2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题及答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.）

1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|可以化简为（ ）．

（A）2c?a （B）2a?2b （C）?a （D）a 1（乙）．如果a??2?2，那么1?112?3?a的值为（ ）．

（A）?2 （B）2 （C）2 （D）22 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =

b（b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一x个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2）

2（乙）． 在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（ ）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5

3（甲）．如果a，b为给定的实数，且1?a?b，那么1，a?1， 2a?b，a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B）

2a?111 （C） （D） 4243（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．?ADC?30?，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（ ）．

（A）32 （B）4 （C）25 （D）4.5

4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．

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（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

4（乙）．如果关于x的方程 x2?px?q?0（p，q是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）．

（A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8

5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为p0，p1，p2，p3，则． p0，p1，p2，p3中最大的是（ ）

（A）p0 （B）p1 （C）p2 （D）p3

?，　5（乙）．黑板上写有1，　，　 ，12131共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数100a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a?b?ab，则经过99次操作后，黑板上

剩下的数是（ ）．

（A）2012 （B）101 （C）100 （D）99

二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分）

6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行

从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .

6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足a?b?c?9，

11110???，那么a?bb?cc?a9abc??的值为 ． b?cc?aa?b7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB 分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .

7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交

圆O于D、E两点，若OC?12，则线段CE、BD的长度差是 。 8（甲）. 如果关于x的方程x2+kx+

329k－3k+= 0的两个实数根分别为x1，x2，24E那么

x1x220112012CA 的值为 ．

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OBD8（乙）．设n为整数，且1≤n≤2012. 若(n2?n?3)(n2?n?3)能被5整除，则所有n的个数为 .

9（甲）. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .

（a，b，c）9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称是三角形数．若（x，y，z）和均为三角形数，且a≤b≤c，则（，，）10（甲）如图，四边形ABCD内接于⊙O， AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD， 交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线 交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的 长为 .

111abca的取值范围是 . c（a，b）10（乙）．已知n是偶数，且1≤n≤100．若有唯一的正整数对使得a2?b2?n成立，则这样

的n的个数为 ．

三、解答题（共4题，每题15分，共60分）

11（甲）．已知二次函数y?x2?（m?3）x?m?2，当?1?x?3时，恒有y?0；关于x的方程

x2?（m?3）x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，

9．求m的取值范围． 10yAO?8,AB?AC,sin???C?45COEDABx。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且S?COE?S?ADE。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。

12（甲）. 如图，⊙O的直径为AB，

?O1过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与?O1交

于点D，且OD?CD．点E在OD上，且DC?DE，BE的延长线

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与?O1交于点F，求证：△BOC∽△DO1F．

12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD = 2BD.

13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a?2012时，求a的最小值. 13（乙）．给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150?？并说明理由．

14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数x1，x2，　，?x2012，满足x1?x2???x2012，且

122012?????n. x1x2x201214（乙）．将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c （可

b以相同），使得a?c，求n的最小值．

参考解答

一、选择题

1(甲) .C

解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知

b?a?0?c，且b?c，

所以

a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a．

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1（乙）．B 解：1?12?13?a?1?2?111?2?1?11?1??1?2?1?2．

2?2?12?12（甲）．D

解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一

个交点的坐标为（3，2）.

2（乙）．B

解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤(x?1)2?(y?1)2≤2. 因为x，y均为整数，所以有

2222??(x?1)?0，??(x?1)?0，??(x?1)?1，??(x?1)?1， ? ? ? ?2222??(y?1)?0；??(y?1)?1；??(y?1)?0；??(y?1)?1.解得

?x?1，?x?1，?x?1，?x?0，?x?0，?x?0，?x?2，?x?2，?x?2， ? ? ? ? ? ? ? ? ?y?2；y?2；y?1；y?0；y?1；y?0；y?1；y?0；y?2.?????????以上共计9对. （x，y）3（甲）．D

解：由题设知，1?a?1?a?b?1?2a?b，所以这四个数据的平均数为

1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b， ?44(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 ， ?244?4a?2b3?4a?2b1于是 ??.

