第九章 定积分

《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院

第九章 定积分

§9.1 定积分概念

教学目标：理解定积分思想；掌握定积分概念，会用定义计算、证明某些定积分；加深对数学的抽象性特点的认识；体会数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学符号化的意义及数形结合方法；了解近代积分学的发展，激发学习数学的兴趣。

教学内容：问题的提出；定积分的定义（重点）；定积分的定义的一些直接应用。 教学过程： 一、课题引入

1、预备知识：矩形面积公式，常力沿直线做功公式，函数的连续性、极限思想。 2、问题背景：下面通过两个例子来看定积分的概念是如何提炼出来的。 实例1：求曲边梯形的面积

设f?C[a,b]，且f(x)?0。由曲线y?f(x)，直线x?a,x?b以及x轴所围成的平面图形（如图9-1），称为曲边梯形。下面求曲边梯形的面积S。

分析：在初等几何中，我们只会计算由直线段和圆弧所围成的平面图形的面积，现在计算曲边梯形的面积，由于y?f(x)表示?非负连续函数，因而这是一个一般的几何问题，只有用极限的方法才能得到完满的解决。在初等数学中，圆面积是用一系列边数无限增加的内接或外切正多边形面积的极限来定义，现在用类似的方法，即借助于已知的矩形的面积定义曲边梯形的面积。

具体做法如下（图9-2）：

1°分割。在区间[a，b]内任取n-1个分点，依次为a=χo＜χ1＜??＜χn-1＜χn=b，这些点把[a，b]分割成n个小区间[χi-1,χi]，i=1，2，??n；再用直线χ=χi,i=1,2??

1

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n-1，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。记Si为第i个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积

S??ni?1Si。

2°近似求和。在每个小区间[xi?1,xi]上任取一点

?i，作以

f??i?为高， [xi?1,xi]为底的小

f(?i)?xi矩形。当分割[a，b]的分点较多又分割的较细时，可用第i个小矩形的面积第i个小曲边梯形的面积

Si近似代替

，即

Si?f(?i)?xi （问为什么？）

于是这n个小矩形面积之和可作为该曲边梯形面积S的近似值，即

S??ni?1Si??ni?1f(?i)?xi（

?xi?xi?xi?1） （1）

?xi3°取极限。我们注意到（1）式右边的和式既依赖于对[a,b]的分割（），又与所选中间

?f(?i)?x?点i（i=1、2、??、n）有关（）。可以看出，将[a，b]逐次分下去，使小区间的长度i小，则不论

?i如何选取，n个小矩形面积之和i?1??nf(?i)?xi越接近于S，而在任何有限过程中，

nn个小矩形面积之和i?1f(?i)?xi总是曲边梯形面积S的近似值，只有在无限过程中，应用极限

方法才能过渡到曲边梯形的面积。这样，当分点无限增加，且对[a，b]无限细分时，若此和式与某一常数无限接近，而且与分点S。

实例2 变力所做的功

设质点受力F的作用沿χ轴由点a移动到b，并设F处处平行χ轴（图9-3）。

xi和中间点

?i的选取无关，则把此常数作为曲边梯形的面积

（i）若F为常力，则力F对质点所做的功为W=F(b-a)。

（ii）若F为变力，它连续依赖于质点所在位置的坐标x，即F?F?x?,x?[a,b]为一连续函数，此时F对质点所做的功W该如何计算？类似求曲边梯形面积的方法，即利用“分割、近似求和、取极限”三个步骤进行。

1°分割。在[a，b]内任取n-1个分点a=χ0＜χ1＜χ2?＜χn-1＜χn=b，把[a，b]分成n个小区间[

xi?1,xi]，i=1、2、??n，则

W??ni?1Wi，

wi为F在[

xi?1,xi]上对质点所做功。

2

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2°近似求和。当各个小区间的长度都很小时，在小区间上的力F由于变化不大，而近似看作常量F=F（

??[xi?1,xi],i=1、2?n。于是当质点从点χi-1到χi时力F所做的功为， ?i），i，于是

Wi?F(?i)?xiW??ni?1Wi??ni?1F(?i)?xi （2）

当分点→多时，同时各个小区间的长度→小时，（2）的近似程度越精确。

3°取极限。于是当对[a，b]作无限细分时，若（2）式右边的和式与某一常数无限接近，则把此常数作为变力所做的功。

说明：上面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题，另一个是求变力做功的力学问题，它们都是通过“分割，近似求和、取极限”这种思想化为形如i?1?nf(?i)?xi的和式极限问题。在

科学技术中还有很多问题也都归结为求这种特定形式的和式的极限，这就是产生定积分概念的背景，将其一般化，即引出“定积分”的概念。 二、定积分的定义

将上述实例一般化、抽象化，加上必需的符号（尤其对3°取极限一步），可得定积分的定义。由于定义中涉及的量，记号较多，在正式给出定义之前，先介绍两个相关定义：分割（模）；积分和。

定义1、设闭区间[a，b]内有n-1个点，依次为，a=χ0＜χ1＜χ2＜??χn-1＜χn=b，它们把[a，b]分成n个小区间△i=[χi-1,χi] ,i=1、2、??n。这些分点或这些闭子区间构成对[a，b]的一个分割，记为△χi=χi-χi-1,并记

TT??x0,x1,?xn?或??1,?2,??n?。小区间△i的长度为

=1?i?n│△χi│,称为分割T的模。

Tmax注：1°由于△χi≤，i=1、2、??n，因此

T可用来反映[a，b]被分割的细密程度。

?唯一确定????2°分割T与其模即分割T一旦给出，

T的关系：T

??????T不唯一确定。

TT就随之确定，但是具有同一细度的分割T却有无限多个。

定义 2、 设?是定义在[a,b]上的一个函数。对于[a，b]的一个分割T=

???1,?2,??n?，任

f(?i)?xi??ii?1取△i,i=1、2?n，并作和式，则称和式为函数?在[a，b]上的一个积分和，也称Riemann和（因由Riemann提出）。 注：显然积分和既与分割T有关，又与所选取的点集写出定积分的定义。

3

n??i?有关，有了上述两个定义，可简洁地

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定义3、 设?是定义在[a，b]上的一个函数，J是一个确定的实数。若对??＞0，总存在某

T??一正数δ,使得对于[a，b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集?i，只要＜δ，则有

?ni?1f(?i)?xi?J＜?，则称函数?在[a,b]上可积或Riemann可识。数J称为?在[a，b]上的定积

分或Riemann积分，

bf(x)dxJ??a记作 （3）

其中?称为被积函数，χ为积分变量，[a,b ]为积分区间，a，b分别称为这个定积分的下限和上限。

以上定义1～定义3 是定积分抽象概念的完整叙述。下面是与定积分概念的有关的几点补充注释。

注1：表达定积分的极限形式：

nbf(x)dxJ?lim?f(?)?x??aiiT?0i?1 （4）

把定积分定义的ε—δ说法和函数极限的ε—δ说法对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此可写作（4）式，然而积分和的极限与函数的极限之间有着极大的区别：在函数极限x?alimf(x)中，对每一个极限变量χ来说，?（χ）的值是唯一确定的；而对于积分和的极限而言，每一个

