2010年广东高考热点题型聚焦（一）《三角》

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2010年广东高考热点题型聚焦（一）《三角》

广东课标高考三年来风格特点

“保持对三角内容的考查重在化归与转化等数学思想方法和函数属性的考查”（文理姐妹题，差别不是很大）

从改变风格，体现创新，又顾及考生的适应性考虑 需关注解三角形“形式化”的应用. 参考题目：

1．在△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长,且b2?c2?a2?bc.（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）若sin2A?sin2B?sin2C，试判断△ABC的形状并求角B的大小. 解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：a2?b2?c2?2bccosA

b2?c2?a2?cosA?2bc，又∵b2?c2?a2?bc. ?cosA?12 , ∵0?A?? ∴A??3

…………6分

（Ⅱ）∵sin2A?sin2B?sin2C，由正弦定理得

a24R2?b24R2?c24R2…………8分

即: a2?b2?c2 故△ABC是以角C为直角的直角三角形……………10分 又A??,?B??…………………………………………………………12分

362．已知：△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c且

cos(?2?A)?cosB?sinB?sin(?2?A)?sin(??2C).

(1)求角C的大小；

???????? (2)若sinA,sinC,sinB成等差数列，且CA?CB?18，求c边的长.

解：(1) 由cos(?2?A)?cosB?sinB?sin(?2?A)?sin(??2C)得

sinA?cosB?sinB?cosA?sin2C--------------------------2分

∴sin(A?B)?sin2C，--------------------------------------3分 ∵A?B???C,?sin(A?B)?sinC

∴sinC?sin2C?2sinCcosC，-----------------------------4分 ∵0?C?? ∴sinC?0

1

∴cosC?12 ∴C??3. --------------------------------6分

(2)由sinA,sinC,sinB成等差数列，得2sinC?sinA?sinB，

由正弦定理得2c?a?b.------------------------------------------8分 ∵????????CA?CB?18，

即abcosC?18,ab?36. ----------------------------------------10分 由余弦弦定理c2?a2?b2?2abcosC?(a?b)2?3ab，

?c2?4c2?3?36,c2?36，

?c?6. ---------------------------12分

3．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足sinA52?5，且?ABC的面积为2．（Ⅰ）求bc的值；

（Ⅱ）若b?c?6，求a的值． 解：（Ⅰ）∵sinA2?55,0?A??

∴cosA2?255.

∴sinA?2sinAcosA?4225.

∵S1?ABC?2bcsinA?2，

∴bc?5. --------------------6分

（Ⅱ）∵sinA2?55,

∴cosA?1?2sin2A2?35.

∵bc?5，b?c?6，

∴a2?b2?c2?2bccosA?(b?c)2?2bc(1?cosA)?20

∴a?25. -----------12分

4. 在△ABC内，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，a,b,c成等差数列，且 a?2c.

2

(Ⅰ)求cosA的值； (Ⅱ)若S?ABC?3154，求b的值.

解：（Ⅰ）因为a,b,c成等差数列，所以a?c?2b ， ……………2分 又a?2c，可得b?32c ， ……………4分

9所以cosA?b?c?a2bc222?4c?c?4c2?32c2222??14 ， ……………6分

（Ⅱ）由（I）cosA??14，A?(0,?)，所以sinA?154 ， ……………8分

因为 S?ABC?3154， S?ABC?12bcsinA ，

所以 S?ABC?12bcsinA?12?32c2154?3154 ， ……………11分

得 c2?4，即c?2，b?3. ……………13分

5．如图，在四边形ABCD中，AB?3，AD?BC?CD?2，A?60?.

D （Ⅰ）求sin?ABD的值；

（Ⅱ）求?BCD的面积.