4443（乙）．B

解：如图，以CD为边作等边△CDE，连接AE. 由于AC = BC，CD = CE，

∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD =∠ACE， 所以△BCD≌△ACE， BD = AE.

又因为?ADC?30?，所以?ADE?90?. 在Rt△ADE中，AE?5，AD?3， 于是DE=AE2?AD2?4，所以CD = DE = 4.

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4（甲）．D

解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得

?x?2?n(y?2)， ??y?n?2(x?n)，消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =

(2y?7)?1515. ?1?2y?72y?7因为

15为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11．从

2y?7而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．

4（乙）．C

解：由一元二次方程根与系数关系知，两根的乘积为?q?0，故方程的根为一正一负．由二次函数y?x2?px?q的图象知，当x?3时，y?0，所以32?3p?q?0，即 3p?q?9. 由于p，q都是正整数，所以p?1，1≤q≤5；或 p?2，1≤q≤2，此时都有??p2?4q?0. 于是共有7组（p，q）符合题意．

5（甲）．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以

p0?98910，p1?，p2?，p3?，因此p3最大． 363636365（乙）．C

解：因为a?b?ab?1?(a?1)(b?1)，所以每次操作前和操作后，黑板上的每个数加1后的乘积不变．

设经过99次操作后黑板上剩下的数为x，则

111x?1?(1?1)(?1)(?1)???(?1)，

23100解得 x?1?101，x?100．

二、填空题

6（甲）．7＜x≤19

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解：前四次操作的结果分别为

3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.

由已知得 27x－26≤487， 81x－80＞487.

解得 7＜x≤19.

容易验证，当7＜x≤19时，3x?2≤487 9x?8≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19．

6（乙）.7

11110???两边乘以a?b?c?9得 a?bb?cc?a9cabcab3????10即???7

a?bb?cc?aa?bb?cc?a解：在

7（甲）．8

解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN，所以

ADANDN2???， BFNFBN12由此得AN?2NF，所以AN?AF.

3

在Rt△ABF中，因为AB?2a，BF?a，所以

AF?AB2?BF2?5a，

于是 cos?BAF?AB25?. AF5由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ?AED??AFB，

?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90?. 于是 AM?AE?cos?BAF?25a， 5245MN?AN?AM?AF?AM?a，

315

S?MNDMN4??. S?AFDAF15又S?AFD?148?(2a)?(2a)?2a2，所以S?MND?S?AFD?a2. 21515因为a?15，所以S?MND?8.

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28 5解：如图，设DE的中点为M，连接OM，则OM?DE．

7（乙）.

因为OB?202?122?16，所以

OM?OB?OC16?1248??， BC2053664CM?OC2?OM2?，BM?．

55643628??． 555CE?BD?（EM?CM）?（DM?BM）?BM?CM?8（甲）．?2 339?=k2－4(k2?3k?)≥0，

42解：根据题意，关于x的方程有

由此得 (k－3)2≤0．

又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+

93=0，解得x1=x2=?.

24故

x1x220112012=

21=?．

3x28（乙）.1610

解：n2?n?3n2?n?3?n2?34??????2?n2?n4?5n2?9

因此5|(n?9)，所以n?1(mod5)，因此n?5k?1,或5k?2

42012?5?402??2

所以共有2012-402=1610个数

9（甲）．8

解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知2a?3b?130，由此得0≤b≤43.

(m?1)(m?2)，所以2a?2b?(m?1)(m?2). 于是

2 0≤b?130?(m?1)(m?2)≤43，

又 a?b?87≤(m?1)(m?2)≤130，

由此得 m?8，或m?9.

当m?8时，b?40，a?5；当m?9时，b?20，a?35，a?故m?8．

a?b55?，不合题设. 22第- 8 -页 共14页

9（乙）.

