广东版(第01期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编：专题03 导数(解析版)

一．基础题组

1.【广东省汕头市金山中学2014届高三摸底考试（理）】若函数f x 的导函数

f x x2 4x 3,则函数f 1 x 的单调减区间是

2.【广东省中山二中2014届高三第一次月考（理）】函数f x 满足f 0 0，其导函数f x

的图象如下图，则f x 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A． B．

1

348

C．2 D． 33

【答案】B 【解析】

试题分析：由题意知f x 2x 2，由于f 0 0，所以f x x 2x，令f x 0，

2

解得x 0或x 2，故函数f x 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为

S

x

2

2

1

2x dx x3 x2

3

2

4

，故选B. 3

考点：1.导数；2.定积分

3.【广东省惠州市2014届高三年级第一次调研考试（理）】一物体在力

5, 0 x 2,

(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向,从x 0处运动到F(x)

3x 4, x 2

x 4 (单位：m)处,则力F(x)做的功为

.

二．能力题组

1.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】设P为曲线C：y x2 2x 3上

的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为 0, ，则点P横坐标的取值范围为

4 ( ) A． 1,

2

1

B． 1,0 C． 0,1

D． ,1

1 2

【答案】A 【解析】

2

试题分析：设P(x0,y0)，倾斜角为 ，0 tan 1，f(x) x 2x 3,f'(x)=2x+2，

0 2x0 2 1， 1 x0

1

，故选A 2

考点：1.导数的几何含义；2.倾斜角.

2.【广东省汕头四中2014届高三上学期第一次月考（理）】从如图所示的正方形OABC区域

内任取一个点M(x,y)，则点M取自阴影部分的概率为（ ） A.

1111

B. C. D. 2346

2

2.【广东省汕头四中2014届高三上学期第一次月考（理）】已知函数f(x) x 2x，

g(x) ax 2

a 0 ，若 x1 [ 1,2]， x2 [ 1,2]，使得f x1 g x2 ，则实数a的取值范围是

（ ） A.(0,] 【答案】D 【解析】

试题分析：由函数f(x) x 2x (x 1) 1，当x [ 1,2]时，f(x)min f(1) 1，

2

2

1

2

B.[,3]

12

C.(0,3] D.[3, )

3

3.【广东省惠州市2014届高三年级第一次调研考试（理）】已知函数f(x) x 3x，

若过点A 0,16 且

与曲线y f(x)相切的切线方程为y ax 16，则实数a的值是( ) A. 3 B.3 C.6

D.9

1

4.【广东省珠海市2014届高三9月第一次摸底考试（理）】直线y x b是函数

4

f(x)

1

的切线，则 x

实数b ． 【答案】1或-1 【解析】

5.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】若过点(2,0)的直线与曲线

y x3和y ax2 7x 4都相切，则a的值为 （ ）

A.2或 D.

495

B.3或 C.2 1616

5 16

6.【广东省深圳市高级中学2014届高三第一次月考（理）】设直线x t与函数

f(x) x2,g(x) lnx的图像分别交于点M,N，则当|MN|达到最小时t的值为（ ）

A．1 B．

1 C

D

2

三．拔高题组

1.【广东省惠州市2013届高三第一次模拟考试（理）】已知函数f(x) ax2 bx 1在x 3

处的切线方程为y 5x 8. （1）求函数f(x)的解析式；

（2）若关于x的方程f(x) kex恰有两个不同的实根，求实数k的值； （3）数列 an 满足2a1 f(2)，an 1 f(an),n N ，求S 整数部分.

111

a1a2a3

1a2013

的

2.【广东省汕头四中2014届高三上学期第一次月考（理）】已知函数

f(x)

1312

x ax x b(a 0)，f'(x)为函数f(x)的导函数． 32

（1）设函数f(x)的图象与x轴交点为A，曲线y=f(x)在A点处的切线方程是y 3x 3，求a,b的值；

（2）若函数g(x) e

ax

f'(x)，求函数g(x)的单调区间．

（ⅰ）当

2

a

0，即0 a 时，

a

2 a2 a)，单调递减区间为( ,0)，(, )；……11分 g(x)的单调递增区间为(0,aa

（ⅱ）当

2

a

0，即a g'(x) 2x2e 2x 0， 故g(x)在( , )单调递a

减；……12分

3.【广东省韶关市2014届高三摸底考试（理）】已知函数f(x) lnx,

g(x)

12

ax bx(a 0). 2

（1）若a 2, 函数h(x) f(x) g(x) 在其定义域是增函数，求b的取值范围； （2）在（1）的结论下，设函数 (x)=e2x+bex,x∈[0,ln2],求函数 (x)的最小值； （3）设函数f(x)的图象C1与函数g(x)的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由.

