复杂的分数混合运算 - 计算综合 - 图文

繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示：

甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母．

2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数．

3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可．

5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲 循环小数与分数]．

711?4?26?27 1．计算：18135813?3?34167123?72317【分析与解】原式=46?2?12? ?4148812813?1233

2．计算：

【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有195．于是，我们想到改变运算9

顺序，如果分子与分母在195后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；9如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序． 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5． 具体过程如下：

5919(?3?5.22)1993?0.41.6910原式=?(?)

52719(?6?5.22)1995?0.51995950519?1.321993?0.44?0.4?0.5=9?(?)

519?1.321995?0.41995?0.590.411993?20.4?)=1?=1?(=1

0.5419950.5

3．计算：1?11?1?111987

【分析与解】原式=1?198619871=1?= 1987397339731?1986

4．计算：已知=

11+2+11x+14?8，则x等于多少? 11【分析与解】方法一：

11+2+11x+14?1?112?44x?1?18x?68??

4x?112x?7111?8x?6交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有1?12?1x?14?13113182 ?1?，所以2???2?；所以x??，那么x?1.25．

1428833x?4

5．求4,43,443,...,44...43这10个数的和．

9个4 【分析与解】方法一： 4+43+443?...?44...43

9个4 =4?(44?1)?(444?1)?...?(44...4?1)

10个4 =4?44?444?...?44...4?9=

10个44?(9?99?999?...?999...9)?9 910个9 =

4?[(10?1)?(100?1)?(1000?1)?...?(1000...0?1)]?9 910个0 =

4?111.100?9=4938271591. 99个1 方法二：先计算这10个数的个位数字和为3?9+4=31；

再计算这10个数的十位数字和为4×9=36，加上个位的进位的3，为36?3?39； 再计算这10个数的百位数字和为4×8=32，加上十位的进位的3，为32?3?35； 再计算这10个数的千位数字和为4×7=28，加上百位的进位的3，为28?3?31； 再计算这10个数的万位数字和为4×6=24，加上千位的进位的3，为24?3?27； 再计算这10个数的十万位数字和为4×5=20，加上万位的进位的2，为20?2?22； 再计算这10个数的百万位数字和为4×4=16，加上十万位的进位的2，为16?2?18； 再计算这10个数的千万位数字和为4×3=12，加上百万位的进位的1，为12?1?13； 再计算这10个数的亿位数字和为4×2=8，加上千万位的进位的1，为8?1?9；

最后计算这10个数的十亿位数字和为4×1=4，加上亿位上没有进位，即为4． 所以，这10个数的和为4938271591．

6.如图1-1，每一线段的端点上两数之和算作线段的长度，那么图中6条线段的长度之和是多少?

【分析与解】 因为每个端点均有三条线段通过，所以这6条线段的长度之和为： 3?(?

1317?0.6?0.875)?1+0.75+1.8+2.625=6.175=6 440

7.我们规定，符号“○”表示选择两数中较大数的运算，例如：3．5○2.9=2.9○3.5=3.5．符号“△”

23155)?(0.4)33384表示选择两数中较小数的运算，例如：3.5△2.9=2.9△3.5=2.9．请计算： 1235(0.3)?(2.25)3104(0.625【分析与解】原式

0.625?155384?5?155?27?25 1838412256?2.253

8．规定（3）=2×3×4，（4）=3×4×5，(5)=4×5×6，(10)=9×10×11，?．如果那么方框内应填的数是多少? 【分析与解】

111???(16)(17)(17)，

?(16?17?181111(17)?1?. ?)???1=

15?16?175(16)(17)(17)(16)

111111?????中必须去掉哪两个分数，才能使得余下的分数之和等于1? 24681012111111111?，所以,,,的和为l，因此应去掉与. 【分析与解】 因为?246128106124 9．从和式

10．如图1-2排列在一个圆圈上10个数按顺时针次序可以组成许多个整数部分是一位的循环小数，

例如1.892915929．那么在所有这种数中。最大的一个是多少?

【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918??较大，于是最大的为

9.291892915．

11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个 分数的分母谁也不是谁的约数”. 【分析与解】 有

114111111??，??，?? 6101510156351410 评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢? 注意到

11c?a11c?a1?????，当a?c?b时，有． a?bc?ba?b?ca?bc?ba?b?ca?c 当a、b、c两两互质时，显然满足题意．

显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a为2，那么有2?c?b，显然b、c为一对孪生质数． 即可得出一般公式：

12．计算：(1? 【分析与解】 原式=

111??，c与c+2均为质数即可.

2?(c?2）c?(c?2)2?c111）?（1?）?...?(1?) 2?23?310?10(2?1)?(2?1)(3?1)?(3?1)(10?1)?(10?1)??...?

2?23?310?101?3?2?4?3?5?4?6?5?7?6?8?7?9?8?10?9?11=

2?2?3?3?4?4?...?10?101?2?3?3?4?4?5?5?...?9?9?10?11=

2?2?3?3?4?4?...?9?9?10?101?2?10?1111==. 2?2?10?1020

13．已知a=11?66?12?67?13?68?14?69?15?70?100.问a的整数部分是多少？

11?65?12?66?13?67?14?68?15?69 【分析与解】

11?66?12?67?13?68?14?69?15?70?100

11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?(65?1)?12?(66?1)?13?(67?1)?14?(68?1)?15?（69?1）?100 =

11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?15（1?）?100 =

11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?15?100. =100?11?65+12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?1511?12?13?14?15100?100＜?100?因为

11?65+12?66?13?67?14?68?15?69（11?12?13?14+15）?656510035?101. 所以a＜100+656511?12?13?14?1511?12?13?14?15100?100＞?100?同时

11?65?12?66?13?67?14?68?15?69（11?12?13?14+15）?696910031＝101. 所以a＞100?69693135综上有101＜a＜101．所以a的整数部分为101．

6965a=

1357991????...?与相比，哪个更大，为什么? 2468100101357992468100＝A，????...?＝B， 【分析与解】方法一：令????...?2468100357910113579924681001?????...?＝有A?B＝????...?.

2468100357910110114．问

而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B＞A，

1111111）＝?，所以有A×A＜?，那么A＜． ＜101101010010101013579911即????...?与相比，更大． 2468100101013579799?方法二：设A＝????...?，

24689810011335599992?则A＝??????...?

2244661001001?3?3?5?5?7?7?...?97?97?99?99?1=， 2?2?4?4?6?6?8?...?96?98?98?100?1001?33?55?797?9999112

显然、、、?、、都是小于1的，所以有A＜，于是A＜.

2?24?46?698?9810010010（＝有A×A＜4×B

15．下面是两个1989位整数相乘：111...11?111...11．问：乘积的各位数字之和是多少?

1989个11989个1【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为111...11能被9整除，所以将一个111...111989个11989个1乘以9，另一个除以9，使原算式变成：

999......99?123456790......012345679

1989个9共1988位数=（1000......00?1）?123456790......012345679

1989个0共1988位数=123456790......012345679000......00?123456790......012345679

共1988位数1989个0共1988位数=123456790......012345679123456789876543209......987654320987654321

共1988位数共1980位数 得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为： （1?2?3?4?5?6?7?9）?220?（9?8?7?6?5?4?3?2）?220 （1?2?3?4?5?6?7?8）?（9?8?7?6?5?4?3?2?1）?17901 +

评注：111111111÷9=12345679； M×999...9的数字和为9×k．(其中M≤999...9)．可以利用上面性质较快的获得结果．

k个9k个9

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