T并不唯一对应积分和的一个值。这使得积分和极限要比通常的函数极限复杂得多。 注2： 可积性是函数的又一分析性质（连续，可导为以前学过的另外两个分析性质）

据§3的TH9.3知,连续函数是可积的.于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示.

bf(x)dxS??a1)连续函数y=?(χ)≥0在[a,b]上形成的曲边梯形面积为; bF(x)dxW??a2)在连续变力F(χ)作用下，质点从a到b所做的功为。

注3： 定积分的几何意义

由注2中知，对于[a，b]上的连续函数?，当

（i）?（χ）≥0，χ?[a，b]时，定积分（3）的几何意义是：该曲边梯形的面积。

bf(x)dx??b[?f(x)]dxJ??a?a?（ii）?（χ）≤0，χ[a，b]时，是位于χ轴下方的曲边梯

形面积的相反数，定为“负面积”。

（iii）对于一般非定号的?（χ）而言，定积分J的值是曲线y=?（χ）在χ轴上方部分所有曲边梯形的正面积与下方部分所有曲边梯形的负面积的代数和（图9-4）。

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注4： 定积分的物理意义。从物理角度看，定积分由点a移动到b时所作的功。

定积分的几何意义与物理意义实际上给出了定积分的两个简单而重要的应用。同时了解定积分的几何意义，对理解定积分的许多性质及其证明方法大有帮助。

注5： 定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数?和积分区间[a,b]有关，而与积分

bbf(x)dx?f(t)dt????f(?)d????aa变量所有的符号无关，即a，这一点与不定积分不同，因

b?af(x)dxb表示变力f(x)使质点沿x轴

不定积分与积分变量的选取有关，不允许随便改写积分变量。

注6： 分割T的细度

T?0表示分割T越来越细的极限过程，此时分点个数n也越来越

T多，即n???；但反过来，当n???时，并不能保证为n???(除非T是等分分割这种特殊情形）。 三、用定积分定义证明与计算定积分

→0。因此，不能把

T→0随便的改

定积分的定义已经给出了计算定积分的方法，即首先作积分和再取极限，但比较复杂。若已知函数f(x)在[a，b]上可积，由于积分和极限的唯一性，不管[a，b]的什么分割，只要IITII?0，也不管点集等分分割等），在[

??i?如何选取，?i?(xi?1,xi)。这样，可作[a，b]的一个特殊分割T（如

上选取特殊的

xi?1,xi]?i（如取?i为[xi?1,xi]的左端点，右端点，中点等）

，

作出积分和，然后取极限，便得到f在[a,b]上的定积分。

例1、 求在区间[0，1]上，以抛物残y=x2为曲边的曲边三角形的面积（图9-5）。

?1解：由注3知，因y=x2在[0，1]上连续，故所求面积为S=极限,在定积分存在的前提下，允许选择特殊分割:

22??xdx?lim?xi0Ti?1in，为求得此

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ni?1nS??,????f(?k?1k)?xk?f(?i)?xi??f(?k)?xk?k?1k?i?1?f(?k)?xk?

i?1f(?i)?xi?(?f(?k)?xk?k?1i?1k?i?1?nf(?k)?xk)?

f??i??xi?A

f(?k)?xkA?其中

?f(?k?1k)?xk?k?i?1?n。于是对于任意取定的?k?[xk?1,xk]，

k?1,2,?,i?1,i?1,?,n。因f?x?在[xk?1,xk]上无界，对于任意给定M?0??i?[xi?1,xi]，，使得

f??i??M?A?xk

可见对于

?a,b?的任意分法?，???{?k}，使得

S??,???f??i??xi?A?M?A??xi?A?M?xi

可见积分和

S??,??无界，从而函数

f?x?在

?a,b?上不可积，此与假设相矛盾。

例1、 证明函数

?1?f?x???x0?x?1?0? x?0

在[0，1]上不可积。

?:xk?k,k?0,1,2,?,n??{?k}，其中n；取

证： 将[0，1]区间n等分，即取分法

?1?1?1?k?k?1k??0,????,?k?n4?nnnn?，k?2,3,?,n，此时，相应的积分和 ??，?

S??,????f??k??xk?k?1n

111111?????nnn12n4nn n

n?

1111(????)??n23n (d(?)?0)

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故

d????0limS??,??

不存在，从而

f?x?在

?0,1?上不可积。

注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。

?1,当x为有理数，例2、 证明狄利克雷函数D(x)??在[0，1]上有界但不可积。

0，当x为无理数?证：对于

?0,1?的任意分法

?0,1?的没一个子区间上既有有理数，也有无理数。

?:x0?0?x1?x2???xn?1 根据有理数和无理数在数轴上的稠密性，在

若取??{?k}，且?k是[xk?1,xk]上的有理数，则积分和

S??,????D????x???xkkk?1k?1nnk?1

????若取??{?k}，且k是[xk?1,xk]上的无理数，则积分和

S??,?????k?1nD??k???xk??0??xk?0k?1n

从而

d????0limS??,???1，

d????0limS??,????0，根据定义3知，

D?x?在

?0,1?上不可积。

二、 可积的的充要条件

要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。 设T={?xii?1,2,?,n}为对[a,b]的任一分割。由f(x)在[a,b]上有界知，它在每个?xi上

n存在上、下确界： Mi?supf(x),mi?inff(x),i?1,2,?,n.作和S(T)??Mi?xi，

x??xix??xii?1s(T)??mi?xi，

i?1n分别称为f(x)关于分割T的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给?i??xi，

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i?1,2?,n，显然有s(T)??f(?i)?xi?S(T)。

说明：与积分和相比，达布和只与分割T有关，而与点?i的取法无关。

定理9.3（可积准则） 函数f(x)在[a,b]上可积?对???0，?T，使得S(T)?s(T)??。 设?i?Mi?mi，并称为f(x)在?xi上的振幅，有必要时记为?if。则有

