第五章 第2节 等差数列及其前n项和

第五章 第二节 等差数列及其前n项和

题组一 等差数列的判定与证明 ac1.设命题甲为“a，b，c成等差数列”，命题乙为“＋＝2”，那么 ( )

bbA．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件

D．甲是乙的既不充分也不必要条件

aca

解析：由b＋b＝2，可得a＋c＝2b，但a、b、c均为零时，a、b、c成等差数列，但b＋c

b≠2. 答案：B

2．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n. (1)设bn＝

an－，证明：数列{bn}是等差数列； 2n1(2)求数列{an}的前n项和Sn.

解：(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n得 an＋12an＋2nanbn＋1＝n＝＝n－1＋1＝bn＋1.

22n2又b1＝a1＝1，

因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知

an－

2n1. n－1＝n，即an＝n·2

－

Sn＝1＋2×21＋3×22＋?＋n×2n1， 两边乘以2得，2Sn＝2＋2×22＋?＋n×2n. 两式相减得

Sn＝－1－21－22－?－2n1＋n·2n

－

＝－(2n－1)＋n·2n ＝(n－1)2n＋1.

题组二 等差数列的基本运算 3.(2009·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于 ( ) 5

A．1 B. C．2 D．3

3

解析：∵S3＝

(a1＋a3)×3

＝6，而a3＝4，∴a1＝0， 2

a3－a1

∴d＝＝2.

2答案：C

4．(2010·广州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k等于 ( ) A．9 B．8 C．7 D．6

?S1 (n＝1)?解析：an＝?

?S－S (n≥2)?nn－1??－8 (n＝1)

＝?＝2n－10， ?－10＋2n (n≥2)?

∵5＜ak＜8，∴5＜2k－10＜8， ∴

15

答案：B

5．已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于________．

???a2＝a1＋d＝6，?a1＝3，解析：由???∴an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝a2n＝6n，∴S5

??a＝a＋4d＝15，d＝3，?5?1

6＋30

＝×5＝90.

2答案：90

6．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝5，S6＝36. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝6n＋(－1)n1λ·2an(λ为正整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，

－

都有bn＋1＞bn成立．

解：(1)∵2an＋1＝an＋an＋2，∴{an}是等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，

??a1＋2d＝5由a3＝5，S6＝36得?，解得a1＝1，d＝2.

?6a1＋15d＝36?

∴an＝2n－1.

(2)由(1)知bn＝6n＋(－1)n1·λ·22n1，要使得对任意n∈N*都有bn＋1＞bn恒成立，

－

－

∴bn＋1－bn＝6n1＋(－1)n·λ·22n1－6n－(－1)n1·λ·22n1＝5·6n－5λ·(－1)n1·22n1＞0恒

＋

＋

－

－

－

－

成立，

13－

即λ·(－1)n1＜()n. 22当n为奇数时，

333

即λ＜2·()n，而()n的最小值为，

222∴λ＜3.

3

当n为偶数时，λ＞－2()n，

2399而－2()n的最大值为－，∴λ＞－. 2229

由上式可得－＜λ＜3，而λ为正整数，

2∴λ＝1或λ＝2.

题组三 等差数列的性质 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于 ( ) A．63 B．45 C．36 D．27

解析：由{an}是等差数列，则S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 由2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)得到

S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45. 答案：B

8．在等差数列{an}中，已知log2(a5＋a9)＝3，则等差数列{an}的前13项的和S13＝________. 解析：∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8. ∴S13＝

13×(a1＋a13)13×(a5＋a9)13×8

＝＝＝52.

222

答案：52

9．(2009·辽宁高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________. 解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由6S5－5S3＝5，得6(a1＋3d)＝2，1

所以a4＝.

31答案：

3

题组四 等差数列的前n项和及最值问题 10.设数列{an}是等差数列，且a4＝－4，a9＝4，Sn是数列{an}的前n项和，则 ( ) A．S5＜S6 B．S5＝S6 C．S7＝S5 D．S7＝S6

解析：因为a4＝－4，a9＝4，所以a4＋a9＝0，即a6＋a7＝0，所以S7＝S5＋a6＋a7＝S5. 答案：C

11．(文)在等差数列{an}中，若a1<0，S9＝S12，则当n等于________时，Sn取得最小值．

解析：设数列{an}的公差为d，则由题意得 11

9a1＋×9×(9－1)d＝12a1＋×12×(12－1)d，

22即3a1＝－30d，∴a1＝－10d. ∵a1<0，∴d>0.

1121∴Sn＝na1＋n(n－1)d＝dn2－dn

22221d441d

n－?2－＝?. 2?2?8∴Sn有最小值，又n∈N*，

∴n＝10，或n＝11时，Sn取最小值． 答案：10或11

(理)若数列{an}是等差数列，数列{bn}满足bn＝an·an＋1·an＋2(n∈N*)，{bn}的前n项和用Sn表示，若{an}满足3a5＝8a12＞0，则当n等于________时，Sn取得最大值． 解析：(先判断数列{an}中正的项与负的项) ∵3a5＝8a12＞0，∴3a5＝8(a5＋7d)＞0， 解得a5＝－

5676

d＞0，∴d＜0，∴a1＝－d， 55

故{an}是首项为正数的递减数列．

??an≥0

由?

?an＋1≤0?

?－5d＋(n－1)d≥0

??76

－?5d＋nd≤0

76

11

?15≤n≤16，

55

∴n＝16. 答案：16

1

12．(2010·株州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)，满足f(0)＝f()＝0，且f(x)

2

1

的最小值是－.设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点(n，Sn)在函数f(x)

8的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式； (2)通过bn＝

Sn构造一个新的数列{bn}，是否存在非零常数c，使得{bn}为等差数列； n＋c

Sn＋n

(3)令cn＝n，设数列{cn·2cn}的前n项和为Tn，求Tn.

1

0＋211

解：(1)因为f(0)＝f()＝0，所以f(x)的对称轴为x＝＝，又因为f(x)的最小值是

224

111－，由二次函数图象的对称性可设f(x)＝a(x－)2－. 84811

又f(0)＝0，所以a＝2，所以f(x)＝2(x－)2－＝2x2－x.

48

因为点(n，Sn)在函数f(x)的图象上，所以Sn＝2n2－n.当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－3(n＝1时也成立)，所以an＝4n－3(n∈N*)．

1

2n(n－)22n－nSn1

(2)因为bn＝＝＝，令c＝－(c≠0)，即得bn＝2n，此时数列{bn}

2n＋cn＋cn＋c

2

1

为等差数列，所以存在非零常数c＝－，使得{bn}为等差数列．

2Sn＋n2n2－n＋n2n2n＋1

(3)cn＝n＝＝2n，则c2c. n·n＝2n×2＝n×2n所以Tn＝1×23＋2×25＋?＋(n－1)22n1＋n×22n1，

－

＋

4Tn＝1×25＋2×27＋?＋(n－1)22n1＋n×22n3，

＋

＋

两式相减得：－3Tn＝2＋2＋?＋2

＋

＋

352n＋1

－n×2

2n＋3

23(1－4n)＋

＝－n·22n3，

1－4

23(1－4n)n·22n3(3n－1)22n3＋8Tn＝＋＝. 939

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