∴当

b

1，即 2 b y在[1,2]上为增函数. 2

当t 1时，ymin b 1；…………………………………………………………6分

a2a (x2 bx2) (x12 bx1) 22

y2 y1

lnx2 lnx1 ln

x2

, x1

4.【广东省佛山市南海区2014届高三8月质检（理）】设P是曲线C1上的任一点，Q是

曲线C2上的任一点，称PQ的最小值为曲线C1与曲线C2的距离. （1）求曲线C1:y ex与直线C2:y x 1的距离；

（2）设曲线C1:y ex与直线C3:y x m（m R，m 0）的距离为d1，直线

C2:y x 1与直线C3:y x m的距离为d2，求d1 d2的最小值.

【答案】（1

（2

【解析】

x试题分析：（1）曲线C1上任意一点点P(x,e)到y x 1的距离为

d

（2

）根据题意，

d1 d2

应用基本不等式求出最小

|m 1| |m 1| ，

5.【广东省十校2014届高三第一次联考（理）】已知函数

x2

f(x) ln(2ax 1) x2 2ax(a R)

3

（1）若x 2为f(x)的极值点，求实数a的值；

（2）若y f(x)在 3, 上为增函数，求实数a的取值范围；

1(1 x)3b

有实根，求实数b的最大值. （3）当a 时，方程f(1 x)

23x

x[2ax2 (1 4a)x (4a2 2)]

≥0在区间[3, ) 上恒成立． ∴f (x)

2ax 1

……5分

①当a 0时，f (x) x(x 2)≥0在[3, ) 上恒成立，所以f(x)在[3, ) 上为增函数， 故a 0符合题意．

……6分

②当a 0时，由函数f(x)的定义域可知，必须有2ax 1 0对x 3恒成立，故只能

a 0，

所以2ax2 (1 4a)x (4a2 2)≥0在区间[3, ) 上恒成立． 令g(x) 2ax2 (1 4a)x (4a2 2)，其对称轴为1 ∵a 0，∴1

……7分 ……8分

1

4a

1

1，从而g(x) 0在[3, ) 上恒成立，只要g(3) 0即可， 4a

1 x

6.【广东省珠海市2014届高三9月第一次摸底考试（理）】已知函数f(x) lnx

ax

1

2

（1）当a 1时，求f(x)在[,2]上的最小值；

（2）若函数f(x)在[,+ )上为增函数，求正实数a的取值范围；

（3）若关于x的方程1 x 2xlnx 2mx 0在区间 ,e 内恰有两个相异的实根，求实数

e

12

1

m的取值范围．

【答案】（1）0；（2）a 2；（3）{m|【解析】

试题分析：（1）对函数求导，求出给定区间上唯一的极小值就是最小值；（2）求导，求出函数的增区间即可；（3）将方程的根转化为两函数图象交点来处理，体现了数学转化思想. 试题解析：（1）当a 1f(x)

1e 3

ln2 m . 22

111x 1 lnx 1，f'(x) 2 2， xxxx

于是，当x在[,2]上变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表：

1

2

由上表可得，当x 1时函数f(x)取得最小值0.

考察函数g(x) 增函数

11 1 1 x112x 1

，在为减函数，在,,e 为 lnx，g (x) 2 2 2x2xx2x e2 2

1 e1 e1 e

lne 1 0 2e2e2e11 1 ln1 1 ln2 0 g()

22 122

2g(e)

7.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（理）】已知函数

f(x) 1 ln

x

(0 x 2). 2 x

（1）是否存在点M(a,b)，使得函数y f(x)的图像上任意一点P关于点M对称的点Q也在函数y f(x)的图像上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

2n 1

（2）定义Sn

i 1

i122n 1f() f() f() f()，其中n N*，求S2013； nnnn

a

*

（3）在（2）的条件下，令Sn 1 2an，若不等式2n (an)m 1对 n N且n 2恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）存在，且点M的坐标为 1,1 ；（2）S2013 4025；（3）m的取值范围是

(

3ln2

, ). ln3

【解析】

试题分析：（1）先假设点M的坐标，根据图象对称的定义列式求出点M的坐标即可；（2）利用（1）中条件f x f 2 x 2的条件，并注意到定义

（2）由（1）得f(x) f(2 x) 2(0 x 2).

iii

，则f() f(2 ) 2(i 1,2, ,2n 1). nnn

1221

因为Sn f() f() f(2 ) f(2 )①，

nnnn1221

所以Sn f(2 ) f(2 ) f() f()②，

nnnn

令x

由①+②得2Sn 2(2n 1)，所以Sn 2n 1(n N). 所以S2013 2 2013 1 4025.

*

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