S(T)?s(T)???i?xi。

i?1n定理9.3? 函数f(x)在[a,b]上可积?对???0，?T，使得??i?xi??。

i?1n不等式S(T)?s(T)??或??i?xi??的几何意义：若函数f(x)在[a,b]上可积，则下图中包

i?1n围曲线y?f(x)的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。

三、 可积函数类

定理9.4 若函数f(x)为[a,b]上的连续函数，则f(x)在[a,b]上可积。 证：根据在闭区间上连续函数性质，f(x)必在

?x?,x???[a,b]，只要x??x????，有

?a,b?上一致连续，即???0，???0，对于

对于

f(x?)?f(x??)??b?a

?a,b?的任意分法?，只要d(?)??，注意到f(x)?C?xk?1,xk?，???,?????xk?1,xk?，使得

，

Mk?f(?k??)mk?f(?k?)，从而有

?k?Mk?mk?f??k????f??k????b?a k?1,2,?,n ??所以 k?1???xknk??b?an??xk?1nk

即

d????0lim???xkk?1k?0

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由定理9-3?知，

f(x)?R?a,b?。

如果把定理9.4的函数连续性条件稍微放宽一点，还有如下结论：

定理9.5 若f(x)是区间[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f(x)在[a,b]上可积。 证：由假设的振幅

a?x?bf?x?在

?a,b?有界，即?M?0，使

。又已知

f(x)?M,?x?[a,b]，从而

f?x?在

?a,b?上

??sup{f(x)}?inf{f(x)}?2Ma?x?bf?x?在

?a,b?上有有限个间断点，

不妨设有m个

间断点?1,?2,?,?m。对于个小区间

?a,b?的任意分法?: x0?a?x1?x2???xn?1?xn?b，

在其分割成的n中至多有2m个含有间断点，于是将振幅和分成两个部分

[x0,x1],[x1,x2],?,[xn?1xn] k?1???xknk????k?xk?????k?xk

?????k?xk其中??k?xk是相应于分法?含有间断点的那些小区间的振幅和，其项数至多为2m项。

是相应于分法?不含有间断点的那些小区间的振幅和。

???k?xk因为

的项数至多为2m项，故

???0,??1?0,且?1??8mM，当d?????1时，有

???k?xk???2M?xk?2M?2m?1?4mM??8mM2

??因为在

????k?xk对应的那些小区间上

f?x?连续，从而必一致连续。故

???0,??2?0,当d?????2????k?xk?????时，f(x)在这些小区间的振幅都小于2(b?a)。于是

?xk??2(b?a)?2(b?a) 取

????xk??2(b?a)(b?a)??2

??min{?1,?2}，对于?a,b?的任意分法?，只要d(?)??，有

k?1??k?xk????k?xk?????k?xk?d????0n?2??2??

lim即 从而

???xkk?1nk?0

f(x)?R?a,b?。

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下面我们再介绍一类简单的可积函数，即单调函数。

定理9.6 若f(x)是区间[a,b]上的单调函数，则f(x)在[a,b]上可积。

f?a??f?b?f?x??f?a??f?b??C?a,b?证： 不妨设f(x)单调增加。若，则，从而由定

f(x)?R?a,b?f?a??f?b理9.4，。若

?，???0????f(b)?f(a)，对于满足d(?)??的任意分

法?，有

k?1由此即推知

???xknk???[f(xk)?f(xk)]??[f(b)?f(a)]??k?1n

f(x)?R?a,b?。

注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。

0,x?0??1例3、试用两种方法证明函数f(x)??11在区间[0,1]上可积。

,?x?,n?1,2,??n?nn?1证明：[方法1] 利用定理9-6。

[方法2] 利用定理9-3?和定理9-5。

作业：P212T2、T4。

§4 定积分的性质

教学目标：掌握定积分的性质．

教学内容：定积分的基本性质；积分第一中值定理．

(1) 基本要求：掌握定积分的基本性质和积分第一中值定理． (2) 较高要求：较难的积分不等式的证明． 教学建议：

(1) 定积分的基本性质和积分第一中值定理是本节的重点，要求学生必须掌握并灵活应用． (2) 较难的积分不等式的证明是本节的难点．对较好学生可布置这方面的习题． 教学过程：

我们在8.1、8.3节的基础上将推导出定积分的以下性质。

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在8.1节的定积分定义中，我们假定积分区间诸多不便，现在我们去掉这一限制。

当a?b时，区间

?a,b?的端点a?b，这在实际应用上往往带来

?a,b?表示满足不等式a?x?b，并且沿数轴由a到b的x值的全体构成的?a,b?表示满足不等式a?x?b，并且沿数轴由a到b的x值的全体构成

?a,b?与区间?b,a?作

集合；当a?b时，区间

的集合。如此定义下的区间统称为有向区间，简称为区间。事实上，区间为集合元素是相同的，但方向相反。

设a?b，仿照分如下：

在区间

f?x?在区间

?a,b?上的定积分的定义1.1，可定义f?x?在区间?b,a?上的定积

?b,a?由b到a取任意分法

?:x0?b?x1?x2???xn?a

任取

????k?，?k??xk?1,xk?，k?1,2,?,n，作积分和

S??,????k?1nf??k??xk

若极限

d????0limS?,???存在，称此极限为

f?x?n在区间

k?b,a?上的定积分，记作

k?f?x?dx?bad????0k?1lim?f????x

如果将

f?x?在区间

?b,a?上的积分和与在?a,b?上的积分和相比较，二者之间只相差一个负

f?x??R?a,b?f?x??R?b,a?，则，且

号。于是得到如下性质： 性质1： 若函数

?另外规定函数

f?x?baf?x?dx???baf?x?dxa （1）

在一点处的定积分为?af?x?dx?0

f?a?从几何上看，上述规定是自然的。因为底边缩成一点a，而高为线段，其面积为零。

下面的讨论中，积分区间论。

的曲边梯形，为一直

?a,b?总是假定a?b，至于a?b的情形，读者不难自行推出相应结

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性质2（线性性质）： 若函数

,bk1f1?x??k2f2?x??R?a?，且

f1?x?，

f2?x??R?a,b?，?k1,k2?R，则函数

?kf?x??k2f2?x???dx?k1?af1?x?dx?k2?af2?x?dx （2） ?a?11证： 作函数

k1f1?x??k2f2?x?的积分和

bbb

???kf????kf??????x11k22kk?1nk?k1k?f????x1kk?1knk?k2n2?f????x2kk?1kknk

由假设

f1?x?n，

f2?x??R?a,b?11k22，故

kd????0k?1lim?f????x1n与

d????0k?1lim?f????x存在。于是由极限性

质知

d????0k?1lim???kf????kf??????xk存在，从而

k1f1?x??k2f2?x??

