、B同时发生的概率为P(A·B)＝ ．

【基础检测】

1．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )

A．恰有1个白球与恰有2个白球 B．至少有1个白球与都是白球 C．至少有1个白球与至少有1个红球 D．至少有1个白球与都是红球 2．同时掷3枚均匀硬币，至少有2枚正面向上的概率为( )

A．0.5 B．0.25 C．0.125 D．0.375 3．甲、乙两位同学独立地解决一道数学试题，他们答对的概率分别是0.8和0.9，则甲、乙都答对的概率为 .

4．袋中有5个球，其中3个白球，2个黑球，现不放回的每次抽取一个球，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为 .

5．一位学生每天骑车上学，从他家到学校共有5个交通岗．假设他在每个交通1

岗遇到红灯是相互独立的，且每次遇到红灯的概率为3，则他在上学途中恰好遇到3次红灯的概率为 ，他在上学途中至多遇到4次红灯的概率为 .

典例分析：

例1.在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入2只苍蝇(此时笼子里共有8只蝇子，其中6只果蝇和2只苍蝇)，只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只往外飞，直到2只苍蝇都飞出，再关闭小孔． (1)求笼内恰好剩下1只果蝇的概率； (2)求笼内至少剩下5只果蝇的概率； (3)求笼内至多剩下5只果蝇的概率．

例2.甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均2221

为3，乙队中3人答对的概率分别为3，3，2，且各人回答正确与否相互之间没有影响．

(1)求甲队总分不低于2分的概率；

(2)用A表示“甲、乙两队总得分之和等于3”这一事件，B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)．

离散型随机变量的分布列、期望与方差

【知识要点】

1．离散型随机变量的概念

随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，通常用字母X、Y表示．如果对于随机变量可能取到的值，可以按 一一列出，这样的变量就叫离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

(1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，X取每一个值xi(i＝1,2，…)的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2，…)，则称下表为随机变量X的概率分布，简称X的分布列. X x1 x2 xi … … P p1 p2 pi … … (2)离散型随机变量的分布列具有以下性质： ① ； ② ； (3)两点分布：

X P 0 1－p 1 p (4)超几何分布

一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰好有X件次品，

kn－kCMCN－M

则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝Cn，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，

N

n}，且n≤N，M，N∈N*，此时称分布列：

X 0 1 m … n－0n－1n－mC0C1CmMCN－MMCN－MMCN－MP … CnCnCnNNN (5)二项分布

如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个

k

事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝Ck(1－p)n－k，其中k＝0,1,2，…，n，此np·

时称ξ服从二项分布，记为ξ～B(n，p)，并称p为成功概率．

3．离散型随机变量的期望与方差 若离散型随机变量ξ的分布列为： ξ x1 x2 xi xn … … P p1 p2 pi pn … … 则称Eξ＝ 为随机变量ξ的均值，也称为期望，它反映了离散型随机变量取值的 ．把Dξ= 叫做随机变量的方差，Dξ的算术平方根Dξ叫做随机变量ξ的 ，记作 .随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的 ． 4．基本性质

若η＝aξ＋b(a，b为常数)，Eη＝E(aξ＋b)＝ ；Dη＝D(aξ＋b)＝ ；若ξ服从两点分布，则Eξ＝ ，Dξ＝ ，

若X服从二项分布，即ξ～B(n，p)，则Eξ＝ ，Dξ＝ ． 【基础检测】

1．口袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，任取2个钢球；设X表示所取2球的号码之和，则X的所有可能的值的个数为( ) A．25个 B．10个 C．7个 D．6个

c

2．设随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2,3，则c＝ .

k＋14

3．某批花生种子，每颗种子的发芽率为5，若每坎播下5颗花生种子，则每坎种子发芽颗数的平均值为 颗，方差为 .

4．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝ 5．随机变量ξ的分布列为

ξ P 1 0.4 2 0.3 4 0.3 则Eξ＝ ，Dξ＝ ，E(5ξ＋4)＝ . 6.有10张大小形状相同的卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为X，求X的分布列、期望与方差．

综合练习卷

ππ1

1.在区间[－2，2]上随机取一个数x，cosx的值介于0到2之间的概率为( )

1212A.3 B.π C.2 D.3 1i

2．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a(3)，i＝1,2,3，则a的值为( )

91127

A．1 B.13 C.13 D.13

3．一份数学试卷由25个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有1个选项是正确的，每题选得正确得4分，不选或选错得0分，满分100分．小强选对任一题的概率为0.8，则他在这次考试中得分的期望为( )

A．60分 B．70分 C．80分 D．90分 4．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次；则向上的数之积的数学期望是 .

5．用三种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：

(1)3个矩形颜色都相同的概率 为 ；

(2)3个矩形颜色都不同的概率为 . 6．某单位订阅《人民日报》的概率为0.6，订阅《参考消息》的概率为0.3，则它恰好订阅其中一份报纸的概率为 .

7.(2011湖南)某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

0 1 2 3 日销售量(件) 1 5 9 5 频数 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率； ．．．．．．

(2)设X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．

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