3?5a??1 2c?a?b?c(1)?解：依题意得：?111，所以b?c?a，代入（2）得

??(2)??bca11111????，两边乘以a得 abcc?ac1?aac?aa??即化简得a2?3ac?c2?0，两边除以c2得 c?ac，cc?a，

23?5a3?5a?a? 所以 ???3()?1?0??2c2c?c?另一方面：a≤b≤c，所以

a3?5a?1 综合得??1 c2c另解：可令

a?k，由（1）得b?(1?k)c，代入（2）化简得k2?3k?1?0，解得 c3?53?53?5另一方面：a≤b≤c，所以k?1， 综合得?k??k?1．

22，210（甲）．

32 2解：如图，连接AC，BD，OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此

BCBA?. CFAD因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是

DEOE??2. 因此 DCOBDE?2CD?2AD，CE?3AD.

由△AED∽△CEB，知DE?EC?AE?BE．因为AE?所以 2AD?3AD?BA3，BE?BA， 22BA3?BA，BA=22AD ，故 22第- 9 -页 共14页

CF?10（乙）.12

ADBC32?BC?. ?BA222解：依题意得n?a2?b2??a?b??a?b?

由于n是偶数，a+b、a-b同奇偶，所以n是4的倍数，即n?4k，

（a，b）当1≤n≤100时，4的倍数共有25个，但要满足题中条件的唯一正整数对，则：

k?p或k?p2，其中p是素数，因此，k只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、

4、9、25，从而这样的n有12个。

三、解答题

11（甲）．解： 因为当?1?x?3时，恒有y?0，所以

2??（m?3）?（4m?2）?0，

（m?1）?0，所以m??1． 即

…………（3分）

当x??1时，y≤0；当x?3时，y≤0，即

2(?1)2?(m?3)(?1)?m?2≤0，

且 3?3(m?3)?m?2≤0，

解得m≤?5．

…………（8分）

设方程x??m?3?x??m?2??0的两个实数根分别为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关

22系得x1?x2???m?3?，x1x2?m?2．

因为

x?x119m?39???，所以12????， x1x210x1x2m?210解得m??12，或m??2．

因此m??12．

…………（15分）

11（乙）.解：因为sin∠ABC =

AO4?，AO?8， AB5 AB2?AO2?6．第- 10 -页 共14页

所以AB = 10．由勾股定理，得BO?

易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6． 于是A(0，?8)，B(6，0)，C(?6，0)． 设点D的坐标为(m，n)． 由S△COE?S△ADE，得S△CDB?S△AOB．

1111BC?n?AO?BO，?12(?n)??8?6． 2222解得 n??4．

因此D为AB的中点，点 D的坐标为(3，?4)．

所以

因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，

?)．所以点E的坐标为(0，（也可由直线CD交y轴于点E来求得.）

设经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y?a(x?6)(x?6)． 将点E的坐标代入，解得a =

832． 27故经过B，C，E三点的二次函数的解析式为y?

228x?． 273

12（甲）． 证明：连接BD，因为OB为?O1的直径，所以

?ODB?90?．又因为DC?DE，所以△CBE是等腰三角形．

…………（5分）

设BC与?O1交于点M，连接OM，则?OMB?90?．又因为OC?OB，所以

?BOC?2?DOM?2?DBC?2?DBF??DO1F．

…………（10分）

又因为?BOC，?DO1F分别是等腰△BOC，等腰△DO1F的顶角，所以

△BOC∽△DO1F．

…………（15分）

12（乙）.证明：（1）如图，根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等

的性质知：?CID??IAD??IDA，

?CDI??CDB??BDI??BAC??IDA??IAD??IDA． 所以?CID??CDI， CI = CD． 同理，CI = CB ．

故点C是△IBD的外心．

连接OA，OC，因为I是AC的中点，且OA = OC， 所以OI⊥AC，即OI⊥CI ．

故OI是△IBD外接圆的切线．

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（2）如图，过点I作IE⊥AD于点E，设OC与BD交于点F．

??CD?，知OC⊥BD． 由BC因为∠CBF =∠IAE，BC = CI = AI，所以Rt△BCF≌Rt△AIE．所以BF = AE． 又因为I是△ABD的内心，所以AB?AD?BD?2AE?BD?BD?2BF?BD． 故AB?AD?2BD．

?BD也可由托勒密定理得：AB?CD?AD?BC?AC，再将AC?2BC?2CD代入即得结论

AB?AD?2BD。

13（甲）．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是自然数）.