R?a,b?，且

d????0k?1lim???kf????kf?????11k22kn?k1bd????0k?1lim?f????x1knk?k2d????0k?1lim?f????x2knk

?kf?x??k2f2?x???dx?k1?af1?x?dx?k2?af2?x?dx 即 ?a?11 如果式（2）中，令 推论1：若函数

f1?x??f?x?bb，

f2?x??1k1?kk2?0；，，可得

f?x??R?a,b?k?Rkf?x??R?a,b?，，则，且

b ?akf?x?dx?k?f?x?dxab （3）

f?x?性质3（可加性质）： 设I为一个有限闭区间，a,b,c?I，若

在I上可积，则

f?x?在

?a,b?、?a,c?、?c,b?上均可积，且

?abf?x?dx??acf?x?dx??f?x?dxcb （4）

证：利用函数可积充要条件式，可以证明若

c??a,b?f?x?在I的任一子区间上均可积。

，则对

?a,b?的任意分法?，总有

limfxdxd????0S??,????a??b （5）

这时将c始终作为分法?的一个分点，则

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n

kS??,????k?1f??k??xk??a,c??f????x??f????xkk?c,b?kk （6）

这里?a,c??f????xk与?c,b??f????xkk分别表示相应于分法?函数f?x?在

?a,c?与?c,b?上的积分和，

由

f?x??R?a,c?、

f?x??R?c,b?及式（5）和式（6），有

b ?af?x?dxcb??af?x?dx??cf?x?dx

若c在

?a,b?之外，不妨设c?b，则f?x??R?a,c?，由上面的讨论，有

?cc af?x?dx??baf?x?dx??bf?x?dx

bf?x?dxcccb从而 ?a??af?x?dx??bf?x?dx??af?x?dx??cf?x?dx

总之不论a、b、c在区间I的位置如何，总有式（4）成立。 性质4：若函数

f1?x?，

f2?x??R?a,b?，则乘积函

f1?x?f2?x??R?a,b?。

证： 对于区间

?a,b?的任意分法

?:x0?a?x1?x2???xn?b

记

?k?f1?、

?k?f2?和

?k?f1?f2?分别为

f1?x?、

f2?x?和

f1?x??f2?x?在

?xk?1,xk?上的振幅，由函

数可积的必要条件，

?M1、

M2?0，使得

f1?x??M1，

f2?x??M2，

x??a,b?

另一方面，?x?,x????a,b?，有

f1?x??f2?x???f1?x???f2?x??????f1?x???f1?x?????f2?x?????f2?x???f2?x?????f1?x????

f2?x??f1?x???f1?x????f1?x???f2?x???f2?x????

M2f1?x???f1?x????M1f2?x???f2?x???

于是有

?fsupMk?1?f2??x?,x????x2supk?1,xk? x?,x????xk?1,xk??f1?x???f1?x?????M1supx?,x????xfk?1,xk??2?x???f2?x?????

M2?k?f1??M1?k?f2?

18

《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院

nnn从而 已知

f1?x?d????0k?1lim???fk1?f2??xk?M2??k?f1??xk?M1??k?f2??xkk?1k?1

，

f2?x??R?a,b?nk12，上式右端的两个振幅和趋于

k0?d????0?，所以

d????0k?1lim???f?f??x?0 即f1?x?f2?x??R?a,b?。

f?x?性质5：（单调性质）： 若函数，

g?x??R?a,b?，且

f?x??g?x?，

x??a,b?，则

bb ?af?x?dx??ag?x?dx （7）

由定积分的定义1.1很容易看出性质5的正确性。 推论2：若函数

f?x??R?a,b?，且m?f?x??M，x??a,b?，则

b m?b?a???af?x?dx?M?b?a? （8）

推论3：若函数

f?x??R?a,b?，且f?x??0??0?，x??a,b?，则

b ?af?x?dx?0??0? （9） 性质6：若函数

f?x??R?a,b?，则f?x??R?a,b?，且

b ?baf?x?dx??af?x?dx （10）

证： 分别记函数f?x?与

f?x?在区间上的振幅为

?k?f?与

?k?f?，由于

?k?f??supx?,x????xfk?1,xk???x???f?x?????supx?,x????xk?1,xk??f?x???f?x??????k?f?

nn0?于是

??k?f??xk?k??xkk?1???fk?1?0 ?d????0?

n即

d?lim???0??k?f??xk?0k?1，所以

f?x??R?a,b?。

又注意到，对任意函数f?x?，总有

?f?x??f?x??f?x?

再根据性质5，有

??bf?x?dx??bf?x?dx??baaaf?x?dx

可见式（6）成立。

19

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120例1、估计积分?e?xdx2。

2f?x??e?x2f??x???2xe?x解： 设，则

?14?1?x??0,??0?2?，故f?x?严格单调减少 ，

故 e于是有

?1??f???f?x??f?0??1?2?

121?114e??2e?xdx?02 2例2、若函数

f?x?在

?0,1?上可积且单调减少，求证：?a??0,1?，有

a?f?x?dx??f?x?dx001a 证： 6，有

?0另一方面

1a

f?x??f?a??a??0,1?，由于函数

f?x?是单调递减的，有，

x??0,a?，于是根据性质

f?a?dx??a01af?x?dx?f?a?f?x?dx?0a 或 （11）

f?x??f?a?1，

x??a,1?，有

?f?x?dx??aa11f?x?dx?f?a?f?a?dx?a 或 1?a （12）

结合式（11）和（12），得

111afxdx?fa?f?x?dx??????a01?aa

或

a?f?x?dx??1?a??f?x?dx?a01a?a0f?x?dx?a?f?x?dx0a0a

或

a??a0f?x?dx??f?x?dx??f?x?dxa1?

再根据定积分的可加性质，有

a?f?x?dx??f?x?dx001a

例3、设函数

f?x?b、

g?x??R?a,b?，求证柯西不等式

?a

f?x?g?x?dx???baf2?x?dx???12bag2?x?dx? （13）

20

12

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??f?x??g?x????0，x??a,b?，根据推论3，有 证： ???R，则函数?2??f?x??g?x???dx?? ?a?其判别式

b22?baf2?x?dx?2??af?x?g?x?dx??ag2?x?dx?0

2bbbb

4??baf?x?g?x?dx?4?f2?x?dx?g2?x?dx?0aa?

12即 ?abf?x?g?x?dx???baf2?x?dx???g?x?dx?

b2a12利用柯西不等式（13），可推出如下闵可夫斯基（Minkowski 1861~1909 德国数学家）不等式

??

事实上

bba??f?x??g?x???dx2????12baf2?x?dx????g?x?dx? （14）

b2a121222fx?gxdx?fxdx?2fxgxdx?gx?dx????????????????????aaaa

b2bbb?

af2?x?dx?2??baf2?x?dx???g?x?dx??

b2a1212??b2gxdx????? ?a从而有不等式（14）成立。

定理9.7（积分第一中值定理）： 若函数不变号，则在

??baf2?x?dx??12?b2??g?x?dx?a??