解：（Ⅰ）已知A?60?，

由余弦定理得BD?AB?AD?2AB?ADcosA?7， 解得BD?7， …………………3分

ADsin?ABDADBD?BDsinA222C

A B

由正弦定理，，

所以sin?ABD?2sinA. …………………5分

?7?32?2172. …………………7分

（Ⅱ）在?BCD中，BD?BC?CD?2BC?CDcosC，

所以7?4?4?2?2?2cosC，cosC?1822， …………………9分

3

因为C?(0,?)，所以sinC?378， …………………11分

所以，?BCD的面积S?12BC?CD?sinC?374. …………………12分

从改变风格，体现创新，强调应用，支持课改考虑

需关注《三角》的本源（测量学），也就是解三角形的实际应用，突出体现正弦定理和余弦定理在测量中的作用，同时考查学生对方位角、俯角、仰角等概念的识记和理解.

参考题目：

1．如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平面 内沿南偏西60°的方向前进了40m以后，在点D处望见塔的底 端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角?AEB??,?的最大 值为30°，求塔的高.

解：依题意知在△DBC中?BCD?30?,?DBC?180??45??135? CD=40,则?D?15?， 由正弦定理得

CDsin?DBC?BCsin?D

6?4222?20(6?22) ∴BC?CD?sin?Dsin?DBC?40?sin15sin135??40?＝

在Rt△ABE中，tan??ABBE

∵AB为定长 ∴当BE的长最小时，?取最大值30°，这时BE?CD 当BE?CD时，在Rt△BEC中sin?BCD???BEBC,BE?BC?sin?BCD

∴AB?BE?tan30?BC?sin?BCD?tan30

＝20(6?22)1310(3????2333)（m）

答：所求塔高为

10(3?33)m.

2．海岛B上有一座高10米的塔，塔顶的一个观测站A，上午11时测得一 游船位于岛北偏东15方向上，且俯角为30的C处，一分钟后测得该

??4

游船位于岛北偏西75?方向上，且俯角45?的D处（假设游船匀速行驶）.

(Ⅰ)求该船行使的速度（单位：米/分钟）；

(Ⅱ)又经过一段时间后，油船到达海岛B的正西方向E处，问此时 游船距离海岛B多远.

解：(Ⅰ)在Rt?ABC中，?BAC=60?，AB = 10，则BC = 103米

在Rt?ABD中，?BAD=45?，AB = 10，则BD = 10米 在Rt?BCD中，?BDC=75?+15?=90?， 则CD =

BD+BC= 20米

CD122A

?所以速度v = = 20 米/分钟

C

D

??（Ⅱ）在Rt?BCD中，?BCD=30，

又因为?DBE=15，所以?CBE=105，所以?CEB=45 在?BCE中，由正弦定理可知所以EB?BCsin30??EBsin30??BCsin45?，

E

B

?56米. ?sin453．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB?50m，BC?120m，于A处测得水深AD?80m，于B处测得水深BE?200m，于C处测得水深CF?110m，求∠DEF的余弦值。

解：作DM//AC交BE于N，交CF于M．

DF?DE?EF?MF?DMDN?EN2222??30?170?10198，50?120?130222wwwk5uom

22，

wwk5uom(BE?FC)?BC2?90?120?150．

22

在?DEF中，由余弦定理， cos?DEF?DE?EF?DF2DE?EF222?130?150?10?2982?130?150222?1665.

4．已知海岸边A,B两海事监测站相距60n mile,为了测量海 平面上两艘油轮C,D间距离,在A,B两处分别测得?CBD?75,

?ABC?30, ?DAB?45,?CAD?60（A,B,C,D在同一个

???? 水平面内）.请计算出C,D两艘轮船间距离．

解：方法一：在?ABD中，由正弦定理得：

ADsin?ABD? ?ABsin?ADB，

∴AD?60sin(30?75)sin[180?(45?30?75)]???????60sin75sin30?60??6?4122?30(6?2)同理，在在?ABC

5

中，由正弦定理得：

ACsin?ABC???ABsin?ACB

AC?60sin30??sin[180?(45?30?60)]??2?30?302 ?sin45260?12∴计算出AD,AC后，再在?ACD中，应用余弦定理计算出CD两点间的距离： CD??AC?AD?2AC?AD?cos60?22?900?2?900(6?2)?2?9002(6?22)?12