因为 (a+b)2－4ab = (a－b)2， 所以 (2a－m)2－4n2 = m2，

(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.

…………（5分）

（1）当n?1时，因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以 2a－m+2n?m 2，2a－m－2n?1.

(m?1)2m2?1解得 a?，n?.

442（m?1）于是 b= a－m?.

4…………（10分）

(m?1)2又a≥2012，即≥2012.

4(89?1)2又因为m是素数，解得m≥89. 此时，a≥=2025.

4当a?2025时，m?89，b?1936，n?1980. 此时，a的最小值为2025.

（2）当n?0时，因为a?2012，所以b?0，从而得a的最小值为2017（素数）。 综上所述，所求的a的最小值为2017。……（15分）

13（乙）.解：设凸n边形最多有k个内角等于150°，则每个150°内角的外角

都等于30°，

而凸n边形的n个外角和为360°，所以k?360?12，只有当n?12时， 30k才有最大值12. …………（5分）下面我们讨论n?12时的情况：

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（1）当n?12时，显然，k的值是11；

（2）当n?3,4,5,6,7时，k的值分别为1，2，3，4，5；

（3）当n?8,9,10,11时，k的值分别为7，8，9，10. …………（10分）

综上所述，当3?n?7时，凸n边形最多有n?2个内角等于150°；当8?n?11时，凸n边形最多有n?1个内角等于150°；当n?12时，凸n边形最多有12个内角等于150°；当n?12时，凸n边形最多有11个内角等于150°。. ……（15分）

14（甲）．解：由于x1，x2，　，?x2012都是正整数，且x1?x2???x2012，所以

x1≥1，x2≥2，…，x2012≥2012．

于是 n?122012122012?2012． ≤????????2012x1x2x201212…………（5分）

当n?1时，令x1?2012，x2?2?2012，　，?x2012?2012?2012，则

122012?????1. x1x2x2012…………（10分）

当n?k?1时，其中1≤k≤2011，令 x1?1 ，x2?2，　，?xk?k，xk?1?(2012?k)(k?1),xk?2?(2012?k)(k?2)，x2012?(2012?k)?2012，则

1220121?k?1?n． ?????k?(2012?k)?x1x2x20122012?k，　2，　，　?2012． 综上，满足条件的所有正整数n为1…………（15分）

1614（乙）.解：当n?2?1时，把2，　3，　，?n分成如下两个数组：

　3，　，2　2?1，　?，　2?1?和?4，　5，　?，　2?1?． ?2，　3，　，2　2?1，　?，　2?1?中，由于3?2（在数组?2，，2）?2881688816388216?1，

b，c，使得ab?c． 所以其中不存在数a，　5，　?，　28?1中，由于4?2?1， 在数组4，第- 13 -页 共14页

??48所以其中不存在数a，b，c，使得ab?c． 所以，n?216． 下面证明当n?216时，满足题设条件．

不妨设2在第一组，若2?4也在第一组，则结论已经成立．故不妨设2?4在第二组． 同理可设4?2在第一组，(28)2?216在第二组．

此时考虑数8．如果8在第一组，我们取a?2，b?8，c?28，此时ab?c；如果8在第二组，我们取a?4，b?8，c?216，此时ab?c． 综上，n?216满足题设条件．

所以，n的最小值为2．

（注：也可以通过考虑2，4，16，256，65536的分组情况得到n最小值为65536．）

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