?122f?x??C?a,b?，函数

g?x?在区间

?a,b?上可积且

?a,b?上至少存在一点?，使得

b ?af?x?g?x?dx?f????g?x?dxab （15）

m?min{f(x)}a?x?b证：首先由性质4，函数乘积f(x)g(x)?R[a,b]。不妨设f(x)?0。记，M?min{f(x)}a?x?b，则

mg(x)?f?x?g?x??Mg?x? 根据性质5，有

x?[a,b]

m?g(x)dx??f?x?g(x)dx?M?g(x)dxaaabbb （16）

21

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由性质5的推论2，有?bag(x)dx?0b。如果这个积分为0，由不等式（12）推知

?f?x?g(x)dx?0

a此时，对任意的??[a,b]，均有式（11）成立；如果这个积分大于0，则对式（12）两端同除以该积分值以后，得

m??f?x?g(x)dx/?g(x)dx?Maabb

再由闭区间上连续函数的性质，在[a,b]上至少存在一点?， 使

f(?)??f?x?g(x)dx/?g(x)dxaabbb

ba即 ?af?x?g(x)dx?f(?)?g(x)dx

特别，如果g(x)?1，由性质3.7得： 推论4：若函数则在

f?x??C?a,b?，

?a,b?上至少存在一点?，使得

baf?x?dx?f????b?a?? （17） 式（13）通常称为积分中值公式。对此可作如下几何解释：若函数那么如图3.1所示，积分

f?x??C?a,b?，且

f?x??0，

f?x?dx?

ab表示曲线

y?f?x?下面曲线梯形ABCD的面积，而积分中值公式说明，

f???它等于同底但高为的矩形ABEF的面积。

f???称为

f?x?120在

?a,b?上的平均值。

例4：设函数

f?x??C?0,1?f?1??2?xf?x?dx0,1在（）可微，且，求证

???(0,1)，使得f?????f?????0

证：令

F?x??xf?x?120，则

F?x??C?0,1?120，由积分中值公式（13），

1?F???2

???,0[]12，使得

又注意到

2?xf?x?dx?2?F?x?dx?2F???F?x??C??,1?，在(?,1)可导，且

22

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F????2?xf?x?dx?f?1??1?f?1??F?1?120

由洛尔定理，至少存在一点??(x,1)，使得

F?????f?????f?????0xnlim?dx?0n??01?x例5、 证明。

1

证：设

f?x??1?C[0,1]g?x??xn?C[0,1]g?x?1?x，，且不变号，由第一积分中值定理，

???[0,1]，使得

xn1dx??01?x1??

11?10xndx?111??n?1

xn1lim?dx?lim?0n??01?xn??(1??)(n?1)故

例6、 证明：若函数则?abf?x??C?a,b?，非负，且

?x0??a,b?，使

f?x0??0，

f?x?dx?0

x0??a,b?f?x?x0证：不妨设，由于在点处连续，取

??f?x0?2?0，

???0((x0??,x0??)?(a,b))，当

x?U(x0,?)时，有

f?x0?2

f?x??f?x0????f?x0??f?x??

x?U(x0,?)3f?x0?2即

2

于是由定积分的可加性质（性质4）和单调性质（性质6），有

?

baf(x)dx??x0??af(x)dx??x0??x0??f(x)dx??bx0??f(x)dx?

作业：P219 1-8

?x0??x0??f(x)dx??x0??x0??f(x0)f(x0)dx??2??f(x0)???022

23

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§5 微积分学基本定理 定积分的计算（续）

教学目标：掌握微积分学基本定理．

教学内容：变上限的定积分；变下限的定积分；微积分学基本定理；积分第二中值定理，换元积分法；分部积分法；泰勒公式的积分型余项．

(1) 基本要求：掌握变限的定积分的概念；掌握微积分学基本定理和换元积分法及分部积分法．

(2) 较高要求：掌握积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项． 教学建议：

(1) 微积分学基本定理是本节的重点，要求学生必须掌握微积分学基本定理完整的条件与结论．

(2) 积分第二中值定理和泰勒公式的积分型余项是本节的难点．对较好学生要求他们了解这些内容． 教学过程：

一、变限积分与原函数的存在性

设f(x)在[a,b]上可积，则对?x?[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是，由

?(x)??f(t)dt， x?[a,b]

ax定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分。

类似地，可定义变下限的定积分：

?(x)??f(t)dt，x?[a,b]

xb?(x)和?(x)统称为变限积分。

说明：由于 ?f(t)dt???f(t)dt，因此，只要讨论变上限积分即可。

xbbx定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积，则?(x)??f(t)dt在[a,b]上连续。

ax证明： 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。

定理9.10（原函数存在定理） 若函数f(x)在[a,b]上连续，则?(x)??f(t)dt在[a,b]上

ax处处可导，且??(x)?

dxf(t)dt?f(x)，x?[a,b]。 ?adx24

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证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。

说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了f(x)的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。

Abel变换： {?i}，{?i}，1?i?m，令则?i?Bi?Bi?1，

Bp???ii?1p，p?1,2,?,m，B0?0，

??????(Biiii?1i?1m?1i?1mmi?Bi?1)???iBi???i?1?ii?1i?0mm?1??(?i??i?1)Bi??mBm??1B0??(?i??i?1)Bi??mBmi?1m?1

它实际上是分部积分公式 ?abu(x)dv(x)?u(x)v(x)a??v(x)du(x)abb

给定分割?：令u(xi)??i，?i?v(xi?1)?v(xi)，Bi?v(xi)之后的一种离散化形式。

定理9.11（积分第二中值定理） 设g(x)?C[a,b]。

（1）f(x)在[a,b]单调下降，f(x)?0，a?x?b，则??1?[a,b],使得 ?abf(x)g(x)dx?f(a)?g(x)dxa?1。

（2） f(x)在[a,b]单调上升，f(x)?0，a?x?b，则??2?[a,b]，使得 ?abf(x)g(x)dx?f(b)?g(x)dx?2b。

（3） f(x)在[a,b]单调，则???[a,b]，使得 ?证：（1） 令

baf(x)g(x)dx?f(a)?g(x)dx?f(b)?g(x)dxa?b?。

M?maxG(x)a?x?bG(x)??g(t)dt?C1[a,b]ax，记

m?minG(x)a?x?b，，给

mk?niff(x)Mk?supf(x)?:a?x?x???x?b[a,b]一个分割xk?1?x?xkxk?1?x?xk01n，记，，f(x)在[a,b]单调下降，所以可积，因而

25

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k?1??nxkxk?1f(x)?f(xk?1)g(x)dx?supg(x)?(Mk?mk)?xk?0a?x?bk?1n

当??0时。

I??f(x)g(x)dx?lim??abnxk

??0k?1xk?1f(xk?1)g(x)dx

?lim?f(xk?1)[G(xk)?G(xk?1)]??0k?1nn

?lim?[f(xk?1)?f(xk)]G(xk)?f(b)G(b)??0k?1

mf(a)?I??f(x)g(x)dx?Mf(a)ab。

若f(a)?0，则f(x)?0，?可取任意值。

1bm?f(x)g(x)dx?M?af(a)?0f(a)若，，G(x)?C[a,b]，??1?[a,b]，使得 G(?1)?1bb?1f(x)g(x)dxf(x)g(x)dx?f(a)g(x)dx??f(a)?aaa，即。

（2） 类似可证。

（3） 不妨设f(x)单调上升，令F(x)?f(x)?f(a)，单调上升，F(x)?0，由（2）???[a,b]，使得

?F(x)g(x)dx?F(b)??g(x)dx?[f(b)?f(a)]??g(x)dx。

abbb ?abf(x)g(x)dx?f(a)?g(x)dx?f(b)?g(x)dx?f(a)?g(x)dxabbb??