900?8?36003?1800?18003?1800 7200?8?1800 32 3

? ?30 ∴C,D两艘轮船相距308?23n mile． 方法二：在?ABC中，由正弦定理得：

BCsin?BAC?ABsin?ACB，

2∴BC?60sin(60?45)sin[180?(45?60?30)]BDsin?BADAB???????60sin75sin45??60??6?422在在?ABD中，?30(3?1)同理，

由正弦定理得：?sin?ADB 260?122?602

BD?60sin45?????60??sin[180?(45?30?75)]2??sin302∴计算出BC,BD后，再在?BCD中，应用余弦定理计算出CD两点间的距离：

CD??BC?BD?2BC?BD?cos75222?900(3?1)?3600?2?2?30(3?1)?602?6?42

2)?3600?1800?37200?72?0090?0(8?6?2) (6 ?1800 3 ?302 3

∴C,D两艘轮船相距308?23n mile．

5．如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为 两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的 仰角分别为75，30，于水面C处测得B点和D点的仰角均为

60，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离

000相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，2?1.414，

6

6?2.449）

wwwk5uom解：在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30,

所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在△ABC中，

ACsin60sin15?ABsin?BCA?ACsin?ABC,

?即AB=

?32?206,

因此，BD=

32?206?0.33km

故B，D的距离约为0.33km.

从延续风格又体现常考常新考虑

三角函数需进一步关注其函数属性与特征，关注课标高考尚未出现的考点;形式上需关注“给图定式”，或继续向量“外衣”.

参考题目：

1．已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|?(Ⅰ) 求函数f(x)的解析式；

5解：（Ⅰ）由图象知A?1

?2)的部分图象如图所示.

(Ⅱ) 若f(?2)?4,0????35?12，求cos?的值. ?6f(x)的最小正周期T?4?(?)??,故??2?T?2

将点(?6,1)代入f(x)的解析式得sin(?3??)?1,又|?|??2, ∴???6

故函数f(x)的解析式为f(x)?sin(2x?(Ⅱ) f(?2)?456,即sin(??35?6)

?6)?45，注意到0????3，则

?6????6??2，

所以cos(???)?.

又cos??[(???6)??6]?cos(???6)cos?6?sin(???6)sin?6?33?410

2．已知函数f(x)?Asin(?x??)，(??0,|?|??)部分图像如图所示。 （1）求?,?的值； （2）设g(x)?f(x)f(x?单调递增区间。

?4)，求函数g(x)的

7

解：（Ⅰ）由图可知T?4(又由f(?2?2??4)??,??2?T?2，

)?1得，sin(???)?1，又f(0)??1，

得 sin??? 1 ?2 ?|?|???????2，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)?sin(2x??g(x)?(?cos2x)[?cos(2x?)??cos2x

128sin4x (k?Z)

?2)]?cos2xsin2x??,∴2k???2?4x?2k???2，即

k?2k?2??8k?2?x??k?2??故函数g(x)的单调增区间为[

?8?8] (k?Z).

3.已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,|?|??2 )的部分图 y 2 O π65π12象如图所示.

(Ⅰ) 求函数f(x)的解析式；

(Ⅱ) 如何由函数y?2sinx的图象通过适当的变换得到函数

f(x)的图象, 写出变换过程. 解:（Ⅰ）由图象知A?2 f(x)的最小正周期T?4?(5?12? x ?6)??,故??2?T?2

将点(?6,2)代入f(x)的解析式得sin(?3??)?1,又|?|??2,∴???6

故函数f(x)的解析式为f(x)?2sin(2x?（Ⅱ）变换过程如下:

?6)

1?图象向左平移个单位 所有点的横坐标缩短为原来的

?26 y?2sinx y?2sin(x?) 6纵坐标不变

y?2sin(2x??6)

?1图象向左平移个单位 所有点的横坐标缩短为原来的

122y?2sin2x 另解: y?2sinx 纵坐标不变

y?2sin(2x??6)

4．如图，函数y=2sin(πxφ),x∈R,(其中0≤φ≤(Ⅰ)求φ的值；

?2)的图象与y轴交于点（0，1）.

