2017年昆明理工大学质量发展研究院617数学分析考研题库

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2017年昆明理工大学质量发展研究院617数学分析考研题库（一） (2)

2017年昆明理工大学质量发展研究院617数学分析考研题库（二） (9)

2017年昆明理工大学质量发展研究院617数学分析考研题库（三） (16)

2017年昆明理工大学质量发展研究院617数学分析考研题库（四） (23)

2017年昆明理工大学质量发展研究院617数学分析考研题库（五） (29)

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2017年昆明理工大学质量发展研究院617数学分析考研题库（一）

说明：①本资料为VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

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一、证明题

1． 设

令求证：

(1

)上可导，且导数只在

处不连续； (2)

(0，1)上可导，且导数只在

处不连续. 【答案】(1)因为且

听以由连续性定理知.

又当

时，

因此从而

在上一致收敛.于是函数

上可导，且

又因为上可导，导数在点处不连续，所以

在上可导，且导数只在点

，

处不连续.

(2

)故由(1)知

在(0，1)上可导，且导数只在点

处

不连续.

2． 证明：

(1)若为凸函数，为非负实数，则为凸函数； (2)若

均为凸函数，则

为凸函数；

(3)若为区间Ⅰ上凸函数，g 为上凸增函数，则

为Ⅰ上凸函数。

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【答案】(1)设为定义在区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意和任意

总有

两边同乘非负实数得到

即

故

为凸函数.

(2)

设

均为区间I 上的凸函数，由凸函数的定义知，对任意

和任意

总有

两式相加得到

即

故

为凸函数.

(3)由凸函数的定义知，对于任意

有

因为g 为

上的增函数，所以

又因为g 为凸函数，所以

由这两个式子可得

故为I 上的凸函数.

3． 设

定义在闭矩形域

上，若f 对y 在上处处连续，对x 在

上(且关于y 为一致连续，证明f 在S 上处处连续.

【答案】

设

固定的

为y 的连续函数，

故对

当

且

时，有

又由于对x 关于y 为一致连续.故对上述

也存在

对满足

的任何y ，

只要

且

便有

现取

只要

且

时，总有

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因此，f 在S 上连续.

4． 证明

：

【答案】

由于 所以上式， 综上可得

二、解答题

5． 设

定义在

上

在处有左、右导数；令

又设

证明:存在子列

使

【答案】

而

由致密性定理，

有收敛子列

使

令

则

6． 设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程在点

的邻域内

就能确定出惟一的Y 为z 的函数？

【答案】设

，则

且

因此只需1在

的某邻域内连续，则

在

的某邻域内连续.所以，当

在的某邻域内连续，且

时，方程

就能惟一的确定为的函数.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/lfpq.html