?f(a)?g(x)dx?f(b)?g(x)dxa?b?。

例1、 f(x)在[??,?]单调下降，求证

b2n?f(x)sin2nxdx?0???，

?1?

b2n?1?1???f(x)sin(2n?1)xdx?0。

??证：

26

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b2n?

??1?f(??)?sin2nxdx?f(?)?sin2nxdx?????????1?1?cos2n?cos2n??1???f(??)?f(?)???2n2n?1?[1?cos2n?][f(??)?f(?)]?0，2?n

b2n?1?

??1?f(??)?sin(2n?1)xdx?f(?)?sin(2n?1)xdx?????????1??1?cos(2n?1)??cos(2n?1)??1???f(??)?f(?)???2n?12n?1?1?[?1?cos(2n?1)?][f(??)?f(?)]?0.(2n?1)?

二 、 定积分的换元积分法和分部积分法

定理9.12 （定积分的换元积分法）若函数f(x)在[a,b]上连续，?(x)在[?,?]上连续可微，且满足

?(?)?a，?(?)?b，a??(t)?b，t?[?,?]，

则有定积分的换元积分公式： ?f(x)dx??f(?(t))??(t)dt??f(?(t))d?(t)。

ab????证：由假设

f?x??C?a,b?，

f?x?必有原函数，不妨设

F?x?是f(x)的一个原函数，即

F??x??f?x?,x??a,b?。根据牛顿－莱布尼兹公式，有

?f(x)dx?F?b??F?a?ab

另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有

??t????F?????F?????????F?????????F?b??F?a?

由以上两式知

???t??????t?dt?f?x?dx???f?ab?

注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。

例2、计算?1?x2dx。

01解题要领： 令x?sint或x?cost即可。

27

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?例3、计算?2sintcos2tdt。

0解题要领：令x?cost，逆向应用换元积分公式即可。 例4、计算J??ln(1?x)dx。

01?x21解题要领：先令x?tant，再令u??4?t即可。

定理9.13 （定积分的分部积分法） 若u(x)、v(x)为[a,b]上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式：

?u(x)v?(x)dx?u(x)v(x)??u?(x)v(x)dx，

aaabbb或 ?u(x)dv(x)?u(x)v(x)??v(x)du(x)。

aaabbb??u?xvx?uxv?xu?x?v?x???????????及牛顿-莱布尼兹公式，有 ??证：由于

?ba??u??x?v?x??v??x?u?x???dx?u?x?v?x?ab

从而，根据定积分的线性性质，有

bb?uxvxdx?uxvx??u??x?v?x?dx?????????aaab

例5、

?I??x21?x2dx01

??2sin2tcos2tdt0

?(x?sint,0?t??2

)11??2sin22tdt??2(1?cos4t)dt80 40

?1sin4t2??(x?)?4016。 8从这个例子，我们可以看出定积分和不定积分换元有两点区别：

1）不定积分换元是作为整体的变量替换，定积分是作为一个特定区间上的变量替换，有时前者行不通而后者却可以进行；

2）不定积分换元后必须换回去，而定积分换元不必，只要把定积分值算出来就行了。

例 6、

1. f(x)?C[?a,a]偶函数，则

28

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aa0 ??af(x)dx??0f(x)dx???af(x)dx

a0t)dt?2?a

??0f(x)dx??af(?0f(x)dx。

a2. f(x)?C[?a,a]，奇函数 ，则 ??af(x)dx?0。

I???xsinx例 7、

??1?cos2xdx

?xsinx解 ：

I?2?01?cos2xdx

??2?0(??t)sin(??t)?1?cos2(??t)dt(x???t)

?2???sint1?cos2tdx?2??tsint001?cos2tdx，

2I??2???1du11?u2， u?cost。

I??arctgu1?2?1?2 。

??Inn例8、

n??20sinxdx??20cosxdx

?2解：

In???0sinn?1xdcosx

???12

??sinnxcosx20??0cosxdsinn?1x

?n?2 ?(n?1)?20sinxcos2xdx

??2

?(n?1)?2n?0sinxdx?(n?1)?20sinnxdx，

In?n?1nIn?2(n?2)

I0??2， I1?1。

29

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所以

I2k?(2k?1)!!?(2k)!!I2k?1?(2k)!!2， (2k?1)!!。

例 9 (J.Wallis公式)、

?(2n)!!?1?lim??n??(2n?1)!!???2n?12

2证：

0?x??2时，有sin2n?1x?sin2nx?sin2n?1x， 采用例4中的记号我们可得

I2n?1?I2n?In?1，

?(2n)!!?1??(2n)!!?1(2n)!!(2n?1)!!?(2n?2)!!????(2n?1)!!?2n?12??(2n?1)!!?2n(2n?1)!!(2n)!!2(2n?1)!!， ????

2222???(2n)!!?1??1??(2n)!!??1lim????lim???2n2n?1?n???(2n?1)!!?(2n)(2n?1)n??(2n?1)!!?????????? 所以 1???0。n??2n2

?lim

三、 泰勒公式的积分型余项

设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有n?1阶连续导数，令x?U(x0)，则

?xx0(x?t)nf(n?1)(t)dt?[(x?t)nf(n)(t)?n(x?t)n?1f(n?1)(t)???n!f(t)]xx0

xx0 ??0?f(t)dt?n!f(x)?n![f(x0)?f?(x0)(x?x0)??

f(n)(x0)(x?x)n]?n!Rn(x)。 ?n!1x(n?1)其中Rn(x)即为f(x)的泰勒公式的n阶余项。由此可得Rn(x)??f(t)(x?t)ndt，

n!x0即为泰勒公式的积分型余项。

由于f(n?1)(t)连续，(x?t)n在[x0,x]（或[x,x0]）上保持同号，故若应用推广的第一积分中值定理于积分型余项，可知，???x0??(x?x0)，0???1，使得 Rn(x)?x1(n?1)1f(?)?(x?t)ndt?f(n?1)(?)(x?x0)n?1。

x0n!(n?1)!即为拉格朗日型余项。

30

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若直接应用积分第一中值定理于积分型余项，可得 Rn(x)?1(n?1)f(?)(x??)n(x?x0)， n!其中??x0??(x?x0)，0???1。

而(x??)n(x?x0)?[x?x0??(x?x0)]n(x?x0)?(1??)n(x?x)n?1，故 Rn(x)?1(n?1)f(x0??(x?x0))(1??)n(x?x0)n?1，0???1， n!称为泰勒公式的柯西型余项。

特别地，当x0?0时，柯西型余项变为： R1n(x)?n!f(n?1)(?x)(1??)nxn?1，0???1。

积分余项的 Taylor 公式

引理： g(x)?C[x0,b]， ?x:x0?x?b，有

?x?txg(t)dt?(x?t)mdt?1xg(t)(xm?10???x011??m?1?x01?t1)dt1，?x?t证： x0???xg(t)dt??(x?t)mdt011?