8

(Ⅱ)设P是图象上的最高点，M、N是图象与x轴的交点，

?????????求PM与PN的夹角的余弦.

解：（I）因为函数图像过点(0,1)， 所以2sin??1,即sin??因为0????212.

，所以???6.

)及其图像，得

（II）由函数y?2sin(?x?M(?1?615,0),P(,?2),N(,0), 636?????????11所以PM?(?,2),PN?(,?2),从而

22??????????????????15PM?PN??????， cos?PM,PN??????17|PM|?|PN|5．已知函数f(x)?sin(?x??)(??0,0???π)任意两相邻零点的距离为?，且其图像经过点

?π1?M?，?. ?32?(Ⅰ) 求f(x)的解析式；

(Ⅱ) 在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，f?A??面积．

解：(Ⅰ)依题意有

T2??，则??2?T,?1， )代入得sin(12,a?3,b?c?3?b?c?，求?ABC的

所以f(x)?sin(x??).将点M(??132?3??)?12，而0????，

?3???5612?，????2，故f(x)?sin(x?12?2)?cosx；

?3(Ⅱ)由f?A??，得cosA?．注意到0?A??，所以A?2．

根据余弦定理，得b2?c2?bc?3，即?b?c??3bc?3,bc?2．

1212所以S?ABC?

bcsinA??2?sin?3?32?.

6.设向量m?，x?(0,?)，n?(1,（cosx，sinx）（1）若|m?n|???5，求x的值；

?3)．

????f(x)?(m?n)?n，求函数f(x)的值域． （2）设

9

???解：（1）?m?n?(cosx?1,sinx?3),

由|m?n|?2??5得

2cosx?2cosx?1?sinx?23sinx?3?5

整理得cosx??3sinx

33显然cosx?0 ∴tanx??∵x?(0,?)，∴x?5?6

3),

3)(1,3)?cosx?1?3sinx?3

???（2）?m?n?(cosx?1,sinx?????∴f(x)?(m?n)?n＝(cosx?1,sinx?＝2(32sinx?12cosx)?4＝2sin(x??6)?4

∵0?x?? ∴∴?12?sin(x??6?x??6?7?6

?6)?2

?6)?1??1?2sin(x?∴3?2sin(x??6)?4?6，即函数f(x)的值域为(3,6].

??????7．已知向量m?(a?c,b)，n?(a?c,b?a)，且m?n，其中A,B,C是△ABC的内角，a,b,c分

别是角A,B,C的对边.

(1) 求角C的大小；

（2）求sinA?sinB的取值范围.

??????222解：（1）由m?n得m?n?0得(a?c)(a?c)?b(b?a)?0?a?b?c?ab-----------2分

a?b?c2ab222由余弦定理得cosC??ab2ab?12--------------------------------4分

∵0?C?? ∴C?(2)∵C??3?3-------------------------------------------6分

2?3 ∴A?B?2?3

2?3cosA?cos2?3sinA

∴sinA?sinB=sinA?sin(?A)?sinA?sin

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?32sinA?32cosA?3(32sinA?12cosA)

?3sin(A??6)--------------------------------------------9分

∵0?A?2?3 ∴?6?A??6?5?6------------------------------10分 ∴1?sin(A??26)?1 ∴

3?2?3sin(A?6)?3 即

32?sinA?sinB?3.---------------------------------------------12分

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?32sinA?32cosA?3(32sinA?12cosA)

?3sin(A??6)--------------------------------------------9分

∵0?A?2?3 ∴?6?A??6?5?6------------------------------10分 ∴1?sin(A??26)?1 ∴

3?2?3sin(A?6)?3 即

32?sinA?sinB?3.---------------------------------------------12分

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