??1x?tm?1?xg(t)?d(x?t)m?10???xdt011??

??1tt?xx m?1?xg(t)dt(x?t)m?1?1(x?t)m?1g011t?x?x(t)dt0m?10

?1xmm?1?x(x?t)?1g(t)dt0。

定理： 设f(x)?Cn?1(x0?h,x0?h)，则

nf(x)?f(k)(x0)

?k?k!(x?xk0)?Rn(x)0，

其中 R?1n!?xxf(n?1)n(x)(t)(x?t)ndt0，x?x0?h。

证： n?1时，

R1(x)?f(x)?f(xx0)0)?f?((x?x

1!0)

m?Z?31

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x

??xf?(t)dt?f?(x0)(x?x00)

??x?f?(t)?f?(xx x00)?dt???tx?xf??(t0??01)dt1???dt ???x?x??txf??(tx01)dt1??d(x?t)??xf??(t)(x?t)dt0??0。

设n?m时成立，即

R(x)???f(xf(m)(x0)x?m?f0)???(x?

?m!0)m??

?1xm!?xf(m?1)(t)(x?t)mdt0。

R?f(m?1)m?1?f(x)??f(x(x0)?

?0)???m?1)!(x?x?1(0)m??

f(m?1)(x0 ?1m!?xxf(m?1)(t)(x?t)mdt?)0(m?1)!(x?x0)m?1

1xm!?xf(m?1)

?(t)(x?t)mdt?1xf(m?1)(xm0m!?x00)(x?t)dt

?1?x?f(m?1)(t)?f(m?1)(x?m m!x0)(x?t)dt0

?t(m?2)? ?1xm!?x0???xf(t01)dt1??(x?t)mdt

?1

(m?1)!?x(m?xf2)(t)(x?t)m?1dt0。

R(x)?f(n?1)(?)1推论： Lagrange余项n(n?1)!(x0?x)n?，?介于x0，

作业: P229 1～7

§9 定积分的计算（续）

x1之间。32

《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院

利用牛顿－莱布尼兹计算定积分的关键是求被积函数的不定积分，而换元积分法和分部积分分法是求不定积分的基本方法，下面我们把这两种方法进一步推广到定积分上去。 一 、定积分的换元积分法

应用换元积分法计算定积分时，变换过程和求不定积分的换元积分法是一样的 。在不定积分时，积分后要换回原来的积分变量。但在定积分利用换元积分法时，相应的改变积分的上、下限。不必再换回到原来的积分变量，可以简化定积分的计算。

9例9.5.1 计算4?1?xxdx

2解：作变量代换x?u,即u，这时dx?2udu。当x从4连续增加到9，u从2连续增加到3，

即当x?4时，u?2; 当x?9时,u?3。因此

t2??dx?2tdt??2(1?t)?dt??????1?t1?t?x41?22?

9x333???1?t?2?2ln1?t???7?2ln2??2

一般定积分的换元积分法叙述如下： 定理5.1 设函数

f?x??C?a,b?，若函数

x???t?在区间

??,??连续可微，且当??t??时，

a???t??b,?????a,?????b，则

???t??????t?dt?f?x?dx???f?ab? (9.5.1)

F?x?是f(x)证：由假设

f?x??C?a,b?，

f?x?必有原函数，不妨设的一个原函数，即

F??x??f?x?,x??a,b?。根据牛顿－莱布尼兹公式，有

?f(x)dx?F?b??F?a?ab （9.5.2）

另一方面，由复合函数求导法则及复合函数的连续性，有

??F????t?????F?????????F?????????F?b??F?a?

由式（9.5.2）和式（9.5.3）知

（9.5.3）

33

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b????t??????t?dt?f?x?dx???f?aln2

例9.5.2 计算

?0ex?1dx。

2udu21?u，于是

解：令

ln2x?ln?1?u2?,且x?0,u?0和x?ln2,u?1,dx?1?011?112u1?u2?1du??e?1dx??udu?2du?2du??2u?arctanu?2????????01?u21?u21?u2?2000?0x?2 【

例9.5.3 计算

?2?dxx2?1。 u?2?3?x??2,u?3时，4时，x??2，dx?secu?tanudu

解：令x?secu，且

?2?3??x2?1?sec2u?1?tan2u?tanu??tanu,u??,??34?，

3?4?2于是

?2?dxx?12?2?3?3??2?3?4secu?tanu?lnsecu?tanu?ln??1?2??du???secudu?2????tanu2?33

3?4初学者可能把

??2?3???x2?1??tant?t??,????34??的右端误写为tant，这样算出的结果是

?2?3??ln???0??2,?2??1?2??上变化是。其实只须认真观察就可以避免这个错误，因为被积函数在?正的，所以积分值不可能小于零。

a例9.5.4 计算0?a2?x2dx

u??2时，x?a,

解：令x?asinu,当u?0时，x?0；当

dx?acosudu,u?[0,]2，于是

? 34

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?a?22cos?udu?02?0a?xdx??acosu?acosudu?a0222?

a222a1?cos2udu????2021??u?sin2u??2???20a2??a2???224

有时不定积分计算很复杂，甚至“积不出来”（即不定积分不是初等函数），但用换元积分法可以把其定积分求出，请看下例。

例9.5.5 计算下列定积分

??24ln(1?tanx)dx（?cosx0sinx?cosxdx1）

（2）?0

x??x?0,u??解：（1） 令

2?u,?则

2;x?2,u?0.dx??du,于是

??2cosx02I??0sinx?cosxdx??sinu??du???cosu?sinu?sinudu0cosu?sinu2

?cosx?sinx?从而

2I??20cosx?sinxdx??20dx??2 ?2?coxs故

0sixn?cxdxo??s

4x??（2）令

4?u，则

x?0,u??;x??44,u?0。于是

??4ln?1?tanx?dx??0ln?????0?4??1?tan??4?u??????du?????40ln???1?1?tanu?1?tanu??du??40ln21?tanudu???

?40ln2du??40ln?1?tanu?du

?4?tanx)dx??ln2故

?ln(108

例9.5.6 求证

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??0xf?sinx?dx???2?0f?sinx?dx （9.5.4）

?x并计算

?xsin01?cosxdx。

证：令x???u，有

??0xf?sinx?dx??0????u?f??sin???u?????du?????f?sinx?dx???00xf?sinx?dx

??故 ??0xf?sinx?dx?2?0f?sinx?dx

由公式（5.4），得

??xsinx??sinx??201?cosxdx?2?01?cos2xdx???2arctancosx0?4

例9.5.7 证明：若函数f?x??R??a,a?，则

（1） 若f??x???f?x?a，则??af?x?dx?0；

f??x??f?x?adx?2?a（2） 若

，则??af?x?0f?x?dx。

证：由9.3节性质3，知

?a0a?af?x?dx???af?x?dx??0f?x?dx （1） 若

f??x???f?x?,令x??u,积分

?0f?x?dx??0af??u???du????af?u?du???a?a00f?x?dx从而根据式（9.5.6），有

?a0a?af?x?dx????af?x?dx??0f?x?dx?0

（2） 若

f??x??f?x?，令x??u，积分

?00??u???du???af?u?du??a?af?x?dx??af00f?x?dx

再根据式（9.5.6），有

?aaaa?af?x?dx??0f?x?dx??0f?x?dx?2?0f?x?dx

5.6）

36

（

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例9.5.8 计算下列积分

1?xlndx??a1?x（1）

adx?0?a?1????41?sinx； （2）

4?1???x?1?x1?x1?xf?x?ln?ln??ln??f?x???f?x??ln1??x1?x1?x??1?x，则解： （1） 记，

故函数

f?x?上奇函数，而积分区间是以原点为中心的对称区间，故由例9.5.6，得

?（2）设

f?x??a?aln1?xdx?01?x

11?sinx，由于定义在与原点对称的区间上的函数总可以表示为一个偶函数

与一个奇函数之和，即

f?x??f1?x??11fx?f?x?f?x??f??x???f1?x??f2?x????????????22

这里

11fx?f?xfx?f?x??f??x??????????2?????22为偶函数，为奇函数，由例9.5.6可知，

11?11?????fx?fx?f?x???,????????1??2?1?sinx1?sinx??f2?x??244??为偶函数，??在上的积分为零而

由例9.5.6，得

??dx111111???444???dx??2???????dx???41?sinx??42???21?sinx??1?sinx1?sinx?4?1?sinx?24?0cos2xdx?2tanx??4?20

例9.5.9 证明 若函数 ?a证：由于

a?Tf?x?是以

T0T??0?为周期的可积函数，则

f?x?dx??f?x?dx （9.5.7）

??于是

a?Taf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx??a00Ta?TTf?x?dx

对上式的最后一个积分作换元x?u?T，有

a?Taf?x?dx??f?u?T?du??f?u?du???f?x?dx00a0T0Ta0a0aa0

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?a?Taf?x?dx??f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx??f?x?dx《数学分析》上册教案 第九章 定积分 平顶山学院数学与信息科学学院

周期函数的这个积分性质的几何意义是明显的，如图5.1所式，在影部分的面积是相等的。

例9.5．10 若函数

f?x??a,a?T?与?0,T?上的两块阴

是以T（?0）为周期的连续函数，求证

1x1Tlimf?u?du??f?u?dux???x?0T0

f?x??0,????x?T,?n?N,使得nT?x??n?1?T，证：可见x????n??。已知函数在

上有界，设x?y?nT，则0?y?T，有

nT?y1x1fudu?limf?u?du??x???x?0x??nT?y?0

lim1n??nT?y

lim???T0?????T2TnT?n?1?T??nT?ynT?f?u?du?

?TnT?y1limn?f?u?du??f?u?du?0nTn??nT?y y1T1fudu?limf?u?du???n????00nT?y T

1Tf?u?du?0 T

12uf2x?udu?arctanx???f?x?2例9.5．11 设函数连续，且0

x已知

f?1??1，求?12f?x?dx

解：令t?2x?u，则

?于是

x0uf?2x?u?du??2x?2x?t?f?t???dt?=2x?x2xx2xf?t?dt??tf?t?dtx2x

2x?2xxf?t?dt??x12arctanxtf?t?dt=2

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对上式两端关于x求导，得

2?2xf?u?du?2x?f?x??12xx?2f?2x????2.2xf?2x??xf?x?=21?x4

2?2x即xf?u?du?x1?x4?xf?x?

令x?1，得

?21f?x?dx?1?12??2?f?1?????34

二、定积分的分部积分法

定理9.5.2 设函数

u?x?,v?x?,u??x?,v??x??C?a,b?,则

?bau?x?v??x?dx?u?x?v?x?ba??bau??x?v?x?dx （9.5.8）证：由于

??u?x?v?x?????u??x?v?x??u?x?v??x?及牛顿-莱布尼兹公式，有 ?b??u??x?v?x??v??x?u?x??ba?dx?u?x?v?x?a

从而，根据定积分的线性性质，有

?bau?x?v??x?dx?u?x?v?x?ba??bau??x?v?x?dx

例9.5．12 计算下列定积分

?111??2xarcsinx?xex01?x2dx

?2??4x1?cos2xdx?3??0

?1?x?2dx0 ?11?21022解：

?xarcsinx1?xdx=

??0arcsinxd1?x2?

11?1?x2arcsinx2?0?201?x211?x2dx3=??26?12?12?1312?

??x? 2??401?cos2xdx=?4x1?02cos2xdx?2?40xdtanx?

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1??4?????4tanxdx??1????ln?40 2??xtanx?0???2?4cosx??0=8?14ln2

?3??1xex11dxx1?xex0?1?x?2??1x?=?0xed1?x?????1?x0?10x?1dxe???=

?e??1ex?1?x?dx??e?1x?e1?ex?e 201?x2?0edx=

202?1

在实际运算中，经常将换元积分法和分部积分法结合起来使用。如下例。例9.5．13 计算下列不定积分

?1??1ex0dx

?2??ln201?e?2xdx

解：（1）令u?x，则

?11exdx??1uu1u2??ue??1eudu?? ?00e2udu?2?0ude??00??

=

2?e?e?1??2

（2）

?ln2x01?e?2dx??ln22x2x0e??e?1?dx?2x??ln2e2x?1de?x????e?xe2x?1ln2??0?ln20e?xe0e2x?1dx????3ln2ex???dx??3??2du令u?ex20e2x?121u2?1????32?ln?u?u2?1?231??2?ln?2?3???2nn例9.5.14 ⑴求证?0sinxdx??20cosxdx?n?N?；

??n⑵ 计算In??20sinxdx??20cosnxdx;

?24⑶计算?0sinxcos2xdx；

14⑷计算?0x1?x2dx。

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